6.4几何空间向量的混合积

a (x1, y1, z1), b (x2, y2, z2 ), c (x3, y3, z3).
x1 则 (a b) c x2
y1 z1 y2 z2 .
混合积的 坐标表达式
x3 y3 z3
证 由于 a b
y1
y2
z1 i z1 z2 z2
x1 j x1
x2
x2
y1 k. y2
x1 r1 x3 y1 r2 y3 y (a r) c z1 r3 z3 , (a b) c x1 x2 x3 y1 y2 y3 z1 z2 z3 这与Gramer法则一致。
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例 6.4.3 求实数 y, z 使得以 A(0, 0, 0), B(6, y, z)
定理6.3.6
(a b) c y1 y2
z1 z2
x3
z1 z2
故结论成立。
x1 x2
y3
x1 x2
y1 y2
z3.
定理6.2.4
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3阶行列式的几何意义：
x1 y1 z1
由于 (a b) c x2 y2 z2 . 故三阶行列式的绝对值
x3 y3 z3
结论：对换混合积中三个向量的任意两个，混合积变号。
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例6.4.1 设 a b b c c a 0, 则
a b,b c,c a 共线。
分析：
(1) 已知:a与b共线 a,b 0或 a b 0.
(2) 问题:如何证明3个向量a,b,c共线？
得 (a b) c (b c) c (c a) c 0.
即 (a b) c 0. 从而 a,b, c 共面。
而 a b,b c, c a 均垂直于 a, b, c 所在的平面，
故它们共线。
a b bc a
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定理 6.4.5 设在(右手)直角坐标系 [O;i下, j，, k]
-V .
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定理 6.4.1 三个不共面的向量 a, b, c的混合积的 绝对值等于以 a, b, c 为棱的平行六面体的体积，且 当 a,b, c 构成右手系时，混合积是正数，当 a,b, c
构成左手系时，混合积是负数。
定理 6.4.1的另一种表述: 向量 a, b, c 的混合积等于 a, b, c 张成的平行六面体的有向体积。
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| ||(||(()((|))||))||||||||.|| ..|| ..
p.95 定理3.4.7
x3 y3 z3
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在几何空间中，设 a,b, c 是三个不共面的向量，
则任意一向量 r 可以由 a,b, c 线性表示，
即 r xa yb zc.
下面我们求 x, y, z
具体的表达式
r
zc
yb
xa
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如果 a,b, c 共面，由于 a b
垂直于a, b 所在的平面， 故 a b c,
ab
b
即 (a b) c 0.
ac
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定理6.4.3 (1) (a b) c (b c) a (c a) b; (2) (a b) c a (b c).
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r1 x2 x3 r2 y2 y3 x (r b) c r3 z2 z3 , (a b) c x1 x2 x3 y1 y2 y3 z1 z2 z3 x1 x2 r1 y1 y2 r2 z (a b) r z1 z2 r3 . (a b) c x1 x2 x3 y1 y2 y3 z1 z2 z3
定理 6.4.1的证明
a, b, c不共面， .
2
[O;a, b, c]是左手系， C
，
h
V
2
c
h | c | cos( )
a
A
- | c | cos，
S=|a b|
(a b) c

| a b || c | cos
Ob
B
-Sh
ab
混合积的几何意义
定理 6.4.1 三个不共面的向量 a, b, c 的混合积 的绝对值等于以 a, b, c 为棱的平行六面体的体积， 且当 a, b, c 构成右手系时，混合积是正数， 当 a, b, c构成左手系时，混合积是负数。
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给定三个不共面的向量a,b,c,怎么判断右(左)手系？
a (x1, y1, z1), b (x2, y2, z2), c (x3, y3, z3). 则 r xa yb zc 等价于线性方程组

x1x y1x

x2 y2
y y

x3 z y3 z

r1 r2
z1x z2 y z3z r3
于是，由例 6.4.2 有
方法1:通过证明a,b, c中任意2个共线。 问题 2个向量的情形。
方法2 : 通过证明a,b, c均垂直于某一个平面。
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例6.4.1 设 a b b c c a 0, 则
a b,b c,c a 共线。
证 由于a b b c c a 0，两边与 c 作内积，
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定理 6.4.1的证明
a, b, c不共面， .
ab
2
[O;a, b, c]是右手系，
0 ，
2
h | c | cos ,
(a b) c
C V
h
c
b
B
| a b || c | cos
S=|a b|
Sh
O
a
A
V.
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第6章
6.4 几何空间向量的混合积
内容提要 1. 混合积的定义 2. 混合积的运算规律 3. 混合积的坐标表达式
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定义6.4.1 设已知三个向量a,b,c,数量 (a b) c
称为这三个向量的混合积. 记为(a,b,c)或 (abc).
若 a,b,c中有一个为0, 则 (a,b,c)=0.
(2) 由(1)得 (a b) c (b c) a a (b c)
结论：(1) 轮换混合积中的三个向量，值不变，即混 合积具有轮换对称性。 (2)交换混合积中的内积与外积的运算符号，值不变。
cb a
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推论6.4.4 (a b) c (b a) c (a c) b (c b) a.
(1) 伸出你的右手，使得大拇指指向c 的方向，四指 指向 a 的方向。然后，弯曲四指。这时，如果四指 指向 b 的方向，那么 a,b,c 构成右手系。否则，是
左手系。
(2) 伸出你的右手，叉开大拇指，食指和中指。如果
大拇指、食指、中指分别指向a,b,c 的方向，那么 a,b,c 构成右手系。否则，是左手系。
c a
c
b
ba
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结论：(1) 如果 a,b,c 构成右(左)手系，那么b,c, a; c, a,b 也是右 (左)手系，即轮换不改变右(左)手系。
(2) 对换 a,b,c 中的任意两个，那么右(左)手系发生
变化，即对换改变右(左)手系。
c b a
ca b
熟练判断右(左)手系 及其变化规律，方便 理解混合积的几何意 义及其运算规律。
C(4,3,0), D(2, 1,0) 为顶点的四面体的体积为1.
解 V四面体ABCD

1
|
uuuv (Hale Waihona Puke BaiduAB,
uuuv AC ,
uuuv AD)
|
D
6

1
6 4
y 3
z 0 的绝对值
6 2 1 0
C
1.
解得 z 3 , y R. 5
A
B
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作业
p. 242 1. (1) 3.(1) 5.
结论：(1) 轮换混合积中的三个向量，值不变； (2)交换混合积中的内积与外积的运算符号，值不变。
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定理6.4.3 (1) (a b) c (b c) a (c a) b;
(2) (a b) c a (b c).
证 (1) 若 a, b, c共面，结论成立。 设 a, b, c不共面。由混合积的几何意义，结论(1)中
结论：对换混合积中三个向量的任意两个， 混合积变号。
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推论6.4.4 (a b) c (b a) c (a c) b (c b) a.
证 由 (a b) c (b a) c 以及定理 6.4.3 得 (a b) c (b a) c (a c) b (c b) a.
例 6.4.2 设a,b, c 是三个不共面的向量，且
r xa yb zc.
则 x (r b) c , y (a r) c , z (a b) r .
(a b) c
(a b) c
(a b) c
证 由a,b, c 不共面，知 (a b) c 0. 等式 r xa yb zc 两边与 a b 作内积，得
r (ab) xa (ab) yb(ab) zc(ab).
即 r (a b) zc (a b).
于是
z r (a b) c (a b)
(a b) r . (a b) c
余下结论类似可证。
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在直角坐标系 [O;i, j, k] 下，设 r (r1, r2, r3),
的三个混合积的绝对值均等于以 a, b, c 为棱的平行
六面体的体积。而 a,b, c; b,c, a, 与c, a,b 同为右(左)
手系。故结论成立。
cb a
轮换不改变 右(左)手系
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定理6.4.3 (1) (a b) c (b c) a (c a) b; (2) (a b) c a (b c).
什么是有向体积呢？
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定理6.4.2 三向量 a, b共, c面的充分必要条件
是它们的混合积 (a b) c 0.
证 如果 a, b 共线，或 c 0, 结论成立。
设 ab 0且 c 0. 由于 (a b) c 0, 从而， a, b, c 均与 a b 垂直，故 a, b, c 共面。
等于以其行(列)向量为棱的平行六面体的体积。
或者说，三阶行列式等于其行(列)向量张成的平行
六面体的有向体积。
推论6.4.2 设a (x1, y1, z1), b (x2, y2, z2), c (x3, y3, z3).
x1 y1 z1
则 a, b, c 共面 (a b) c 0 x2 y2 z2 0.