屈服与破坏准则

其中：
J 2 M - C I1 k M - C 0
M -C
sin 3 ( 3 cos sin sin )
3c cos 3 cos sin sin
k M -C
D-P准则与M-C准则不同拟合条件下的 和k 值
拟合条件 一 般 三 维 应 拉伸锥 折中锥 内切锥（平 面应变） 单压 单拉 压缩锥 应力（应变） 条件
定着屈服曲线在子午平面上的形状；k为屈服参数。 g ( ) 为 平面上屈服曲线的形状函数，取不同形式，可得到不 同的屈服条件，因此该准则可概括许多常用的屈服准则，所以有 人将其称为岩土材料的统一屈服准则。
为了使 平面上屈服曲线光滑，且在＝30时与C－M屈服 条件拟合，要求形状函数满足以下条件：
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dg ( ) 0 d
当 30 时；
满足函数的连续性
g (30 ) 1
g (30 ) K 3 sin 3 sin
当 30 时；
当 30 时。
满足S-D效应
式中：K值代表三轴拉压强度之比。
Z-P准则在 拟合。
屈服与破坏准 则
福州大学 老毕
• 任务：如何来理解屈服与破坏准则？
• 何为屈服？何为破坏？何为准则？如何得到屈服和破坏的 准则？
• 屈服：由弹性进入塑性！
等同 么？
• 破坏：变形过大丧失对外力的抵抗！
• 准则：寻找一种数学上的联系！
• 那么，如何得到这种联系呢？
• 屈服条件一般是应力 （或应变）状态的函 数；
• 包络线和摩尔圆交点坐标：
/ 即反应了 的 大小，当 大时则
有发生屈服与破坏 的可能。
如果我们并不知道主应力的大小顺序，则可表示为：
f {( 1 2 )2 [( 1 2 )sin 2c cos ]2 } {( 2 3 )2 [( 2 3 )sin 2c cos ]2 } {( 3 1 )2 [( 3 1 )sin 2c cos ]2 } 0
sin 3 3 sin
2
3 (3 sin )
6 3c cos 32 sin 2
压缩锥与拉 伸锥平均值 2 0
力
sin tan 3
3c cos 3 sin 2
2 c cos 3
平 面
1 c , 2 3 0 3 t , 2 1 0

6


外接圆---压缩圆
1 2 3



6
内接圆---拉伸圆 内切圆时：
sin 9 3sin 2
,k
3c cos 9 3sin 2
f 0
tan
1 3
s in
内切圆
内接圆时：
2sin 9 3sin 2 2sin 9 3sin 2
屈服函数是 1， 2， 3或J3的偶函数。
取（100，150，200），（100，200，150），（150，100，200）时，其 屈服曲线不变，与坐标无关，120度得证；若拉压屈服不同，则坐标轴正向交点 大小相同，负向大小相同，而正负向不同，故而分成6个60度的扇形对称图形。 （岩土类材料）；又因为金属类材料拉压屈服相同得60度，而屈服函数对坐标轴 均为偶函数，则继续分成12个30度的扇形（金属类材料）。
1.C M准则的I 1, J 2形式
C-M准则的其它形式
2.C M准则的p, q,形式
3.C M准则的p, q形式
q 2q sin 2 / 3q sin sin c sin
q
6sin 6c cos p (拉取正，压取负） 3 sin 3 sin
,k
6c cos 9 3sin 2 6c cos 9 3sin 2
折中圆为拉伸圆与压缩圆的平均值
外接圆时：
,k
D-P准则与M-C准则的拟合关系
M-C准则可用不变量I1、J 2、 表达如下：
f tan c 0 1 1 f ( I1 , J 2 ) I1 sin (cos sin sin ) J 2 c cos 3 3
1 3 c , 2 0 1 3 t , 2 0
1 sin 3
应
力
双压
双拉
1 2 3
sin
2 c cos 3
（1）D-P屈服准则考虑了中间主应力对屈服的影响，屈服曲面光滑，便于数值计算。 （2）材料参数少，且易于由试验测定，且可由C－M材料参数换算。 （3）考虑了静水压力对屈服的影响，更适于岩土材料。 （4）没有考虑单纯的静水压力可以引起（岩土类）材料屈服的特点。 （5）没有考虑岩土类材料在平面上拉压强度不同的特性。 表4-1 Mises屈服破坏准则评价结果
1.偏平面上屈服曲线或破坏曲线与剪应力有关。 2.子午面的屈服曲线或破坏曲线与剪应力有关。 3.围压增加的过程中剪应力增大。
与I 1, J 2, 有关。
偏平面上屈服曲线的性质：
1.屈服曲线是一条封闭的曲线。（不封闭则达不到屈服） 2.屈服曲线相对于坐标原点为外凸曲线。（加卸载准则） 3.金属类材料：12个30度的扇形对称图形。 岩土类材料：6个60度的扇形对称图形。
1 2 3

2 sin 3 (3 sin ) 2 sin
k
6c cos 3 (3 sin ) 6c cos
30
1 2 3 30
3 (3 sin来自百度文库 )
2 3 sin 32 sin 2
平面上的屈服曲线光滑，且在
30 时与M-C准则
指数n为2时，准则可以是双曲线、抛物线或椭圆
a需自行选定
P1需自行选定
解决静水压力产生屈服 ，d需自己选定

Zienkiewice-Pande 准则抛物线形屈服曲线方程系数的确定
表3-2
Z-P屈服破坏准则评价结果
辛克维兹－潘德屈服条件则是针对莫尔－库仑屈服条件的缺点，对莫尔－ 库仑屈服条件进行的修正与推广。辛克维兹－潘德屈服条件的三种屈服曲线在 p－q子午面上都是光滑曲线，不仅有利于数值计算，而且在一定程度上考虑了 屈服曲线与静水压力的非线性关系，单纯的静水压力可以引起屈服（椭圆形屈 服曲线）以及中间主应力对屈服的影响（通过 平面上的形状函数反映出来）。 因此，在岩土本构模型中常有应用。例如，著名的修正Cambridge模型 就是采用的椭圆形屈服曲线，而莫尔－库仑屈服条件破坏线就是Cambridge模 型的临界状态线。
6.一般岩土属于剪切破坏。
7.初始为各项异性与应力导致的各项异性。 8.与时间相关性（流变性）。 如何把这些条件运用到研究中去呢？
9.数学函数连续。
10.适用性好，相关系数易于测定。
Coulomb-Mohr屈服准则
C-M准则考虑了正应力或平均应力作用的最大主剪应力或单一剪 应力屈服理论。 当知道主应力的大小，即 2 3 时，表示 1 为：
当p=0时，可得到：
qc 3 sin qt 3 sin
大家想想，该式说明什么？
将Coulomb-Mohr函数的图像绘制在主应力空间、偏平面或 子午面内，相应的图像如下：
（a）主应力空间
（b）偏平面
（c） 子午面
C-M准则的屈服曲面及屈服曲线
C-M准则的评价
莫尔－库仑屈服准则的优点： 它能反映岩土类材料的抗压抗拉强度的不对称性；材料对静 水压力的敏感性；而且模型简单实用，材料参数少，c、 可以通过 各种不同的常规试验测定。因此，它在岩土力学和塑性理论中得到广 泛应用，并且积累了丰富的试验资料与应用经验。 莫尔－库仑屈服准则的优点： 但是，莫尔－库仑屈服准则不能反映中间主应力对屈服和破 坏的影响，不能反映单纯的静水压力可以引起岩土屈服的特性，而且 ，屈服面有棱角，不便于数值计算。
图1-1 典型岩土应力-应变曲线
• 加载条件一般是加载 应力（或应变）与硬 化参量的函数；
屈服条件改写成：f ( I 1, J 2 , )
与剪切破坏有 关 围绕 等压 线的 半径 有关
• 破坏条件一般是破坏 应力（或应变）与破 坏参量的函数。 和S-D效应
有关
• 准则是抽象的。
• 如果将屈服函数，加载函数及破坏函数对立的图形表示在 应力空间中，它们会是什么样子？
Tresca准则与广义Tresca准则
C M准则的I 1, J 2形式
令φ=0，则有：
1864年，法国工程师Tresca根据Coulomb对土力学的研究和他在金属挤压试验中得到 的结果，提出当材料的最大剪应力达到某一极限值kT时，材料产生屈服，即最大剪应力 屈服准则。
① Tresca准则表达式
② D-P准则表达式
修正值！ D-P准则在主应力空间屈服面是一个以等倾线为轴的圆锥体表面，在 平面上的 屈服曲线为圆，在某一子午面上为椭圆。
图4-1 Mises与D-P准则的屈服曲面及屈服曲线
D-P屈服准则的材料常数 和 k，与C-M准则 的 和 c 关系不同，可得到不同的结果：
1 2 3
岩土类材料的屈服与破坏特性
（是后续准则及模型应大体遵循的条件）
１.一般的岩土类材料都具有应变硬化或软化特性，故屈服与破坏函数不同。 ２.三个主应力或三个应力不变量都对屈服或破坏有影响。 3.单纯的静水压力也可以产生屈服。 4.具有S-D效应，即拉压的屈服与破坏强度不同。 5.高压下屈服及破坏与静水压力呈非线性关系。
表4-2
D-P屈服破坏准则评价结果
总结：
Tresca准则
修正静水压力
广义Tresca准则
Φ=0时特殊情况
C-M准则
克服：1.棱边尖角；2.屈服 与静水压力非线性关系； 3.δ2对强度的影响 Z-P准则
拟合
能量强度理论
D-P准则
修正静水压力
Mises准则
柱面的准则：Tresca准则，Mises准则。 锥面的准则： C-M准则，广义Tresca准则，D-P准则。 拟合各种面的准则： Z-P准则。
加载的过程，就是 曲面扩张的过程。
偏平面 Π 平面 子午面 那么如何更好的来 理解这个曲面？
研究偏平面和子午面上的屈服曲线或破坏曲线对研究材料 的屈服与破坏有重要意义
有何重要的意义呢？
偏平面的屈服曲线或破坏曲线与J 2和J 3(或 , )有关 子午面上的这些曲线只与1(或P)，J 2有关。
Mises 准则与 Drucker-Prager准则
1. 准则表达式 ① Mises准则表达式
f
J 2 kM 0
只与J 2有关
故而需要对其进行修正，引出下一个表达式： Drucker与Prager于1952年提出了考虑静水压力影响的广义Mises 屈服准则，即德鲁克－普拉格屈服准则。
② 广义Tresca准则表达式
Z-P准则
为了克服C－M屈服准则屈服面（曲线）的棱角（尖角）， 并考虑屈服与静水压力的非线性关系及中间主应力对强度的影响， Zienkiewicz-Pande(辛克维兹-潘德）于1975年提出了他们的屈服准 则，其一般形式为：
式中：
1、 为系数，n为指数，一般为0、1、2；这三个参数决