数论论文-关于欧拉定理问题及其应用
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关于欧拉定理问题及其应用
摘要：从欧拉定理的证明为切入口，探讨欧拉定理证明所体现数学思想方法，在此基础上探究其应用。
关键词：欧拉定理，数学思想方法，应用。
在初等数论中，关于欧拉定理问题的理解、应用以及体现出的数学思想方法是理解数学中其他知识的基础，但目前各种教材对这类问题的提出和总结的不够，尤其对它所体现的数学思想方法。为了加深对欧拉定理的有关理解，本文从欧拉定理的证明为切入口，探讨欧拉定理证明所体现数学思想方法，在此基础上探究其应用。
一、欧拉定理和其推论的证明
（一）欧拉定理的证明及其体现的数学思想方法
1.定理(Euler):设n是大于1的整数，（a,n）=1,则a^φ(n) ≡ 1 (mod n)
证明：首先证明下面这个命题：
对于集合Zn={x1,x2,...,xφ(n)},其中xi(i=1,2,…φ(n))是φ(n)个n的素数，且两两互素，即n
的一个化简剩余系，（或称简系，或称缩系)，
考虑集合S = {a*x1(mod n),a*x2(mod n),...,a*xφ(n)(mod n)} 则S = Zn
1) 由于a,n互质，xi也与n互质，则a*xi也一定于p互质，因此任意xi，a*xi(mod n) 必然是Zn的一个元素
2) 对于Zn中两个元素xi和xj，如果xi ≠ xj 则a*xi(mod n) ≠ a*xi(mod n)，这个由a、p互质和消去律可以得出。
所以，很明显，S=Zn
既然这样，
（a*x1 ×a*x2×...×a*xφ(n)）(mod n) = （a*x1(mod n) × a*x2(mod n) × ... × a*xφ(n)(mod n)）(mod n)
= （x1 × x2 × ... ×xφ(n)）(mod n)
考虑上面等式左边和右边
左边等于(a*（x1 × x2 × ... × xφ(n)）) (mod n)
右边等于x1 × x2 × ... ×xφ(n)）(mod n)
而x1 × x2 × ... ×xφ(n)(mod n)和n互质
根据消去律，可以从等式两边约去，就得到：a^φ(n)≡ 1 (mod n)
证明：设集合{A1,A2,...,Am}为模n的一个缩系（若整数A1,A2,...,Am模n分别对应0,1,2,...,n-1中所有m个与n互素的自然数,则称集合{A1,A2,...,Am}为模n的一个缩系）则{a A1,a A2,...,a Am}也是模n的一个缩系（如果a Ax与a Ay (x不等于y)除以n余数相同，则a(Ax-Ay)是n的倍数，这显然不可能）
即
A1*A2*A3*……Am≡aA1*aA2*……aAm(mod n) （这里m=φ(n)）
两边约去A1*A2*A3*……Am
即得1≡a^φ(n)（mod n）
2.（例题）设(a, m) = 1, d是（d，a）≡1（mod m）成立的最小正整数，则
（i）d/ mϕ
(ii)对于任意的 I , j , 0 ≤ I , j ≤，d-1 , I ≠ j , 有j i aa≡ (mod m)
解：(i) 由Euler 定理，0d≤)(mϕ（因)(mϕ满足同于式，而0d是最小的）
因此，由带余除法，有)=(mϕ= qd+r，q∈Z, q>0 ,0≤r<0d
. 因此，由上式及0d的定义，利用定理1，我们得到 1≡r(mod m) 即整数r满足
1≡ra(mod m) , 0 0dr<≤由0d的定义可知必是r=0 ,即)(/0mdϕ
(ii): 若式（3）不成立，则存在I , j, 0i≤, j 10-≤d, 使得jiaa≡(mod m). 因ij≠, 所以不妨设i 因为(a,m)=1, 所以m/( )1--j ia ,即 1≡-jia(mod m) , 0 （二）欧拉定理的推论的证明及其体现的数学思想方法 1.推论（Fermat定理）若p是素数，则(a ，p ) ≡.(modpa) 证明：若(a,p)=1 ,由定理1及￡3定理5即得 (a ，p ) ≡.(modpa) 若(a,p)≠1,则p/a,故a p ).(modpa≡ 2.（例题）1841 1777(mod41),a≡求a在0到41的值 解：因为41是素数，所以由费马定理有40 17771(mod41)≡，而1841=46*40+1，所以1841，1777177714(mod41)≡≡，a=14 二、有关于欧拉定理的应用问题 （一）欧拉定理对循环小数的应用定理