高数 空间曲面讲解

面去截空间曲面，考察其交线（即截痕）的形状，
然后加以综合，从而了解空间曲面的全貌.
一、球面
与定点的距离为常数的点的轨迹称为球面.下面
建立球心在点 P0(x0 , y0 , z0 ) , 半径R为的球面方程 . 空间中任一点 P(x, y, z) 在球面上,当且仅当
| P0 P | = R , 所以该球面方程为: (x x0)2 ( y y0)2 (z z0)2 R2
F1(x1, y1, z1) = 0, F2(x1, y1, z1) = 0
由上面四个等式消去参数 x1, y1, z1可得一个
三元方程:
F (x, y, z) = 0
这就是以A为顶点L为准线的锥面方程.
一般地, 方程
x2 y2 z2 0 a b 0,c 0
a2 b2 c2
2
例13
求面yoz上的双曲线
y2

b
2

z2 c2
1
x 0
分别绕z轴、y轴旋转所得到的旋转曲面的方程. 解 绕z轴旋转所得曲面的方程为： z
x2 b2
y2

z2 c2
1
o
该曲面称为单叶旋转双曲面. x
y
如图6.11
图6.11
绕 y 轴旋转所得曲面的方程为：
y2 b2

x2 c2
z 0

y2 b2

z2 c2
1,
x 0
x2

a
2

z2 c2
1
y 0
这些截痕都是椭圆.
如果用平行于xoy面的平面z = z1, ( |z1|≤c ) 去截椭球面,截痕(交线)为:

x2
y2
a2

c2
c 2 z12
b2 c2
z2

1
该曲面称为双叶旋转双曲面. 如图6.12. z
o
y
x 图6.12
五、二次曲面
三元二次方程所表示的曲面称为二次曲面.
如球面、圆锥面等.下面利用“截痕法”再研究几
种特殊的二次曲面.
z
1、椭球面
方程
x2 a2

y2 b2

z2 c2
1
o
y
所表示的曲面称为椭球面. 由方程可以看出：
x 图6.13
下面考虑母线为平面曲线的情形,把曲线所的 平面取作坐标面,把旋转轴取作坐标轴.
设 yoz 面上的一条曲线L ,其方程为
F (y, z) = 0
x =0
L绕轴z旋转一周就得到一个旋转面(如图6.9).
求该旋转面的方程.
z
设点P(x, y, z)为旋转 面上任一点,将该点旋转
P1(0,y1,z1) P(x, y, z)
3 x2

y 0;
4 x2 z2 1; 5 x y 0
a2 c2
解 (1) 椭圆柱面:母线平行于x轴, 准线是 yoz面上的椭圆(图6.2) ;
(2)圆柱面:母线平行于z轴, 准线是xoy面上的单
位圆 (图6.3) ;
(3)抛物柱面:母线平行于z轴, 准线是 xoy面上的
这些直线叫做它的母线，定点叫做它的顶点.在
锥面上与各条母线都相交的曲线叫做它的一条
准线，准线不是唯一的，通常可取在一个平面
上的截线作为其准线（图6.7）.
如果准线是一个圆， z
顶点在通过圆心且垂直
于此圆所在平面的直线
上，这样的锥面叫圆锥 面.
o x 图6.7
y
下面建立锥面的方程.
已知锥面的顶点为A(x0, y0, z0) , 准线为
称为准线.（图6.1）
z
下面建立柱面方程.
设有一柱面, 选取 坐标系，使该柱面的母 线平行于z轴, 点P(x, y, z)
o
L
y
为柱面上任一点, 当该点 x 平行于z轴上下移动时,它 仍保持在柱面上,也就是说,
图6.1 C
不论z为何值, P(x, y, z)的坐标都满足柱面方程.
因此该柱面方程中不含有z , 可设柱面方程为:
二次曲面
球面 柱面 锥面 旋转面 二次曲面 小结
在空间直角坐标系中，三元方程 F(x, y, z)=0
表示空间曲面，而
F x, Gx,
y, y,
z z

0 0
则表示空间曲线.
本节主要讨论一些常见的曲面. 研究空间曲面方
程的特点，并利用“截痕法”研究空间曲面的形状.
所谓“截痕法”是指用坐标面和平行于坐标面的平
|x| ≤α ，|y|≤b ，|z|≤c
椭球面关于每个坐标面都是对称的，从而关
于每个坐标轴及坐标原点也是对称的.特别地，当
a = b = c 时，方程变为
x2 y2 z2 a2
这是一个以原点为圆心，半径为α的球面.
如果用三个坐标面去截椭球面，截痕分别为

x2 a2

y2 b2
1,

y2 0

z2 0

R2
这个方程的特点为:
(1) 它是三元二次方程;
(2)平方项的系数都相等且不为零(可设为1);
(3)不含有交叉项 xy, yz , zx.
一般地 , 满足上述三个条件的方程 , 其图形总
是一个球面 .事实上 , 通过配方法,每一个这样的方
程都可以化为:
(x x0)2 ( y y0)2 (z z0)2 k

z1
z z1
代入上式得 f x, y, z x2 y2 z2 0
因而它是一个圆锥面方程.
四、旋转面
圆柱面可以看作由一条直线绕与它平行的另 一条直线旋转一周所成的曲面.一般地，由一条曲 线L绕一条定直线 l 旋转一周所成的曲面叫做旋转 曲面.定直线 l 称为旋转曲面的轴，即旋转轴, 曲线 L称为旋转曲面的母线.
这就是所求的旋转面的方程.
同理,如果曲线L绕y轴旋转,所得旋转面的方
程为
F( y, x2 z2 ) 0
类似的,可推出xoz面上和xoy面上的曲线分别
绕x、z轴和x、y轴旋转所得到的旋转曲面的方程.
例12 求 yoz 面上的直线 z = ycotα绕z轴旋转
一周所得圆锥面的方程（图6.10）.
的柱面,它的一条准线为

G( x, y
y
)

0 0
方程 H( y, z) = 0(不含x), 表示母线平行于y轴
的柱面,它的一条准线为
H( y, z) 0

x
0
例10 说明下列方程在空间直角坐标系中各
表示什么曲面?
1
y2 b2

z2 c2
1;
2 x2

y2
1;
图 6.8
数),若(x, y, z)满足方程
F (x, y, z) = 0, 则(tx, ty, tz) 也满足锥面方程, 即
F (tx, ty, tz) = 0 ,因此,顶点在原点的锥面方程
F (x, y, z) = 0 是齐次方程. 另外,还可证明,任何一
个关于x, y, z 的齐次方程,都表示顶点在坐标原点
当 k ＞0 时,表示球心在P0(x0 , y0 , z0 ),半径为 k 的球面方程;当 k = 0 时,球面缩为一点;当 k ＜0 时, 无图形(通常称为虚球面).
例如，方程 x2 y2 z2 2x 2 y 2 0
配方后得: (x 1)2 ( y 1)2 z2 4
x=x1( |x1|≤α)去截椭球面,也有上面类似的结果. 如果α= b ≠ c , 则椭球面是yoz面上的椭圆
y2 z2

b2

c2

1
绕z轴旋转所成的旋转椭球面.
x 0
2、双曲面
(1) 单叶双曲面
(1) 单叶双曲面
z
方程
x2 a2

y2 b2

z2 c2
1
所表示的曲面称为单叶双曲面.
的锥面.
类似地,关于 x-x0 , y-y0 , z-z0 的齐次方程表示 顶点在(x0 , y0 , z0)的锥面.
如顶点在原点的圆锥面方程 z2 = c2(x2 + y2)
是关于 x, y, z 的齐次方程, 又如二次齐次方程 xy + yz + xz = 0 一定表示一个顶点在原点的锥面.
事实上,设 f (x, y, z) = xy + yz + xz , 令
o
y
它关于三个坐标面对称，关于 x
三个坐标轴和坐标原点都对Baidu Nhomakorabea.
当 a = b 时，方程为
x2 a2
y2

z2 c2
1
这就是单叶旋转双曲面（可以看成yoz面上的
双曲线
y2 b2

z2 c2
1
绕 z 轴旋而成）.
如果用一族平行于xoy 面的平面z = z1
（z1 为参数）去截单叶双曲面， 截痕为一族椭 圆 ，其方程为：
抛物线(图6.4) ;
(4)双曲柱面:母线平行于y轴, 准线是xoz面上的
椭圆(图6.5) ;
(5)过z轴的平面:母线平行于z轴, 准线是xoy面上
的直线(图6.6) ; y
z 图6.3
图6.2 z
x
y
x
z z
o
y
x 图6.4
y
o y
x 图6.6
o
x
z 图6.5
三、锥面
过一个定点的直线族形成的曲面叫做锥面.
是以(1, 1, 0)为球心, 半径为2的球面.
二、柱面
由一族平行直线形成的曲面叫做柱面，这些 平行的直线称为柱面的母线，在柱面上与各母线 垂直相交的一条曲线称为柱面的准线，通常用垂 直于母线的平面去截柱面就得到一条准线L，准 线不是唯一的.柱面也可以看成由一条动直线L沿
定曲线C平行移动所得到的曲面，L称为母线，C

x y

x1 x1

y1 y1
z z1
将其代入上式得
f
x,
y, z
gx1,
y1, z
x2 1

y2 1

2 x1z1

x2 1

2 x1z1

z2 1

y2 1

z2 1

x1 z1
2

y2 1

z2 1
再令
xy

x1 y1
调增大的一组双曲线. 用y = y0 去截有与x = x0 类
似的结果, 如图 6.8所示.
z
锥面的特点是:过顶
点和锥面上任一点的直
线在锥面上.如果顶点在
原点O(0,0,0), 那么,顶点
o
O(0,0,0)与锥面上任一点
y
P(x, y, z)的连线上的点的 x 坐标就是(tx, ty, tz)(t为参
至yoz面得点P1(0,y1,z1),
则有

y1

z1 z
x2 y2
(1)
o x 图6.9
y
又因P1(0, y1, z1)在曲线上L上,故有
F ( y1, z1) = 0 由(1)得 y1 x 2 y2 , z1 z
代入(2) 得 F ( x 2 y2 , z) 0
F (x , y) = 0
它与 xoy 面的交线 就是它的一条准线.
F(x, y) 0

z
0
一般地,在空间直角坐标系中,方程 F (x , y) = 0
(不含z), 表示母线平行于z轴的柱面,它的一条准线
为
F(x, y) 0

z
0
方程 G (x , z) = 0(不含y), 表示母线平行于y轴

a2 c2
x2 (c2
z12 )

b2 c2
y2 (c2
z12 )
1
z z1
若球心在坐标原点,则球面方程为:
x2 + y2 + z2 = R2
将上述方程展开得
x2

y2

z2

2x0 x

2 y0 y

2z0z

x2 0

y2 0

z2 0

R2
即 x2 y2 z2 2ax 2by 2cz d 0
其中
a

x0
,b


y0
,c

z0
,d

x2 0
L:
FF12((xx,,
y, z) y, z)

0 0
设,
P(x,
y,
z)
为锥面上任一点,
母线AP交准线于点P1(x1, y1, z1) , 则由直线的两 点式方程知母线AP的方程为:
x x0 y y0 z z0 x1 x0 y1 y0 z1 z0 同时点P1(x1, y1, z1) 满足:
表示一个顶点在原点的锥面,用平面 z = c 去截它,
就得到一条准线

x2 a2

y2 b2
1
z c
这是一个椭圆, |c|由0逐渐增大,椭圆的半轴也
由0逐渐增大.用x = x0 去截,当 | x0 | = 0 时,截线是一 对相交直线,当| x0 | 从0增大到+∞时,截线是半轴单
解 把直线方程中的z不变，y变为 x 2 y2
就得到所求圆锥面的方程为：
z
z x 2 y2 cot
即
z2 a2(x2 y2)
α
o
（其中a = cotα）
直线L绕另一条与之相交
x
y
的直线旋转一周，所得的旋转
曲面叫做圆锥面，两条直线的 图6.10
夹角 （0＜α＜
）称为圆锥面的半顶角.
c 2 z12
1
z z1
这是平面 z = z1上的椭圆,它的半轴分别为
a c
c 2 z12
,
b c
c 2 z12
当z1变动时，这族椭圆的中心都在轴上,当
| z1|由0逐渐增大到c, 椭圆截面由大到小,最后缩
成一点(0, 0 , +c) , 如果用平面 y = y1( |y1|≤b)或