随机型库存问题

随机型库存问题

在前面的讨论中，需求率和订货提前期都被视为确定的，这只是一种理想情况、在现实生活中，需求率和提前期都是随机变量。需求率和提前期中有一个为随机变量的库存控制问题，就是随机型库存问题。

一、假设条件

◆需求率d和提前期L T为已知分布的随机变量，且在不同的补充周期，这种分

布不变

◆补充率无限大，全部订货一次同时交付

◆允许晚交货，即供应过程中允许缺货，但一旦到货，所欠发必须补上

◆年平均需求量为D

◆已知一次订货费为S，单位维持库存费为H，单位缺货损失费为C S

◆无价格折扣

按照以上假设条件，库存员的变化如图9—11所示。

二、固定量系统下订货量和订货点的确定

确定固定量系统下订货量和订货点的目标仍然是使总库存费用最少。随机型库存问题与确定性库存问题的最大差别在于：它允许缺货，因此必须考虑缺货损失费。

式中，C T 为库存相关费用;E L 为各周期库存量的期望值：Es(RL)为订货点为RL 下各周期缺货量的期望值；Cs 为单位缺货损失费。C P 为常量，可以不考虑。

由于库存量降到订货点就发出订货，缺货只是在提前期内发生。因此订货点为RL 时各周期缺货量的期望值：

各周期库存量的期望值： 2L L Q E R L D =

+-

对Q 和RL 求一阶偏导数，并令其等于零。通过对订货批量Q 求偏导数，得：

通过对RL 求偏导数，得：

如果Q 和RL 可以连续取值，则联立求解式(9．15)和式(9．14)便可以求出最优的订货批量Q 。和最优的订货点RL 。但无论是订货量还是订货点，都只能取离散值，因此，只能用逐步逼近的方法求满意解。

逐步逼近法可以这样进行：先用式9．15计算—“个Q ，然后将该Q 值代人式(9．14)，求得一个RL ，再求E s(月L)：用式(9．15)又求的一个Q 值，再代入式(9．14)求得另一个RL …．”如此进行下友，可以求得满意解。

提期内需求分布律的确定可以采用模拟法、计算法、经验估算等方法确定。 四、求订货量和订货点的近似方法

前述求最佳订货量和订货点的方法十分复杂，难以在生产实际中应用。加之实际数据并不一定很准确，用精确的方法处理不精确的数据，其结果还是不精确。因此，有必要研究简单易行并足够难确的求订货量和订货点的近似方法。

对于订货量，可以直接用EOQ 公式汁算。对于订货点，可以采用经验方法确定，也可以通过确定安全库存或服务水平的办法来计算。用经验方法比较粗糙，如现有库存为提前期内需求的2倍（或1.5倍、1.2倍时）提出订货。

1、安全库存（safety stock, SS）

在知道安全库存的情况下可以按下式计算定货点RL=SS+DE

DE：提前期内需求的期望值。

需求率和订货提前期的随机变化都被预设的安全库存所吸收。

安全库存有双重作用：

①降低缺货损失率，提高了服务水平(Service level)

②增加了维持库存费用。

即使有安全库存存在也不能保证每一次需求都能得到满足，SS只是降低了缺货率。

在随机型库存系统中，需求率和订货提前期的随机变化都被预设的安全库存所吸收。安全库存是一种额外持有的库存，它作为一种缓冲器用来补偿在订货提前期内实际需求量超过期望需求量或实际提前期超过期望提前期所产生的需求。团9—14表示提前期内需求近似服从正态分布的情况。图中左边明影部分面积表示不发生缺货的概率，可以作为库存系统的服务水平i右边阴影部分面积表示发生缺货的概率。从图9—14可以看出，如果没有安全库存．缺货的概率可达到50％。

即使有安全库存存在也不能保证每一次需求都能得到满足，SS只是降低了缺货率。

2、服务水平（与缺货率是相对的，服务水平+缺货率=1）

表示方法：

1) 整个周期内供货的数量/整个周期的需求量；

2) 提前期内供货的数量/提前期的需求量；

3) 顾客订货达到满足的次数/订货发生的总次数；

4) 不发生缺货的补充周期/总补充周期数；

5）手头有货可供的时间/总服务时间。

我们取提前期内需求D L不超过订货点RL的概率作为服务水平：

3、安全库存与服务水平的关系

很明显，服务水平越高，安全库存量越大，所花的代价也越大，但服务水平过低又将失去顾客，减少利润。因而确定适当的服务水平是十分重要的。图9—15中的曲线描述订货点和服务水平的关系。在服务水平比较低时，特服务水平提高同样比例，订货点增加幅度(安全库存增加幅度)小(LI)；在服务水平比较高时，将服务水平提高同样比例，订货点增加幅度(安全库存增加幅度)大(L2)，Lz＞L，这就是说，在服务水平较低时，稍稍增加、—点安全库存，服务水平提高的效果就很明显。但是，当服务水平增加到比较高的水平(如90％)，再提高服务水平就需大幅度增加安全库存。

在服务水平较低时，增加安全库存，服务水平提高效果明显当服务水平增加到较高水平（如90％），再提高服务水平就需大幅度增加安全库存

对于提前期内需求为符合正态分布的情形：

DE ：提前期内需求的期望值

Z ：正态分布的上百分点 L σ： 提前期内需求量的标准差

对于提前期内各单位时间内需求分稍相生独立的情况，有；

随机型库存问题示例

根据历年资料，可知C 公司在提前期内需求呈正态分布，提前期平均销售A 产品320台，其标准差为40台。订货提前期1周，单位订货费是14元，单位维持库存费用是每台每年1.68元，缺货成本是每台2元。试确定该公司的库存策略。

解：利用有关公式可得：

取整为527台

最优服务水平下的缺货概率

（3）查正态分布得 z=1.93

（4）订货点 RL=DE+Z σL=320+1.93×40=397台

（5）安全库存 SS=RL －DE ＝397-320=77台

（6）服务水平 SL=1－0.0266=0.9734=97.34%

E L L D R σZ += 1.68527()*/ 0.0266232052S p DL RL HQ C D ⨯>===⨯⨯