电磁场与电磁波(正弦平面电磁波在无界空间中的传播)

2
k
H k2 H 0
2
Ek E 0
2 2
6.2 理想介质中的均匀平面波
6.2.1 均匀平面波的波动方程及其解 1、平面波是指波阵面为平面的电磁波。 2、均匀平面波：指波的电场 和磁场 H 只沿波的传播方 E 向变化，而在波阵面内 E 和 H 的方向、振幅和相位不变的 平面波。
注意：一般说来，大多数源辐射的电磁波为球面波。但当我们远离波源 观察球面上的一小部分波时，由于半径足够大，球面上的一小片面积可 以视为平面，在此小平面内的波可视为平面波。因此，对平面波的讨论 具有十分重要的工程意义。
这里我们讨论的是波在理想介质中的传播问题，所 0 在直角坐标系中，正弦稳态电磁波满足的 复矢量方程为
E y E ym cos[t y [ x, y, z)] Re[E yme
j (t y )
e jt ) ] Re(E ym
6.1.2
e jt ) Ez Ezm cos[t z ( x, y, z)] Re[Ezm e j (t z ) ] Re(E zm
J 以， 0
2 2 H H H 2 2 2 k H 0 2 x y z
2
2 2 E E E 2 2 2 k E 0 2 x y z
2
(6.2.1) (6.2.2)
下面求解波的电场和磁场。由于波的电场和磁场受 麦克斯韦方程约束，所以只需求解电场或磁场分量。假 定均匀平面波向z方向传播，且电场只有x分量，由于波 阵面为与面平行的xoy平面。按均匀平面波的定义有：
同样，其它的正弦场矢量可用相应的复矢量表示，正弦 源 J 和 也可表为
J Re( J m e jt )
Re( e jt )
例6.1.1 将下列场矢量的瞬时值改写为复数；将场的复 矢量写为瞬时值。
(1)
a x x H a x H 0 k sin sin(kz t ) a z H 0 cos cos(kz t ) a a
2 jE sin cos(kx cos )e jkz sin E xm 0
2E0 sin cos(kx cos )e j ( kz sin /2)
故Байду номын сангаас
E x 2 E 0 sin cos( kx cos ) cos( t kz sin

2
)
6.1.2 麦克斯韦方程组的复数形式 正弦稳态电磁场中，场和源都用相应的复矢量和复数表示， 则麦克斯韦方程组可表为
H ( x, y, z, t ) ax H xm ( x, y, z) cos[t x ( x, y, z)]
a y H ym ( x, y, z) cos[t y ( x, y, z)] a z H zm ( x, y, z) cos[t z ( x, y, z)]
2 jE sin cos(kx cos )e jkz sin (2) E xm 0 解：（1）因为 是偶函数，则
cos(kz t )
cos(kz t ) cos(t kz)
而 故
sin( kz t ) cos( kz t

2
) cos( t kz
(6.1.12)
与电介质有关的项
'' 1 ' ' 2 1 * * 1 1 ' '' j c E E j ( ) E E E j ' H 2 2 2 2 2
(6.1.13)
6.1.4 亥姆霍兹定理
2 H 2 H 2 ( jw) H H 2 0 2 t t 2 2 E E 2 2 ( jw) E E 2 0 2 t t
1 * Q平均 Im( E H ) 2
1 * 1 * 1 * S av E H Re( E H ) j Im( E H ) 2 2 2
为穿过单位表面的平均功率
为穿过单位表面的无功功率
与磁介质有关的项
* '' 1 1 1 1 ' '' j c H H j ( ) H H '' H 2 j ' H 2 2 2 2 2
通常将场的复矢量上面的点去掉，于是麦克斯韦方程 组的复数形式可简写成
H J jD
B 0
E jB
（6.1.10a）
（6.1.10b） （6.1.10c） （6.1.10d）
D
麦克斯韦方程组的复数形式对求解正弦电磁场具有十分重 要的意义。对于正弦电磁场的求解，我们可根据给出的源写出 其复矢量和复数，然后利用麦克斯韦方程组的复数形式求出场 的复矢量，再由电磁场的复矢量写出电磁场的正弦表达式。
上式采用的振幅复矢量，为了得到平均功率的有效值，对上 式等式两端x(-1/2)得
* 1 * 1 1 * * 1 * ( E H ) j c H H j c E E E E 2 2 2 2
(6.1.11)
1 * S 平均 Re( E H ) 2
电场强度复矢量对时间的微分和积分可表示为
E jt jt Re(Em e ) Re ( Em e ) Re( jEm e jt ) t t t
1 jt jt jt E dt Re( E e ) dt Re E e dt Re E m m j m e
jt j t [Re( H m e )] Re( J m e ) Re[ jDm e jt ]
jt [Re( E m e )] Re[ jBm e jt ]
[Re( Bm e jt )] 0
e jt ) [Re( Dm e jt )] Re(
6.1.3 正弦场中的坡印廷定理
* 正弦场中， 电场 和 磁 场 分 别 用 复 矢 量 E 和 H 表 示 ， 用E 和 * H 分 别 表 示E 和H 的 共 轭 复 数 ， 并 设 介 质 的 介 电 常 数 ' '' 为 c j ，导磁率为 c ' j '' ，导电率为 。由恒等
（6.1.1b）
正弦电磁场可用欧拉公式 将其表 jx e cos x j sin x 示为复数矢量形式。以电场强度为例，电场强度的各分 量分别可表为
e jt ) Ex Exm cos[t x ( x, y, z)] Re[Exme j (t x ) ] Re(E xm
H
a x E y E j0 j0 z 1
j103 e j (t z ) 将 E y
j 3 j (t z ) H a 10 e 代入上式可得 x
0
将上式展开取实部得 H ( z , t ) a
3 10 sin(t z ) x 0
第六章 正弦平面电磁波在无界空间中的传播
6.1 正弦电磁场 6.2 理想介质中的均匀平面波
6.3 电磁波的极化
6.4 媒质的损耗及分类 6.5 波在有耗媒质中的传播 6.6 电磁波的群速与色散失真
6.1 正弦电磁场
6.1.1 正弦电场、磁场强度的复数表示方法
在直角坐标系中，正弦电磁场的电场和磁场分量可以写成
(6.2.4)
将式(6.2.4)展开并取实部得
j (t kz) j (t kz) Ex ( z, t ) Re[Em e Em e ]
例6.1.2 在真空中，已知正弦电磁波的电场分量为
E ( z, t ) a y 103 sin(t z ) 求波的磁场分量 H ( z, t )
z) j103 e j (t E 解：先将波的电场分量写成复矢量，即 ， y E j0 H 可得 将其代入复矢量的麦克斯韦方程：
去掉时间因子ejωt，再考虑到取实部的运算和对空间坐 标的运算可交换秩序，麦克斯韦方程组可简化为
H m J m j Dm
E m j B m
Bm 0
Dm
（6.1.9a）
（6.1.9b） （6.1.9c） （6.1.9d）
E( x, y, z, t ) ax Exm ( x, y, z) cos[t x ( x, y, z)]
a y E ym ( x, y, z) cos[t y ( x, y, z)] （6.1.1a） a z Ezm ( x, y, z) cos[t z ( x, y, z)]
2 Ex 0 2 x
2 Ex 0 2 y
因此，向z方向传播的均匀平面波电场Ex满足的波动 方程可简化为
2 Ex 2 k Ex 0 2 z
jkz jkz Ex Em e Em e
其相量解为
(6.2.3)
为了求出Ex瞬时解，下面给出指数形式
j (t kz) j (t kz) Ex Em e Em e
式
* * * (E H ) H E E H 和麦克斯韦方程 E jc H
* * * * H jc E E
得
* * * * * (E H ) jc H H jc E E E E
6.1.5 6.1.6
电场强度复矢量的散度和旋度可表示为
jt E Re( E m e ) Re( E m e jt )
6.1.7 6.1.8
jt E Re( E m e ) Re( E m e jt )

2
)
a x jkz j /2 x jkz H m ax H 0 k sin e a H cos z 0 e a a
a x H xm a z H zm
（2）因为
其中
E e j x E xm xm
E e j y E ym ym
E e j z E zm zm
分别称为各分量振幅的相量，它的模和相角都是空间坐 标的函数，因此 jt E ( z, y, z, t ) Re[(a x E xm a y E ym a z E zm )e ] Re(Ee jt ) 6.1.3 E a E a E a x xm y ym z E zm 其中 6.1.4 称为电场强度复矢量，它含有各分量的振幅和初相两大要 素。电场强度复矢量是一个为简化正弦场计算的表示符号， 一般不能用三维空间中一个矢量来表示，也不能写成指数 形式。