几何图形的计数

计数方法： 1．分类计数法 （1）按照包含同一图形分类； （2）按照图形所包含的“基本图形”的个数分类。 （3）按照图形的大小分类； （4）按照图形的形状分类； （5）按照图形所处的位置分类． 2．对应计数法
课后反思总结
几个计算公式： n(n 1) 1．线段、角的计数公式： 图形个数
2
Baidu Nhomakorabea
2．长方形、平行四边形的计数公式：横边上共有n条线段， 纵边上共有m条线段，则图中共有长方形（平行四边形）mn个 3．正方形的计数公式：如果一横行有m个小正方形，一竖行有n个（假 设m≥n）小正方形，那么图中正方形的个数是 mn+(m–1)(n–1)+…+(m–n+1)(n–n+1) = mn+(m–1)(n–1)+…+(m–n+1)×1 问题解答在http://ylpxxx.blog.sohu.com/
L K H D
E
G C
例8（华罗庚金杯竞赛题）下图中有
个正方形，有
个三角形．
能否将图中的正方形分类，按照不同类型分别数 出其中的正方形个数？ 分为两类，一类是有一组对边在水平方向的正 方形，如左图 这类正方形的个数是 6×6+5×5+4×4+3×3+2×2+1×1=91 除上一类为，还有 4 个正方形 共有95个正方形 这里所使用的方法是分类法中的（4）按照图形的形状分类 直角边长为1的三角形有 6×6×2=72个 直角边长为2的三角形 1--2行8个2--3 , 行 8个, 5--6行 6个,共30个 , 行 2个4--5 , 行 6个3--4 直角边长为3的三角形 1--2行 4个, 3--5行 2个 4--6行 4个,共10个 3--6行2个 思考：还有漏数的三角形吗？ 直角边长为4的三角形
2 （2 1 ） 4 （4 1 ） 30 2 2
思考：原图中平行四边形的个数是否等于60？ 思考：如最右侧的图形中也有30个平行四边形， 那么原图中平行四边形的个数是否是3×30=90？ 不是90，还应减去如下图所示的两个“田字格”中的各9个平行四边形，因为这18个 平行四边形已经包含在前60个之中． 所以，原图形中平行四边形的个数是90－18=72． 注意：在使用分类计数法时，一定要注意是否有遗漏或重复计数的！
法中的另一种，是： （3）按照图形的大小分类
4×3+3×2+2×1=20（个）
边长为2的正方形的个数是
边长为3的正方形的个数是 边长为4的正方形的个数是 所以中图中共有正方形
如果一横行有m个小正方形，一竖行有n个（假设m≥n）小正方形， 那么图中正方形的个数是mn+(m–1)(n–1)+…+(m–n+1)(n–n+1)
C ∠AOB ∠AOC ∠AOD ∠AOE共4个 同样还有： B ∠BOC，∠BOD，∠BOE共3个 ∠COD ，∠COE共2个 O A ∠DOE共1个 E 合计有4+3+2+1=10（个） D C 上面我们采用的方法是分类法 这里采用的方法是“对应法”，这也是计数中 E1 D1 B 4×(4+1)÷2 常用的方法，这种方法实际上是数学的另一思 C1 =10 想——转化思想的运用 B1 使用对应法时，总是在原图形中（有时需添加 O A1 A 辅助线）找出它的某一部分作对应图形 E 可用数线段的方法数如图所示的三角形（对应法） 4个基本角的和 =90°；两个相邻基本角组成的3个角的 （三）数三角形 D C 和=90 °+45 =135 因为 DE° 上有 15°； 条线段，每条线段的两端点 三个相邻基本角组成的 2个角的和=135°； 4个相邻基 与点A相连，可构成一个三角形，共有 15个 B 本角组成的 1 个角 =90 °，所以所有角的和 三角形，同样一边在BC上的三角形也有15 =90° +135°+135°+90 ° =450°． 个，所以图中共有 30 个三角形。 O A 本题的解决，既有分类法又有对应法
如果一条线段上有n+1个点(包括两个端点)（或含有n个“基本线段”），那么 这n+1个点把这条线段一共分成的线段总数为n+(n-1)+…+2+1=
基础训练 1． 共有6×(6+1)÷2=21（条）
n(n 1) 2
.
（二）数 角
例2 数角与数线段相似，线段图形中的点类似于角图形中的边
E D
以OA为一条边的角有：
斜边长为2的三角形1--3行 各4个,共12个 第4行 3个 第5行 1个第6行 4个，共计20个 思考：还有漏数的三角形吗？ 1-6列依次3+3+3+2+3+3=17（个）
思考：还有漏数的三角形吗？斜边长为4的三角形 1-4行1个,2-5行2个， 4-5行1个，共4个 所以图中的三角形共计72+30+10+2+20+17+4=155（个） 这里用了分类法中的（3）按照图形的大小分类（之后又按图形所处位置分类）
例7
你打算怎样数图中的三角形？ F
A
B 5 第1类：与三角形ABE形状有某些相似的三角形有▁▁个 5 第2类：与三角形ABF形状有某些相似的三角形有▁▁个 10 第3类：与三角形ABG形状有某些相似的三角形有▁▁个 5 第4类：与三角形ACD形状有某些相似的三角形有▁▁个 5 第5类：与三角形AFL形状有某些相似的三角形有▁▁个 5 第6类：与三角形AGD形状有某些相似的三角形有▁▁个 所以图中的三角形共有35个 这里所采用的方法是分类法中的另一种，是： （4）按照图形的形状分类 也可以说是 （5）按照图形所处的位置分类
在数学竞赛试题和中考中，经常出现一些几何计数问题，所谓几何计数是指 计算满足一定条件的图形的个数．它的内容比较新颖有趣，为了准确计数， 必须要有一套计数的方法，否则越数头绪越杂乱，很难得出准确的结果． 本讲将较系统地介绍初中数学中所使用的一些计数方法．
学习计数方法不仅仅使我们获得一定的数学知识和方法，更重要的是使我们
感受到数学中的一些重要思想的运用，如数形结合思想、分类讨论思想和转 化的思想，分类讨论思想在这里尤其突出，我们所使用的所有计数方法都离 不开分类． 下面让我们通过例题研究和熟悉几何计数的方法吧！
例1
（一）数 线 段
你是怎样数的？
数线段时，可以线段的左端点进行分类，逐类分别数出线段条数后相加 AB、 AC、 AD、 AE、 AF 共5条 BC、BD、BE、BF共4条 注意：这里涉及到数学中很重要的思想方 法 —— 分类的思想方法。在几何计数中怎 CD、CE、CF共3条 AB 、BC 、 CD 、 DE 、 EF; AC 、 BD 、 样分类？本例所介绍的是方法（ 1）：按照 CE 、 DF；AD 、 BE 、 CF；AE 、 BF； DE、DF共2条 包含同一图形进行分类；（ 2）先划分出基 AF共16条 EF共1条 本图形，再按照包含基本图形的数目分 合计有5+4+3+2+1=15（条） 类．
图中共有---------个长方形 线段AM与AE对应着长方形AMPE， AM与AG对应着长方形AMQG， AM与AB对应着长方形AMNB， AM与EG对应着长方形EPQG,
AM与EB对应着长方形EPNB, AM与GB对应着长方形GQNB. 就是说AM与AB边的6条线段都分别对应着一个长方形，共6个长方形 AD边上共有3条线段，其余两条线段AD和MD也都分别对应着6个长方形， 所以共有3×6=18个长方形 一般的，类似于这样的长方形（平行四边形），若其横边上共有n条线段， 纵边上共有m条线段，则图中共有长方形（平行四边形）mn个
b
提高训练3．图中共有多少个三角形？
显然三角形可分为尖向上与尖向下两大类，两类中 三角形的个数相等．尖向上的三角形又可分为6类 （1）最大的三角形1个(即△ABC)，
（2）第二大的三角形有 1+2=3（个）
（3）第三大的三角形有 1+2+3=6（个） （4）第四大的三角形有 1+2+3+4=10（个） （5）第五大的三角形有 1+2+3+4+5=15（个） （6）最小的三角形有 1+2+3+4+5+6+3=24（个） 最后加的3个是哪3个？
B C D E
A
B
C
A B 7．如图，图中的三角形共有多少个？请把它们都用记号表示出来． A △ABC, △ABE,△ABN,△ABF, △ADM,△ADC,△BDG,△BDC (1)一边在AB上的三角形有▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁ F △BCA, △BCD,△BCF,△BCG, (2)一边在BC上而另一边 D N △BEA,△BEN,△ECA,△ECM 不在AB上的三角形有▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁ G △CAB, △CAD, △CAE,△CAM, M (3)一边在CA上而另一边既 △CFB , △CFG, △AFB, △AFN B E 不在AB上也不在BC上的三角形有▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁ 共计8+5+3=16个吗？ (4)三边不在AB、BC、CA上的有 △MNG
C
所以图中的三角形共有8+5+3+1=17个
图中共有直线6条，设为a, b,c,d,e,f, 每3条一组，列表如下 abc abd abe abf acd ace acf ade adf aef 计10组 bcd bce bcf bde bdf bef 计6组 cde cdf cef计3组 def 计1组 ，合计10+6+3+1=20组 但是经过同一点的三条直线不能围成三角形， 所以图中的三角形共有20－3=17（个） 这里采用的是对应法，但是也要注意计数中是否有遗漏或重复 a d e f c
例5 如左、中、右三图，各包含多少个正方形？
为便于叙述，我们设一个小正方形的边长为1，那么 左图中边长为1的正方形的个数是 3×2=6 边长为2的正方形的个数是 2×1=2 所以左图中共有正方形 3×2+2×1=8（个） 这里所采用的方法是分类 中图中边长为1的正方形的个数是 4×3=12 边长为2的正方形的个数是 边长为3的正方形的个数是 所以中图中共有正方形 右图中边长为1的正方形的个数是 3×2=6 2×1=2 6×4=24 5×3=15 4×2=8 3×1=3 6×4+5×4+4×2+3×1=50（个）
所以尖向上的三角形共有1+3+6+10+15+24=59（个） 图中共有三角形2×59=118（个）
提高训练4 在8×8的方格棋盘中，取出一个由三个小方格组成的“L”形 （如图），一共有多少种不同的方法？
注意：数“不规则几何图形”的个数时，常用对应法 第1步：找对应图形 每一种取法，有一个点与之对应， 这就是图中的A点，它是棋盘上横线与竖线的交点，且不 在棋盘边上。 第2步：明确对应关系 从下图可以看出，棋盘内的每一 个点对应着4个不同的取法（“L”形的“角”在2×2正方 形的不同“角”上）。 第3步：计算对应图形个数由于在 8×8的棋盘上，内部有7×7=49（个）交叉点， 第4步：按照对应关系，给出答案故不同的取法共有49×4=196（种）。 A ·
基础训练5 下图中共有
个三角形
A
顶点为O，且 一边在AB上的三角形有3×4÷2=6（个）； 一边在BC上的三角形有4×5÷2=10（个）； 一边在AC上的三角形有 3×4÷2=6（个）， 再加△ABC，所以共有23个三角形．
O B A E G B M P Q N D F H C C
（四）数长方形、平行四边形和正方形
成就测试答案 1．3+2+1=6，∠A1OA4． 2．6+5+4+3+2+1=21． A 3．(4+3+2+1)×（4+3+3+1）=100． 4．4×1+3×2+2×3+1×4=20 5． 3 经过AB到F的有▁▁种爬法 3 经过AE到F的有▁▁种爬法 3 经过AD到F的有▁▁种爬法 所以共9种爬法 6．如图，图中的长方体和正方体共有多少个？ 说出你是怎样数的． 与数长方形和正方形的方法类似 (3+2+1)×(2+1)×(2+1)=54 长方体有▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁个 正方体有▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁个 3×2×2+2×1×1=14 D D E G F F E C
例4 横边上有8×(8+1)÷2=36条线段，纵边上有7×(7+1)÷2=28条线段， 所以共有36×28=1008个平行四边形．
例6 （雨露招生试题）如图，图中平行四边形的个数为 思考：能否像例4那样数平行四边形？ 可以将图形分割成几部分，使每一部分都像例4那样的图形 但分割的块数越少越好
假设分为如下图所示的两块，那么每块中的 平行四边形的个数都是