第5讲 行程问题一-完整版

第5讲行程问题一
内容概述
掌握速度、路程、时间的概念，以及它们之间的数量关系。

掌握基本相遇问题和基本追及问题的解法；学会用比较的方法分析同一段路程上不同的运动过程。

兴趣篇
1．强强跑100米用10秒，旗鱼每小时能游120千米．请问：谁的速度更快？
答案：旗鱼
解析：强强跑100米用10秒，那么他的速度为100÷10=10(米／秒)=36（千米／时）．
而旗鱼的速度是每小时游120千米，所以旗鱼的速度更快．
2．墨莫练习慢跑，12分钟跑了3000米，按照这个速度，跑25 000米需要多少分钟？如果墨莫每天都以这个速度跑10分钟，连续跑一个月(30天)，他一共跑了多少千米？
答案：100分钟；75千米
解析：墨莫跑的速度为3000÷12=250米／分，跑25000米需要25000÷250=100分钟．每天跑10分钟，跑一个月，一共跑了250×10×30=75000米，即75千米．
3． A、B两城相距24C千米，一辆汽车原计划用6小时从A城到B城，那么汽车每小时应该行驶多少千米？实际上汽车行驶了一半路程后发生了故障，在途中停留了1小时．如果要按照原定的时间到达B城，汽车在后一半路程上每小时应该行驶多少千米？
答案：40千米／时；60千米／时
解析：
如图，汽车原计划6小时行驶240千米，那么汽车原计划行驶速度为240÷6=40千米／时．
后半段的路程为240÷2=120千米/小时。

前半段行驶的时间为6÷2=3小时：再加上停留的1小时，所以后半段行驶的时间为6-3-1=2小时．
汽车在后半段的速度为120÷2=60千米／时．
4． A、B两地相距4800米，甲、乙两人分别从A、B两地同时出发，相向而行．如果甲每分钟走60米，乙每分钟走100米，请问：
(1)甲从A走到B需要多长时间？
(2)两个人从出发到相遇需要多长时间？
答案：(1)80分钟(2)30分钟
解析：(1)如图1：
从A到B的路程是4800米，甲的速度是60米／分．那么甲从A走到B需要4800÷60=80分钟．
(2)如图2，甲、乙出发时相距4800米，每过1分；钟，两人的距离就拉近
60+ 100=160米．
经过4800÷160一30分钟后，两人就相遇了．
5．在第4题中，如果甲、乙两人的速度大小不变，但甲出发时改变方向，即两个人同时、同向出发．请问：乙出发后多久可以追上甲？
答案：120分钟
解析：
如图，甲、乙两人同时同向出发时，甲每分钟前进60米，而乙每分钟前进100米，这就意味着乙每分钟比甲多走100-60一40米，从而使得他们之间的距离拉近40米。

开始乙在甲后面4800米的地方，经过4800÷40=120分钟后，甲、乙之间的距离变成O米，即乙出发120分钟后可以追上甲。

6．甲、乙两地相距350千米，A车在早上8点从甲地出发，以每小时40千米的速度开往乙地．2小时后B车以每小时50千米的速度从乙地开往甲地．问：什么时候两车在途中相遇？
答案：下午1时
解析：方法一：
如图1，A车从早8点出发，2个小时之后，它与甲地的距离是40×2 = 80千米，它与还在乙地的B车的距离是350-80=270千米．这时，两辆车开始相向行驶，它们的速度和为40+50=90千米／时．
根据相遇问题公式“相遇时间=路程和÷速度和”，得相向行驶的时间为270÷90=3小时，
又相向行驶是从早上10点开始的，从而两车在其后3小时，也就是下午1点相遇．
方法二：如图2：
假设B车早上8点从丙地出发，早上10点到达乙地，那么丙地与乙地之间的距离是50×2=100千米，则相遇距离=350+100=450千米；速度和为40+50=90千米／时，根据相遇问题公式“柜遇时间一路程和÷这度和”，得相向行驶的时间为450÷90=5小时．
按照假设，相向行驶是从早上8点开始的，所以两车在5小时后即下午1点相遇．
7．卡莉娅和墨莫分别从相距720米的两地出发同向而行，墨莫在前，卡莉娅在后，且墨莫比卡莉娅先出发2分钟．已知卡莉娅的速度是每分钟60米，墨莫的速度为每分钟50米，试问：当卡莉娅追上墨莫的时候，墨莫已经走了多少米？
答案：4200米
解析：如图：
默莫出发时，与卡莉娅相距720米．2分钟后，当卡莉娅出发时，墨莫与卡莉娅相距720+50×2=820米．而两人的速度差是60-50=10米/分，利用追及问题公式“追及时间=追及距离÷速度差”，可知卡莉娅追上墨莫需要的时间是820÷10=82分钟．
当卡莉娅追上墨莫的时候，墨莫已经走了2十82=84分钟．
墨莫的速度是50米／分，那么墨莫已经走过的路程为50×84=4200米．
8．一辆公共汽车和一辆小轿车从相距350千米的两地同时出发，相向而行，公共汽车每小时行40千米，小轿车每小时行60千米．问：
(1)2小时后两车相距多少千米？
(2)经过几小时后两车第一次相距50千米？
答案：(1) 150千米(2)3小时
解析：(1)如图1：
两车的速度和是40+60=lOO千米／时，2小时两车共行驶了100×2=20O 千米，也就是它们之间的距离拉近了200千米．因此出发2小时后，两车相距350 – 200=150千米．
（2）如图2：
两车从相距350千米的地方相向而行，第一次相距50千米时，两车距离拉近了350-50=300千米，而它们的速度和是40+60=100干米／时，即每小时它
们的距离可以拉近100千米．所以两车第一次相距50千米是在300÷100=3小时之后．
9．一辆公共汽车和一辆小轿车从相距300千米的两地同时出发，同向而行，公共汽车在前，辱小时行40千米；小轿车在后，每小时行60千米，问：(l)经过6小时后两车相距多少千米？
(2)经过几小时后两车第一次相距100千米？
答案：(1) 180千米(2) 10小时
解析：(1)出发6小时后，公共汽车行驶了40
×6=240千米，小轿车行驶了6×6=360千米．
如图1所示，小轿车在公共汽车出发点前面360-300=60千米处，这时公共汽车领先小轿车240-60 =180千米，即两车相距180千米．
（2）
如图2，两车第一次相距100千米时，它化之间的距离由300千米拉近到100千米，那么这个距离拉近了300-100=200千米，而两车的速度差为60-40=20千米／时．需要200÷20=10小时才能让两车的距离拉近200千米，即10小时后两车第一次相距100千米。

10．甲、乙两车分别从A、B两地同时出发相向而行，已知甲车每小时行驶40千米，两车6小时后相遇，相遇后它们继续前进，又过了3小时，甲车到达B 地．问：乙车还要过多久才能到达A地？
答案：9小时
解析：如图：
甲车每小时行40千米，从A地行到C地的时间为6小时，所以A、C两地距离为40×6 = 240千米．甲车从C地行到B地的时间为3小时，所以C、B两地
的距离为40×3=120千米．
这也等于乙车6小时走的路程，所以乙车的速度为120÷6=20千米／时，乙
车从B地行到A地的时间为(120+240)÷20 =18小时，乙车已经走了9小时，那么还需要18-9=9小时才能到达A地．
拓展篇
1．甲、乙两地相距450千米，快车和慢车分别从甲、乙两地出发相向而行，快车每小时行60千米，慢车每小时行30千米．请问：
(1)如果两奎同时出发，几小时后相遇？
(2)如果慢车比快车早出发3小时，当两车相遇时快车走了多远？
答案：（l)5小时(2) 240千米
解析：如图：
（1)出发时两车相距450千米，每过1小时，快车走60千米，慢车走30千米，所以两车距离每小时拉近90千米．经过了450÷90=5小时后，两车之间的
距离拉近到O千米，也就是两车相遇了．
(2)慢车比快车早出发3小时，所以快车出发时，慢车已经行驶了30×3=90千米．
由于甲、乙两地的距离是450千米，因此当快车出发时，两车之间的距离是450-90=350千米，通过与(1)类似的办法可得，再过360÷90=4小时两辆车即可相遇，快车一共行驶了4小时，它行驶的路程为60×4=240千米．
2． A、B两地相距400千米，甲、乙两车分别从A、B同时出发，相向而行，甲车的速度为每小时60千米，乙车的速度为每小时40千米．请问：(l)从出发算起，多久后甲、乙两车第一次相距100千米？
(2)从出发算起，多久后甲、乙两车第二次相距100千米？
答案：(1)3小时(2)5小时
解析：(1)如图1：
两车原来相距400千米，当相距100千米时，它们之间的距离拉近了400-100=300千米．而每小时甲、乙两车之间的距离拉近60+40=100千米，所以在300÷100=3小时后，它们之间的距离变成100千米．
(2)如图2：
在甲、乙两车再次相距100千米时，它们一共合走了400+100=500千米，而甲、乙两车每小时合走60+40=100千米，所以在50c÷100=5小时后，它们之间的距离再次变成100千米．
3．甲、乙两架飞机同时从机场起飞，向同一方向飞行，甲每小时飞行300千米，乙每小时飞行340千米，4小时后它们相距多少千米？这时甲提高速度打算用2小时追上乙，那么甲每小时应该飞行多少千米？
答案：160千米；420千米／时
解析：(1)两架飞机的速度分别为300千米／时和340千米／时，所以两架飞机前4小时飞行的路程分别是300×4=1200千米和340×4=1360千米，
4小时飞行1360千米2小时飞行680千米
如图，从图中不难看出，出发4小时后，两架飞机相距1360-1200=160（千米）．
(2)乙2小时可以飞行340×2=680千米通过上面的计算，结合线段图看到，甲后2个小时共飞行160+680=840千米，所以后2小时中，甲的飞行速度为840÷2=420千米／时．
4．小高步行上学，每分钟行75米，小高离家12分钟后，爸爸发现他忘了带文具盒，马上骑自行车去追，每分钟行375米．求爸爸追上小高所霈要的时间，
答案：3分钟
解析：如图：
小高的速度是75米／分，那么他12分钟走过的路程是75×12=900米．也就是说，爸爸出发时，落后小高900米。

因为爸爸每分钟行375米，小高每分钟走75米，所以爸爸每分钟能追上小高300米．
那么900÷300=3分钟后爸爸就追上了小高。

5．小轿车和大货车上午9点同时同向从甲地出发，小轿车每小时行60千米，大货车每小时行48千米，请问：下午几点的时候小轿车领先大货车72千米？
答案：下午3时
解析：如图：
因为两车同时同向而行，而小轿车每小时行60千米，大货车每小时行48千米，所以小轿车每小时比大货车多行60-48=12千米．又因为一共多行72千米，所以小轿车行了72÷12=6小时。

上午9耐过6小时后，是下午3时，因此所求的时间就是下午3时．
6．一辆公共汽车早上6点从A城出发！以每小时40千米的速度向B城驶去.3小时后一辆小轿车以每小时75千米的速度也从A城出发到B城，当小轿车到达B城时，公共汽车离B城还有160千米．问：公共汽车什么时候到达B城？
答案：21时
解析：如图：
在6时到9时这3个小时期间，公共汽车先行了40×3=120千米，因此当小轿车出发耐，它落后公共汽车120军棠．但当它到达B城时，反而领先了160千米，这说明在小轿车行驶的这段时间内，它比公共汽车多行了160+120=280千米．
公共汽车和小轿车每小时分别行驶40千米和75千米，小轿车每小时比公共汽车多行75-40=35千米，所以小轿车行驶了280÷35=8小时，即小轿车是在9+8=17时到达B城，这时公共汽车还差160÷40=4小时才能到达B城．所以公共汽车是在17+4=21时到达B城．
7．A甲、乙两车同时从东、西两地出发，相向而行．甲每小时行36千米，乙每小时行30千米，两车在距离中点9千米处相遇，求东、西两地间的距离．
答案：198千米
解析：如图，两车在距离中点9千米处相遇，而且甲车比乙车快，因此两车相遇时，甲车经过的路程比总路程
的一半多9千米，而乙车经过的路程则比总路程的一半少9千米．所以，从两车出发到相遇这段时间内，两车行驶的路程之差是18千米.
甲每小时行36千米，乙每小时行30千米，所以两车每小时行的距离相差36 30=6千米，那么两车行驶的时间是18÷6=3小时．根据速度和是36+30=66千米／时，得到两车行驶的路程和是66×3=198千米，也就是东西两地的距离是198千米。

8．萱萱一家开车去外地旅游，原计划每小时行驶45千米．实际上，由于高速公路堵车，汽车每小时只行驶30千米，这样就晚到了2小时，请问：萱萱一家在路上实际花了几个小时？
答案:6小时
解析：其实萱萱一家相当于在一条路上走了“两次”：计划中一次，实琢中一次，当计划中已经到达的时候，实际上还羞2小时才能到达．
如图所示，从线段图中可以看出，C地到B地的距离是30×2 = 60千米．在同一段时间内，由于原来计划二E实际每小时多行45-30=15千米，所以原来计划所花的时间为60÷15=4小时，实际晚了2小时，也就是说他们用了4+2=6小时。

9．甲从A地出发去B地办事情，下午1点出发，晚上7点准时到达，如果他想下午2点出发，晚上7点准时到达，每小时就必须多行2千米．求A、B两地之间的距离．
答案：60千米
解析：如图：
从2：00到7：oo这段时间，加速后比原计划多行了2×5 =10千米，由线段图，可以看出这段距离恰好等于原计划1：00到2：00所行的路程，因此原计划1小时行的路程是10千米，
甲若按计划出发，1时出发7时即能到达，所以路上共用了6小时，那么A、B两地之间的距离等于10×6=60千米.
10．甲、乙两人分别在A地和B地，甲从A地到B地需要20分钟，乙从B 地到A地需要3C分钟．如果两个人同时出发相向而行，多长时间可以相遇？
答案：l2分钟
解析：假设总路程为600米，那么甲的速度为600÷20=30米／分，乙的速度为600÷30=20米／分，从而相遇的时间为600÷(30+20)=12分钟．
11．甲、乙两人分别从A、B两地同时出发，如果楣向而行，1小时后两人相遇；如果同向而行，3小时后甲追上乙，问：甲的步行速度是乙的几倍？
答案：2倍
解析：设A、B两地距离是3千米，则甲、乙的速度差是3÷3=1千米／时．速度和是3÷1=3千米／时，利用和差问题公式可知：甲的速度是(3+1)÷2=2米／时，乙的速度是(3-1)÷2=1千米／时，因此，甲的速度就是乙的2÷1=2倍。

12．A甲、乙两人分别从A、B两地同时出发，相向而行，A、B两地相距48千米，甲的速度是乙的3倍．请问：当甲、乙相遇的时候，甲走了多远？
答案：36千米
解析：在相遇的过程中，他俩运动的时间相同，而甲的速度是乙的3倍，根据行程问题的基本公式“路程=速度×时间”，容易知道甲运动的路程是乙的3倍．根据条件，可知甲和乙运动的路程和为48千米，由和倍问题的公式，得乙运动酌路程为48÷(3+1)=12千米，而甲运动的路程为12×3=36千米．
13．甲、乙两人分别从A、B两地同时出发相向而行，已知甲每分钟走50米，乙走完全程要18分钟，出发3分钟后，甲、乙仍相距450米，问：还要过多少分钟，甲、乙两人才能相遇？
答案：5分钟
解析：
如图，甲每分钟走50米，则甲在3分钟内走的路程是50×3=100米．
又因为甲、乙相向而行3分钟后仍相距450米，所以乙从B地出发3分钟后，与A地的距离为100+450=600米．乙单独走完全程需要18分钟，那么他出发3分钟后，与A地的距离就是乙走18-3=15分钟的路程．所以乙的速度是每分钟600÷15=40米．
甲、乙两人的速度和是50+40=90米／分，所以两人从相距450米起到他们相遇所需的时间是450÷90=5分钟．
14．猎狗追兔子，猎狗的速度是兔子的2倍，兔子径直往兔洞里跑，猎狗则紧随其后，现在，猎狗距离洞口还有1000米，当猎狗跑到兔子现在的位置时，兔子距离洞口将还剩100米，问：(l)现在兔子距离洞口多少米？(2)最终兔子会被猎狗追上吗？
答案：(1) 400米(2)不会
解析：(1)
如图，猎狗与兔子同时分别从A、B出发后，在相同的一段时间内，猎狗跑的路程是AB，兔子跑的路程是BC.又因为猎狗的速度是兔子的2倍，所以AB=BC ×2，AC=1000 -100=900米.
由和倍问题的公式，得BC=900÷(2+1)=300米，AB=BC×2=600米．
那么兔子现在距离洞口3CO+100=400米．
(2)兔子距离洞口100米时，猎狗离洞口还有400米，当兔子跑完这100米到达洞口时，猎狗也向前跑了200米．这时猎狗离洞口还有400-200=200米.
所以兔子最终不会被猎狗追上．
超越篇
1．萱萱、小高骑车从甲地同时出发，同向而行．萱萱的速度比小高的速度每小时快4千米，因此萱萱比小高早20分钟通过途中的乙地．当小高到达乙地时，萱萱又前进了8千米，求甲、乙两地之间的距离．
答案：40千米
解析：如图，一共有3个时刻：①时刻：
两人同时出发；②时刻：萱萱到达乙地；③时刻：小高到达乙地．
从图中看出，萱萱在20分钟内骑了8千米，而1小时是20分钟的3倍，所以萱萱的速度为8×3=24千米／时，那么小高的速度为24-4=20千米／时．小高到达乙地时，萱萱比小高多骑了8千米，即两人的路程差是8千米．萱萱、小高的速度差是4千米／时，根据“追及时间=路程差÷速度差”，得从出发到小蔷‰这乙地为止经过的时间为8÷4=2小时，所以甲、乙两地的距
离是20×2=40千米．
2．甲、乙两人分别从A、B两地同时出发，6小时后相遇在中点，如果甲延迟1小时出发，乙每小时少走4千米，两人仍在中点相遇，请问：甲、乙两地相距多少千米？
答案：336千米
解析：如图，甲第二次延迟1小时出发，也就是乙比甲早出发了1小时，乙这1小时走的距离在图中用虚线表示．
由于甲的速度没有变，所走的路程也没变，因此从出发直至相遇所花的时间仍然是6小时．
乙减速后每小时少走4千米，因此6小时内，乙少走4×6 = 24千米．
观察线段图可知，这段少走的路程，就是乙减速后单独走1小时的路程．因此减速后乙的速度为24千米，7时，乙原来的速度为24+4=28千米／时，所以A、B两地距离为28×6×2=336千米．
3．小高平时每天上学都是先步行10分钟后再跑步2分钟．某天他步行6分钟后就开始跑步，结果比平时早到了2分钟．请问：小高跑步的速度是步行速度的几倍？
答案：2倍
解析：
如图1所示，依题意，小高平时上学所花的时间为I0+2=12分钟，所以他
这一天上学所花的时间，就为12-2=10分钟．因此跑步的时间一共是10-6=4分钟.
如图2所示，把这两种方式作一个比较，两种方式的前6分钟都是步行，后2分钟都是跑步，因此差别就在中间一段上.
如图3，两种方式的区别在中间这段上，小高既可以步行4分钟，乜可以跑步2分钟通过这一段路程.因此小高的跑步速度是步行速度的2倍．
4．墨莫家离学校1000米，平时他步行2j分钟后准时到校，有一天他晚出发10分钟，为避免退到，墨莫先乘公共汽车，然后步行，结果仍然准时到校．已知公共汽车的速度是墨莫步行速度的6倍，请问：墨莫这天上学步行了多少米？
答案：520米
解析：如图，仔细比较两种上学方式，后一段都是步行，所花时间是相同的，
两种方式的区别在前一段．
第一次是步行走完这段路程的，而第二次则是乘车．日于第二次晚出发10分钟，最终仍然准时到校.
因此乘车节省了10分钟，也就是这段路程乘车比步行少花10分钟，
由于公共汽车的速度是步行的6倍，因此对于同一段路程，步行所花的时间是乘车的6倍，因此根据差倍问题，得墨莫乘公共汽车的时间为10÷(6-1)=2分钟．相应的步行时间是12分钟．
所以墨莫晚10分钟出发这天，地上学步行的时间为25-12=13分钟，因为墨莫的步行速度是每分钟1000÷25=40米，所以墨莫这天上学共步行了40×13=520米．
5．甲、乙两车分别从A、B两站同时出发，相向而行，已知甲车的速度是乙车的2倍，甲、乙到达途中C站的时刻依次为5：00和17：00.问：两车何时相遇？
答案：9:00
解析：如图，5:00和17:00时，甲、乙分别到达C点，假设乙在5:00时在D点，它们相遇在E点．
乙从D点到C点用了12个小时．如果设乙的速度是每小时走1份的路程，那么D到C两点之间的路程是12份，因为甲的速度是乙的2倍，所以甲的速
度是每小时2份，因此甲、乙的速度和是每小时3份．5：OO时甲在c点，乙在D点同时出发相向而行，那么经过12÷3=4小时后两车相遇，西此两车相遇的时
刻是9：00.
6．热甲、乙两人分别由A、B两地同时出发，如果相向而行，1小时后两人相遇；如果同向而行，且乙先出发2小时，那么甲3小时后追上乙．请问：甲的速度是乙的几倍？
答案：3倍
解析：
如图，观察线段图，易看出结论：甲行走3小时的路程，与甲行走1小时、乙行走1+5=6小时的路程之和相等．因此甲行走2小时的路程与乙行走6小时的路程相等．根据行程问题的基本倍数关系，得到甲步行速度是乙步行速度的6÷2=3倍．
7．如图所示，一条笔直的公路上有16个车站A，，Az，A。

，…，Al6，已知相邻两站之间的距离都相等．有一天，甲、乙、丙三人都要从第1站去第16站．甲先出发，当甲到达第2站时，乙出发．当乙到达第3站时丙出发，如果丙在第4站追上乙，甲和丙同时到达第16站，那么甲的速度是乙的速度的几倍？
答案：2倍
解析：乙从第3站走到第4站走了1段，与此同时丙从第1站走到了第4站走了3段，因此丙的速度是乙的3倍，当丙从第1站走到第16站走Tis段时，乙走了15÷3=5段，即乙应该在第8站.
另一方面，当乙在第8站的时候甲在第16站，而乙从第1站出发时甲在第2站，因此同样的时间乙从第1站走到第8站走了7段，甲从第2站走到第16站走了14段．
所以甲的速度是乙的2倍.
8．甲、乙两人分别从相距24千米的A、B两地同时出发同向而行，一段时间后甲在C点追上乙，如果甲每小时多走1千米，而乙每小时少走1千米，则甲追上乙的时间会少用2小时，且追上的地点与C点相距12千米，试问：如果甲、乙两人以原速分别从A、B两地同时出发相向而衍，几个小时相遇？
答案：2小时
解析：第一次，甲和乙合走了AC+BC的路程；第二次，虽然甲提速了、乙减速了，但他们的速度和没变，两人合在一起少走了2个小时，总路程少了12×2 =24千米．由此可以判断出甲、乙的速度和是每小时12千米，因此．如果甲、乙丽人以原速相向而行，相遇时间为24÷12=2小时．。