一元多项式的最大公因式的几种求法

一元多项式的最大公因式的几种求法

苏昌怀

（ 陇东学院数学系 甘肃 庆阳 745000）

论文提要：多项式理论是高等代数的重要组成部分,求最大公因式在多项式理论研究中占有显著地位。本文从辗转相除、矩阵的初等变换以及矩阵的斜消变换等不同角度给出了一元多项式的最大公因式的不同求法。

关键词: 最大公因式; 辗转相除; 初等变换; 斜消变换

1.辗转相除法

辗转相除法是求两个多项式的最大公因式的一般方法，在每次作除法时用的是带余除法。它的原理和一般实例可以参见《高等代数》。按照《高等代数》中的辗转相除法求多项式的最大公因式时，往往会出现较为复杂的分数运算。为了运算的简化，我们可以用一个非零常数去乘被除式或者除式。这种方法不仅在辗转相除法的开始可以用，而且在辗转相除的过程中也这是由于若()x f =()x q ()x g +()x r 于o ≠C ∈p,我们有()()[]()x g x Cq x Cf =+()x Cr ,及()()()[]+⎥⎦

⎤

⎢⎣⎡=x Cg x q C x f 1()x

r 故

()()()()()()()()()()()

x g x f x r x g x Cr x g x g x Cf ,,,),(===()()()()()()()()()()()()x g x f x r x g x r x Cg x Cg x f ,,,,===

另外，为了简化计算，在辗转相除的过程中，若遇到两个多项式的次数相同时，可以任去一个作除式，另一个作为被除式。并且为了减小多项式的系数，也可被除式减去除式的若干倍再做辗转相除，不改变()()()x g x f ,的结果，()()()(),x r x g x q x f +=

()()()()()[]()()x r x g x u x q x g x u x f +-=-，

()()()()

()()()

()()()

()x r

x

f

x

r

x

g

x

g

x

g

x

u

x

f,

,

,=

=

-，

由此，辗转相除法得到了进一步的简化。

例1：设()x

x

f=4 +3x3-x2-4x-3,()x

g=3x3+10x2+2x-3,求()x f,()x

g。

-3

乘以-

5

1

X+2

乘以3

x

x -

乘以1

3 -

从而，()()

()3

,+

=x

x

g

x

f

设432 ()

242

f x x x x x

=+---, 432

()22

g x x x x x

=+---求:((),())

f x

g x

从而,2

,(()())

2f x g x x

=

-

2矩阵的初等变换法

我们知道，在多项式空间

()

x p 与向量空间p

n 1

+ 可以建立同构映射：

()a a a

a a

x

a x

a x

a n n

n n n

n

011

1

1

1

,,,, ---→

+

+

++

此外

（1）()()()()()()x f x g x g x f ,,= （2）()()()()()()x kg x f x g x f ,,= （3）()()()()()()()x g x kg x f x g x f ,,+= （4）()()()()()()()()x g x g x s x f x g x f ,,+= （5）设a 0≠0，()()()()()

()x g x f x g x f x

m

,,=，z m ∈。

由以上知识可以得到一下结论：若用A=

⎦

⎤⎢⎣⎡--b b

b

b a a a

a n n

n n 0

1

1

011

表示多项式 ()x f = a a x

a x

a n n n

n

011

1

+

+

++

-- ，与()x g = b x b x b x b n n n n 0111++++-- 的待求最大公因

式，则对A 实行初等行变换，不改变两个多项式的最大公因式；当0a ≠0时，

⎥⎦⎤⎢⎣⎡--

b b

b

b a a a a n n

n n 01

1

011⇔⎥

⎦

⎤⎢⎣⎡--00

2

11b

b

b a a a

a n n

n n

，即它们表示的两个多项式的待求最大公因式相等。

运用这个结论可以利用矩阵的初等变换求多项式的最大公因式，特别是求多个多项式的最大公因式时优势更明显。 例3：设)

(x f

=34243

3

4-++-x x x x ，()6

423

++-=x x x x g ，()222

3

+--=x x x x h

求()()()()x h x g x f ,,

解:A=

⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----21

2

10

6141034241→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢

⎢⎣⎡-----42

2

006141034241

⇔⎥⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢

⎢⎣⎡-----00

4

22

0614134241

→

⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----34

2

4

1

0614100211

→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢

⎢⎣⎡-----321

000633000211

⇔⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢

⎢⎣⎡-----32

100

6330021100

→⎥⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢

⎢⎣⎡----00

000

1100021100

→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----00

0110021100

⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢

⎢⎣⎡----→00

00

00110022000

⇔⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢

⎢⎣⎡----00

01100022000

→⎥⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢

⎢⎣⎡00

0000011000

所以 ， ()()()()1,,+=x x h x g x f

3矩阵的斜消变换法

矩阵的斜消变换分为左斜消变换和右斜消变换。

设A=()ij

a 为m ×n 阶矩阵，若A 的第i 行从左向右第一个不为零的元素为1

,+s i a

第j 行

的第一列元素不为零（i ≠j ），则称将第i 行的N-S 个元素in

s i S i a a a ....,2,1

,,++乘以数C 斜

加到第j 行元素s

jn j j a a a

-...,21

上的变换为第i 行到第j 行的左斜消变换，记为L )(C s ji ；

若A 的第i 行从右夏管左第一个元素不为零的元素为,is a 1<=s<=n ，第j 行的第N