积分第二中值定理中间点函数的连续性及可微性
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—
专
一 （＞ ） 由 （一（ 。 。则 厂）ｆ） ， ６ ａ
一
， ）－）义 足 乒 （ ）． （ ａ 的 满 一 （６ 定
定理 ２ 若 ， ｚ 在 ［ ，］ （） ｎ ６ 上连续 ， （ ，） 在 口６ 上有 二阶连续导数 ， 厂（ ） （ ，） 且 ｚ 在 ａ ６ 上保号 ， 由 则
ｍ 定 理 ４ 若 厂 ｚ 在 ［ ，］上单 调且 连续 ， （） ｎ６ ｌ ｉ
—
。
三
－ＡＣＯ ｑ ）ｇ 在［，１ （ ＞ｏ ， （） 口ｂ ￣￣ ＝ －
续， ห้องสมุดไป่ตู้
＝ Ｂ ≠ ０（ ＝ ＝ Ｐ＞一 １） 则 由 ，
ｒ ６ ｒ ｆ ｆ ＇ ｂ
Ｉ ｚｇ ｚ ｄ 厂口 Ｉ （）ｘ － （） ｇ ｄ 厂（） （）ｘ一 （） ｇ ｚ ｄ 厂 ６Ｉ （）ｘ ４
４ Ｊｄ Ｊｆ
作 为 ｚ 的 函数 ， 连 续 性 及 可 微 性 ． 其 ［ 键 词 ］ 积 分 第 二 中值 定 理 ； 西 中 值 定 理 ； 续 性 ；可 微 性 关 柯 连 ［ 图 分 类 号 ］ Ｏ１２ １ 中 ７ ． ［ 文献 标 识 码 ］Ｃ ［ 章 编 号 ］ １ ７—４ ４ ２ １ ） ６０ ５ —４ 文 ６ ２１ ５ （０ １０ —１３０
讨 论 了积 分第 一 、 二 中值定 理 的 中间点 的一些 渐近 性质 。Ｅ ２ 讨论 了积 分第 二 中值定 理 的中 间点 善 第 １］ 作 为 ｚ的函数 ， 的一一 对应 性及 严格 单调 性 。本文 将给 出结 论 ： 分第 二 中值定 理 的中 间点 作 为 ｚ 它 积
的 函数 ， 在 ［ ，］上连续 ， （ ，］上 可微． 它 ｎ６ 在 ｎ６
定 的 满 暑 ＝ 义 足 （
如下 关 系
）． 两
定理 ５ 若 ， ） ［ ，］上严 格单 调 ， （ ）在 ［ ６ （ 在 口６ ｇｚ ，］上 连续 且不 变号 ， 由积 分第二 中值定理 按 则
ｌ （）（）ｔ 厂 口 ｒ （）ｔ （） ｇ ￡ｄ 厂 ￡ｇ ￡ｄ 一 （）ｆ ｄ＋厂 ｚ Ｉ （）ｔ ｌ ｇ
１ 引
言
近 年来 有很 多 文章讨 论 微分 中值 定理 和积 分 中值 定理 的 中间点 的性 质 ，２ 讨论 了微 分 中值 定理 Ｅ３ 的 中间点 的一 些渐 近性 质 ； １ ］ 论 了微分 中值 定理 的 中间点 作 为 ｚ 的函数 的一 些性 质 ； ３ ｏ ［ １讨 ［ 一ｌ ］
Ｊ４ Ｊ ｎ Ｊ Ｃ
确 定 的 ｚ到 中 间 点 ｒ ）的 映 射 ， 定 义在 ｒ ，］ Ｅ的 ｚ 的 一 一 对 应 函 数 目严 格 单 调 ． （ 是 口６ ．
３ 主 要 结 果
定理 ６ 若 厂（ ） ［ ６ ｚ 在 口，］上 可微 、 严格 单 调 ， （ ） ［ ，］上 连续 且 不 变 号 ， 由积 分 第 二 中值 ｇｚ 在 ｎ６ 则 定理 按如 下关 系
第２ ７卷 第 ６期
２ｌ ０ １年 １ ２月
大 学 数 学
ＣＯ ＬＬＥＧＥ Ａ Ｔ Ｈ ＥＭ Ａ Ｔ Ｉ Ｍ ＣＳ
Ｖｏ ． ７， ． １２ № ６
Ｄ ｅ ． Ｏ１ ｃ ２ １
积 分第 二 中值 定 理 中间点 函数 的连续 性 及 可 微 性
丁 一 鸣 陈 晓红 王 家 正 ， ，
存在 ∈ （ ，）， 口 ６ 使得
Ｉ （） （）ｘ一 ， Ｉ （）ｘ． ｘ ｇｘ ｄ ｆ （） ｇ ｘ ｄ
积分 第 二 中值 定 理Ⅲ 若 ｇ（ ） 在 ［ ，］上 可积 ， 厂 ｚ） ［ ，］上单 调 ， ｚ 都 口６ 而 （ 在 口６ 则存 在 ∈ （ ， ）， 口６
使得
（． 肥师范学 院 数学系 ， 肥 ２０６ ； ２合肥工业大学 数学学 院 ， 肥 ２ＯＯ） １合 合 ３０ １ ． 合 ３ Ｏ ９
［ ］ 要 究 积 第 中 定 Ｊ（ （ 一 （ｒ（ ＋（ｆ（ 确 的 间 ｇ 摘 要 主 研 按 分 二 值 理ｆ ￡ ￡ ，） ￡ ， ）ｇ） 定 中 点 ） ） 。 ｇ） ：￡ ， ｇ出 出 出
２ 中 间 点 的 若 干 主 要 性 质
积分 第 一 中值 定理 Ⅲ 若 厂（ ） ［ ，］上连 续 ， 存 在 ∈ （ ，）， 得 ｚ 在 ｎ６ 则 ａ６ 使
ｌ （ ）ｘ一 ， （ 一ｎ ． ｄ ｆ （）６ ）
积分 第 一 中值 定 理的 推广 形式 Ⅲ 若 － ｚ 在 ［ ，］上连 续 ， （ ）在 ［ ，］上 连续 且 不变 号 ， 厂 ） （ ｎ６ ｇ＿ ｚ ｎ６ 则
［ 稿 日期］２０ —３２ 收 ０ ９０ —６
［ 金项 目］ 安 徽 省 高 校 省 级 教 学 研 究 项 目 （０ ７ Ｙ Ｍ５ ８ 基 ２ ０Ｊ Ｘ ４ ）
１４ ５
大 学 数 学
第２ ７卷
（） ６ 一厂（ ）一 ｆ （ ） ６ 口 定 义 的 （ ｎ （一 ） ）在 ［ ，］上严格 单 调． ｎ６
定理 ３ 若 厂ｚ （ ）在 ［ ，］上 连 续 ， （ ，）上 二 阶 可 导 ， ｆ （ ｎ６ 在 口６ 且 ）在 （ ，）上 严 格 单 调 ， 由 口６ 则 厂６ （）一厂（ ）一 （ ） ６ 口 定 义 的 （ 口 （一 ） ）在 ［ ，］上 可导 ， ｎ６ 且
（：ｚ日（） ｚ＝ — 厂（ ． ）譬 籍 ’ ）｛） （ ｚ ：
Ｉ ｚｇ ｚ ｄ ＝ （）ｆ ｚ ｄ ＋厂 ６ｆ ｚｄ 广 （） （）ｘ＝ 厂ｎ ｒ （ ）ｘ （）６（ ）ｘ ６ 厂 ＝ ｆ ｇ ｒ ｇ
．
［ —１ ］ ２ ２ 对微 分 中值定 理 和积分 中值 定理 的中间点 做 了大量 的研究 ， 主要结 论有 ：
ｍ 定理 １ 若 ｆ ｘ （ ）在 ［ ６ 口，］上 连 续 可 导 ， ｌ 且 ｉ
专
一 （＞ ） 由 （一（ 。 。则 厂）ｆ） ， ６ ａ
一
， ）－）义 足 乒 （ ）． （ ａ 的 满 一 （６ 定
定理 ２ 若 ， ｚ 在 ［ ，］ （） ｎ ６ 上连续 ， （ ，） 在 口６ 上有 二阶连续导数 ， 厂（ ） （ ，） 且 ｚ 在 ａ ６ 上保号 ， 由 则
ｍ 定 理 ４ 若 厂 ｚ 在 ［ ，］上单 调且 连续 ， （） ｎ６ ｌ ｉ
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三
－ＡＣＯ ｑ ）ｇ 在［，１ （ ＞ｏ ， （） 口ｂ ￣￣ ＝ －
续， ห้องสมุดไป่ตู้
＝ Ｂ ≠ ０（ ＝ ＝ Ｐ＞一 １） 则 由 ，
ｒ ６ ｒ ｆ ｆ ＇ ｂ
Ｉ ｚｇ ｚ ｄ 厂口 Ｉ （）ｘ － （） ｇ ｄ 厂（） （）ｘ一 （） ｇ ｚ ｄ 厂 ６Ｉ （）ｘ ４
４ Ｊｄ Ｊｆ
作 为 ｚ 的 函数 ， 连 续 性 及 可 微 性 ． 其 ［ 键 词 ］ 积 分 第 二 中值 定 理 ； 西 中 值 定 理 ； 续 性 ；可 微 性 关 柯 连 ［ 图 分 类 号 ］ Ｏ１２ １ 中 ７ ． ［ 文献 标 识 码 ］Ｃ ［ 章 编 号 ］ １ ７—４ ４ ２ １ ） ６０ ５ —４ 文 ６ ２１ ５ （０ １０ —１３０
讨 论 了积 分第 一 、 二 中值定 理 的 中间点 的一些 渐近 性质 。Ｅ ２ 讨论 了积 分第 二 中值定 理 的中 间点 善 第 １］ 作 为 ｚ的函数 ， 的一一 对应 性及 严格 单调 性 。本文 将给 出结 论 ： 分第 二 中值定 理 的中 间点 作 为 ｚ 它 积
的 函数 ， 在 ［ ，］上连续 ， （ ，］上 可微． 它 ｎ６ 在 ｎ６
定 的 满 暑 ＝ 义 足 （
如下 关 系
）． 两
定理 ５ 若 ， ） ［ ，］上严 格单 调 ， （ ）在 ［ ６ （ 在 口６ ｇｚ ，］上 连续 且不 变号 ， 由积 分第二 中值定理 按 则
ｌ （）（）ｔ 厂 口 ｒ （）ｔ （） ｇ ￡ｄ 厂 ￡ｇ ￡ｄ 一 （）ｆ ｄ＋厂 ｚ Ｉ （）ｔ ｌ ｇ
１ 引
言
近 年来 有很 多 文章讨 论 微分 中值 定理 和积 分 中值 定理 的 中间点 的性 质 ，２ 讨论 了微 分 中值 定理 Ｅ３ 的 中间点 的一 些渐 近性 质 ； １ ］ 论 了微分 中值 定理 的 中间点 作 为 ｚ 的函数 的一 些性 质 ； ３ ｏ ［ １讨 ［ 一ｌ ］
Ｊ４ Ｊ ｎ Ｊ Ｃ
确 定 的 ｚ到 中 间 点 ｒ ）的 映 射 ， 定 义在 ｒ ，］ Ｅ的 ｚ 的 一 一 对 应 函 数 目严 格 单 调 ． （ 是 口６ ．
３ 主 要 结 果
定理 ６ 若 厂（ ） ［ ６ ｚ 在 口，］上 可微 、 严格 单 调 ， （ ） ［ ，］上 连续 且 不 变 号 ， 由积 分 第 二 中值 ｇｚ 在 ｎ６ 则 定理 按如 下关 系
第２ ７卷 第 ６期
２ｌ ０ １年 １ ２月
大 学 数 学
ＣＯ ＬＬＥＧＥ Ａ Ｔ Ｈ ＥＭ Ａ Ｔ Ｉ Ｍ ＣＳ
Ｖｏ ． ７， ． １２ № ６
Ｄ ｅ ． Ｏ１ ｃ ２ １
积 分第 二 中值 定 理 中间点 函数 的连续 性 及 可 微 性
丁 一 鸣 陈 晓红 王 家 正 ， ，
存在 ∈ （ ，）， 口 ６ 使得
Ｉ （） （）ｘ一 ， Ｉ （）ｘ． ｘ ｇｘ ｄ ｆ （） ｇ ｘ ｄ
积分 第 二 中值 定 理Ⅲ 若 ｇ（ ） 在 ［ ，］上 可积 ， 厂 ｚ） ［ ，］上单 调 ， ｚ 都 口６ 而 （ 在 口６ 则存 在 ∈ （ ， ）， 口６
使得
（． 肥师范学 院 数学系 ， 肥 ２０６ ； ２合肥工业大学 数学学 院 ， 肥 ２ＯＯ） １合 合 ３０ １ ． 合 ３ Ｏ ９
［ ］ 要 究 积 第 中 定 Ｊ（ （ 一 （ｒ（ ＋（ｆ（ 确 的 间 ｇ 摘 要 主 研 按 分 二 值 理ｆ ￡ ￡ ，） ￡ ， ）ｇ） 定 中 点 ） ） 。 ｇ） ：￡ ， ｇ出 出 出
２ 中 间 点 的 若 干 主 要 性 质
积分 第 一 中值 定理 Ⅲ 若 厂（ ） ［ ，］上连 续 ， 存 在 ∈ （ ，）， 得 ｚ 在 ｎ６ 则 ａ６ 使
ｌ （ ）ｘ一 ， （ 一ｎ ． ｄ ｆ （）６ ）
积分 第 一 中值 定 理的 推广 形式 Ⅲ 若 － ｚ 在 ［ ，］上连 续 ， （ ）在 ［ ，］上 连续 且 不变 号 ， 厂 ） （ ｎ６ ｇ＿ ｚ ｎ６ 则
［ 稿 日期］２０ —３２ 收 ０ ９０ —６
［ 金项 目］ 安 徽 省 高 校 省 级 教 学 研 究 项 目 （０ ７ Ｙ Ｍ５ ８ 基 ２ ０Ｊ Ｘ ４ ）
１４ ５
大 学 数 学
第２ ７卷
（） ６ 一厂（ ）一 ｆ （ ） ６ 口 定 义 的 （ ｎ （一 ） ）在 ［ ，］上严格 单 调． ｎ６
定理 ３ 若 厂ｚ （ ）在 ［ ，］上 连 续 ， （ ，）上 二 阶 可 导 ， ｆ （ ｎ６ 在 口６ 且 ）在 （ ，）上 严 格 单 调 ， 由 口６ 则 厂６ （）一厂（ ）一 （ ） ６ 口 定 义 的 （ 口 （一 ） ）在 ［ ，］上 可导 ， ｎ６ 且
（：ｚ日（） ｚ＝ — 厂（ ． ）譬 籍 ’ ）｛） （ ｚ ：
Ｉ ｚｇ ｚ ｄ ＝ （）ｆ ｚ ｄ ＋厂 ６ｆ ｚｄ 广 （） （）ｘ＝ 厂ｎ ｒ （ ）ｘ （）６（ ）ｘ ６ 厂 ＝ ｆ ｇ ｒ ｇ
．
［ —１ ］ ２ ２ 对微 分 中值定 理 和积分 中值 定理 的中间点 做 了大量 的研究 ， 主要结 论有 ：
ｍ 定理 １ 若 ｆ ｘ （ ）在 ［ ６ 口，］上 连 续 可 导 ， ｌ 且 ｉ