小船过河问题的总结

曲线运动习题课

一、船过河模型

1、处理方法:小船在有一定流速的水中过河时,实际上参与了两个方向的分运动,即随水流的运动(水冲船的运动)与船相对水的运动,即在静水中的船的运动(就就是船头指向的方向),船的实际运动就是合运动。

2、若小船要垂直于河岸过河,过河路径最短,应将船头偏向上游,如图甲所示,此时过河时间:

3、若使小船过河的时间最短,应使船头正对河岸行驶,如图乙所示,此时过河时间(d为河宽)。因为在垂直于河岸方向上,位移就是一定的,船头按这样的方向,在垂直于河岸方向上的速度最大。

二、绳端问题(绳子末端速度分解)

绳子末端运动速度的分解,按运动的实际效果进行可以方便我们的研究。

例如在右图中,用绳子通过定滑轮拉物体船,当以速度v匀速拉绳子时,求船的速度。

解析:船的运动(即绳的末端的运动)可瞧作两个分运动的合成:

a)沿绳的方向被牵引,绳长缩短,绳长缩短的速度等于左端绳子伸长的速度。即为v;

b)垂直于绳以定滑轮为圆心的摆动,它不改变绳长。这样就可以求得船的速度为, 当船向左移动,α将逐渐变大,船速逐渐变大。虽然匀速拉绳子,但物体A

却在做变速运动。

绳子末端速度的分解问题,就是本章的一个难点,同学们在分解时,往往搞不清

哪一个就是合速度,哪一个就是分速度。以至解题失败。下面结合例题讨论一下。例1、如图1所示,在河岸上利用定滑轮拉绳索使小船靠岸,拉绳速度大小为v1,当船头的绳索与水平面夹角为θ时,船的速度多大？

解析我们所研究的运动合成问题,都就是同一物体同时参与的两个分运动的

合成问题,而物体相对于给定参照物(一般为地面)的实际运动就是合运动,实际运动的方向就就是合运动的方向。本例中,船的实际运动就是水平运动,它产生的实际效果可以A点为例说明:一就是A点沿绳的收缩方向的运动,二就是A点绕O 点沿顺时针方向的转动,所以,船的实际速度v可分解为船沿绳方向的速度v1与垂直于绳的速度v2,如图1所示。由图可知:v＝v1/cosθ

点评不论就是力的分解还就是速度的分解,都要按照它的实际效果进行。本例中,若将拉绳的速度分解为水平方向与竖直方向的分速度,就没有实际意义了,因

为船并不存在竖直方向上的分运动

例2 如图2所示,一辆匀速行驶的汽车将一重物提起,在此过程中,重物A的运动情况就是【】

A、加速上升,且加速度不断增大

B、加速上升,且加速度不断减小

C、减速上升,且加速度不断减小

D、匀速上升

解析物体A的速率即为左段绳子上移的速率,而左段绳子上移的速率与右段

绳子在沿着绳长方向的分速率就是相等的。右段绳子实际上同时参与两个运动:沿绳方向拉长及向上摆动。将右段绳子与汽车相连的端点的运动速度v沿绳子方

向与与绳子垂直方向分解,如图3所示,则沿绳方向的速率即为物体A的速率

vA=v1=vsinθ。随着汽车的运动,θ增大,vA=v1增大,故A应加速上升。

由v-t图线的意义知,其斜率为加速度,在0°～90°范围内,随θ角的增大,曲线

y=sinθ的斜率逐渐减小,所以A上升的加速度逐渐减小。

答案B

点评本题主要考查了运动的分解,解题的关键就是要分清合速度与分速度。一般情况下,物体相对于给定的参考系(一般为地面)的实际运动就就是合运动,本例中,汽车的实际运动就就是合运动。另外,运动的分解要按照它的实际效果进行。跟综练习如图4所示,汽车甲以速度v1拉汽车乙前进,

乙的速度为v2,甲、乙都在水平面上运动,则v1∶v2＝__________。

答案cosα∶1

小船渡河的问题补充

小船渡河的问题,就就是讨论“船”、“水”、“岸”三者之间的相对运动的关系.其中“船相对于岸的运动”就就是“船相对于水的运动”与“水相对于岸的运动”的合运动.

解决这类问题的基本思路:

第一,仔细分析与命题相关的三个考查对象之间的相对运动的关系,正确确定其中哪一个运动可以瞧作就是另外两个相对运动的合运动.

第二,按照平行四边形定则,画出已经确定了的两个分运动与合运动的矢量关系图,然后分析这个平行四边形矢量关系图,根据已知条件计算待求未知量.一般说来,任何一个命题,必然给定了包括三个速度的大小与方向的六个因素中的四个,求另两个未知因素.

1.小船过河问题的分析与求解方法

(1)处理方法:

小船在有一定流速的河中过河时,实际上参与了两个方向的分运动,即随水流的运动(水冲船的运动)与船相对水的运动(即在静水中的船运动),船的实际运动就是

合运动.

(2)若小船垂直于河岸渡河,则过河路径最短,应将船头偏向上游.如图甲所示,此时过河时间t＝＝

若使小船过河的时间最短,应使船头正对河岸行驶,如图乙所示,此时过河时间t＝(d为河宽).

〔例3〕一条宽度为L的河,水流速度为v水,已知船在静水中的速度为v船,那么: (1)怎样渡河时间最短？(2)若v船>v水,怎样渡河位移最小？(3)若v船

解析:(1)如下左图所示,设船头斜向上游与河岸成任意角θ.这时船速在垂直于河岸方向的速度分量为v1＝v船sinθ,渡河所需的时间为:

t＝＝

可以瞧出:L、v船一定时,t随sinθ增大而减小;当θ＝90°时,sinθ＝1(最大).所以,船头与河岸垂直时,渡河时间最短. 最短时间:tmin＝

(2)如上右图所示,渡河的最小位移即河的宽度.为了使渡河位移等于L,必须使船的合速度v的方向与河岸垂直,即使沿河岸方向的速度分量为0.这时船头应指向河的上游,并与河岸成一定的角度θ.根据三角函数关系有v船cosθ－v水＝0

cosθ＝θ＝arccos 因为0≤cosθ≤1,所以只有在v船>v水时,船才有可能垂直河岸渡过.(或者由三角形几何关系知道)

(3)如果水流速度大于船在静水中的航行速度,则不论船的航向如何,总就是被水冲向下游,怎样才能使漂下的距离最短呢？如图所示,设船头与河岸成θ角,合速度v与河岸成α角(取小于90°的一边).可以瞧出:α角越大,船漂下的距离x越短.那么在什么条件下α角最大呢？以v水的矢尖为圆心、v船为半径画圆,当v与圆相切时,α角最大.根据cosθ＝v船/v水,船头与河岸的夹角应为θ＝arccos

船漂下的最短距离: xmin＝(v水－v船cosθ)• 此时渡河的最短位移: s＝＝4.小船在宽度为200 m、水流速度为2 m/s的河中驶向对岸,已知小船在静水中的速度为4 m/s,两岸就是平行的,求:

(1)若小船的船头始终正指对岸航行时,它将在何时何处到达对岸？

(2)若要使小船的船头到达正对岸,小船应如何行驶？要用多长时间？

(3)若小船航向跟上游河岸成30°角,它将行驶多长时间,在何处到达对岸？

解:小船渡河的运动就是小船在静水中的运动与水流运动的合运动,设船对岸的速度为v,河宽为d,则v船＝4 m/s,v水＝2 m/s,d＝200 m

(1)若小船的船头始终正指对岸航行,则小船渡河时间最短,由合运动与分运动具有等时性可求渡河时间t＝s＝50 s.

这时船的实际航向就是由A→C,船在出发点A的下游C点处到达对岸,如下左图所示.

BC＝v水•t＝2×50 m＝100 m即在B点下游100 m处到达对岸.

(2)若要使小船到达正对岸,即以最小位移渡河,在v船>v水时,应使合运动的速度方向垂直于河岸,船头指向(用v船表示)应偏向上游一定角度θ,如下右图所示,合运动的速度大小为:v合′＝m/s＝2 m/s

所以θ＝60°,即船头指向应偏向上游与河岸成60°角

渡河时间为:

t′＝s＝57、8 s

(3)如图所示,将v船正交分解v1＝v船sin30°＝2 m/s v2＝v船cos30°＝2 m/s>v水

所以,船同时参与了两个分运动,一个就是以速度v1垂直指向对岸的分运动,另一个就是以速度(v2－v水)逆水流指向上游的分运动.渡河时间:t〃＝s＝100 s

这时船的实际航向就是由A→E,船在出发点A的上游E点处到达对岸

BE＝(v2－v水)t〃＝(2 －2)×100 m＝146 m即在B点上游146 m处到达对岸.

5.如图2所示,一艘小艇从河岸的A处出发渡河,小艇保持与河岸垂直的方向行驶,经过10 min到达正对岸下游120 m的C处;如果小艇保持原来的速度逆水斜向上游与河岸成α角的方向行驶,则经过12、5 min恰好到达正对岸的B处,则这条河的宽度为多少？

解:设艇速为v1,水速为v2,河宽为s,第一次渡河时间为t1,第二次渡河时间为t2,则由运动的独立性与等时性得:第一次渡河:v2＝＝12 m/min得v1＝m/min

第二次渡河:s1＝v1t2,s2＝v2t2,由叠加原理(如图所示)

s12－s22＝s2 (v1t2)2－(v2t2)2＝s2将v1＝,v2＝12 m/min代入得

( ×12、5)2－(12×12、5)2＝s2解得河宽s＝200 m.