精选习题第四章高阶微分方程
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所以 是方程（1）在 上的 个解线性无关解。
再证明方程（1）最多存在 个线性无关的解。设 是（1）的任意 个解，由性质4.2， 是齐次方程（2）的 个解，则这 个解必线性相关，即存在不全为零的数 ，使得在区间 上
我们就有
，
所以这 个解在 上是线性相关的。
评注：注意线性非齐次方程与其对应的齐次线性方程之间的关系。
4-9求方程 的通解。
解 ， ，
齐次方程的通解为 。
用常数变易法，令 ，
则有
，
解之得
，
所以
。
原方程的通解为
。
评注：当右端函数不是类型Ⅰ与类型Ⅱ之和的形式时，求线性非齐次方程的特解通常采用常数变易法，由于本题是二阶线性方程，因此也可用例4-14的结论求特解。
4-10求方程 的通解。
解这是欧拉方程，作自变量代换 ，即 ，则
3）
齐次方程通解为
。
令 ，并求其特解如下：
是一重特征根பைடு நூலகம்故取 ，
代入原方程比较系数得 。
则原方程有特解 。
故原方程的通解为 。
评注：当右端函数是类型Ⅱ时，利用欧拉公式可以转化为类型Ⅰ，再应用定理4.9即可得所求特解，这种方法有时要比直接按类型Ⅱ运算量小。
4-8求下列方程的通解。
1）
2）
解1） ， ，齐次方程的通解为
，
所以
所以 。
这说明 满足一阶线性齐次方程（1），因而有 ，当 时， ，所以 。
评注：公式 是著名的刘维尔（Liouville）公式，反映了线性齐次方程n个解与系数之间的关系。由此可得到重要结论：若线性齐次方程的n个解的朗斯基行列式在一点为零，则其朗斯基行列式恒为零，即朗斯基行列式或者恒为零，或者恒不为零。
4-2已知方程 有基本解组 ，试求此方程适合初始条件 及 的基本解组（称为标准基本解组，即有 ），并由此求出方程的适合初始条件 的解。
解由于原方程有基本解组： ，
所以通解为
，且 ，
将 代入上式，求得 ，由此得特解
；
将 代入上式，求得 ，由此得特解
。
又
，
所以 和 线性无关，因而 ， 是标准基本解组，并由此得出方程的通解为 。
。
由非齐次方程的叠加原理和待定系数法，设原方程特解为
，
代入方程比较系数得 ，
所以 。
故原方程的通解为 。
2） ， ，齐次方程的通解为
。
根据叠加原理，设特解为
，
代入方程并比较系数得
， ， ， 。
故原方程通解为 。
评注：当右端函数是类型Ⅰ与类型Ⅱ之和的形式时，利用线性非齐次方程的叠加原理和待定系数法，正确设出原方程的特解形式，比较系数得出特解。
的通解。
证 将 分别代入方程得
；
。
又 常数，因此 是方程的基本解组。
用常数变易法，令方程的特解具有以下形式
，
则
，
由此得
，
所以
，
因而方程的通解为
。
评注：常数变易法是线性非齐次方程求特解的最基本的方法。但有时可根据方程的具体形式采用灵活的方法。将本例方程变形为 ，容易发现它可能具有形如二次多项式的特解，因此可设其有特解形如 ，代入方程，比较系数得 ， 可任意取值，所以易求得一个特解为 。
4-6求解下列方程。
1）
2）
解1） ， ， ，
齐次方程通解为
。
是特征根，故取特解为 ，代入方程并比较系数得
，
从而 。
故原方程的通解为 。
2） ， ， 。
齐次方程的通解为
，
不是特征根，故取特解为 ，代入方程并比较系数得
，
因而 。
故原方程的通解为 。
评注：当右端函数是类型Ⅰ时，求特解应注意正确写出特解的形式。
证 阶线性非齐次微分方程
（1）
对应的齐次方程
（2）
在 上存在 个线性无关的解，设为 ，并且设 是方程（1）在 上的一个特解。
下面证 ，是（1）的 个解，且在 上线性无关。
由性质4.1， 是（1）的 解。设存在不全为零的数 ，使得
即
。
因此必有 ，否则 可由 线性表出，与 是（1）的特解矛盾，从而 。
因为 在 上线性无关，故 。
4-11求下列初值问题的解。
1） ，
2）
解1）对方程两边施行拉氏变换，得
，
，
所以
，
求其逆变换得 ，即为所求解。
2）对方程两边施行拉氏变换，得
4-4假设 是二阶线性齐次方程 的解，这里 和 于区间 上连续，试证
1） 为方程的解的充分必要条件是 ；
2）方程的通解可表为
其中 为任意常数， 。
证1）充分性。因为
，
而 是已知方程的解，所以
故有 ，即 是方程的解。
必要性。因为 为方程的解 的朗斯基行列式，
即 满足 。
2）设 ， 是原方程不同于 的另一特解，不妨设它满足
，
代入原方程得
（1）
特征方程与特征根为 ，
所以（1）对应的齐次方程通解为
。
不是特征根，取特解形如 ，
代入（1）比较系数可得 ，故 ，方程（1）的通解为
。
原方程的通解为
。
评注：欧拉方程是可化为常系数线性的一类方程。求它对应齐次方程的通解时，有时也采用待定指数法，即设方程有形如 的解，代入方程确定 值，本题中 满足的关系为 ，这个代数方程称为此欧拉方程的特征方程。
4-7求解下列方程。
1）
2）
3）
解1） ， ， ，
齐次方程通解为 。
由于 不是特征根，设特解如 ，
代入原方程比较系数得 ， 。
故原方程的通解为
。
2） ，齐次方程通解为
，
令 ，利用待定系数法的类型Ⅰ求其特解如下
由于 是一重特征根，故取特解形式为
，
代入方程并比较系数得 ，
，
则原方程的特解为
，
原方程的通解为 。
第四章高阶微分方程
4-1证明线性非齐次方程的叠加原理：设 分别是线性非齐次方程
的解，则 是方程
（1）
的解。
证由题意，有 ，
把 代入方程（1）的左端得
左端=
右端。
评注：线性非齐次方程的叠加原理用于求线性非齐次方程的特解，特别对于右端函数可以分解为几个简单函数之和时更加有用。
4-2试验证方程 有基本解组 ，并求方程
。
则
，
解之有
，
即
，
两端同乘以 得
，
，
积分得
。
因此得方程一个特解为
，
由 ，则知 在 上线性无关。
从而可得原方程的通解为
，
即
。
评注：由本题的证明结果可知，若已知二阶线性齐次方程的一个非零解，就可以求得另一个与它线性无关的解，则此方程可以求解，这个公式被广泛使用。
4-5试证 阶线性非齐次微分方程
存在且最多存在 个线性无关解。
且 ，将初始条件 代入得 ，因而满足这个初始条件的解为： 。
评注：标准基本解组是满足初始条件 ，及 的基本解组。
4-3设 是线性齐次方程
的任意 个解，它们所构成的朗斯基行列式记为 。试证明 满足一阶线性方程
（1）
因而有 。
证将行列式的微分法则应用于 ，则所得的前 项的行列式都有两行相等，即都等于零，于是有
再证明方程（1）最多存在 个线性无关的解。设 是（1）的任意 个解，由性质4.2， 是齐次方程（2）的 个解，则这 个解必线性相关，即存在不全为零的数 ，使得在区间 上
我们就有
，
所以这 个解在 上是线性相关的。
评注：注意线性非齐次方程与其对应的齐次线性方程之间的关系。
4-9求方程 的通解。
解 ， ，
齐次方程的通解为 。
用常数变易法，令 ，
则有
，
解之得
，
所以
。
原方程的通解为
。
评注：当右端函数不是类型Ⅰ与类型Ⅱ之和的形式时，求线性非齐次方程的特解通常采用常数变易法，由于本题是二阶线性方程，因此也可用例4-14的结论求特解。
4-10求方程 的通解。
解这是欧拉方程，作自变量代换 ，即 ，则
3）
齐次方程通解为
。
令 ，并求其特解如下：
是一重特征根பைடு நூலகம்故取 ，
代入原方程比较系数得 。
则原方程有特解 。
故原方程的通解为 。
评注：当右端函数是类型Ⅱ时，利用欧拉公式可以转化为类型Ⅰ，再应用定理4.9即可得所求特解，这种方法有时要比直接按类型Ⅱ运算量小。
4-8求下列方程的通解。
1）
2）
解1） ， ，齐次方程的通解为
，
所以
所以 。
这说明 满足一阶线性齐次方程（1），因而有 ，当 时， ，所以 。
评注：公式 是著名的刘维尔（Liouville）公式，反映了线性齐次方程n个解与系数之间的关系。由此可得到重要结论：若线性齐次方程的n个解的朗斯基行列式在一点为零，则其朗斯基行列式恒为零，即朗斯基行列式或者恒为零，或者恒不为零。
4-2已知方程 有基本解组 ，试求此方程适合初始条件 及 的基本解组（称为标准基本解组，即有 ），并由此求出方程的适合初始条件 的解。
解由于原方程有基本解组： ，
所以通解为
，且 ，
将 代入上式，求得 ，由此得特解
；
将 代入上式，求得 ，由此得特解
。
又
，
所以 和 线性无关，因而 ， 是标准基本解组，并由此得出方程的通解为 。
。
由非齐次方程的叠加原理和待定系数法，设原方程特解为
，
代入方程比较系数得 ，
所以 。
故原方程的通解为 。
2） ， ，齐次方程的通解为
。
根据叠加原理，设特解为
，
代入方程并比较系数得
， ， ， 。
故原方程通解为 。
评注：当右端函数是类型Ⅰ与类型Ⅱ之和的形式时，利用线性非齐次方程的叠加原理和待定系数法，正确设出原方程的特解形式，比较系数得出特解。
的通解。
证 将 分别代入方程得
；
。
又 常数，因此 是方程的基本解组。
用常数变易法，令方程的特解具有以下形式
，
则
，
由此得
，
所以
，
因而方程的通解为
。
评注：常数变易法是线性非齐次方程求特解的最基本的方法。但有时可根据方程的具体形式采用灵活的方法。将本例方程变形为 ，容易发现它可能具有形如二次多项式的特解，因此可设其有特解形如 ，代入方程，比较系数得 ， 可任意取值，所以易求得一个特解为 。
4-6求解下列方程。
1）
2）
解1） ， ， ，
齐次方程通解为
。
是特征根，故取特解为 ，代入方程并比较系数得
，
从而 。
故原方程的通解为 。
2） ， ， 。
齐次方程的通解为
，
不是特征根，故取特解为 ，代入方程并比较系数得
，
因而 。
故原方程的通解为 。
评注：当右端函数是类型Ⅰ时，求特解应注意正确写出特解的形式。
证 阶线性非齐次微分方程
（1）
对应的齐次方程
（2）
在 上存在 个线性无关的解，设为 ，并且设 是方程（1）在 上的一个特解。
下面证 ，是（1）的 个解，且在 上线性无关。
由性质4.1， 是（1）的 解。设存在不全为零的数 ，使得
即
。
因此必有 ，否则 可由 线性表出，与 是（1）的特解矛盾，从而 。
因为 在 上线性无关，故 。
4-11求下列初值问题的解。
1） ，
2）
解1）对方程两边施行拉氏变换，得
，
，
所以
，
求其逆变换得 ，即为所求解。
2）对方程两边施行拉氏变换，得
4-4假设 是二阶线性齐次方程 的解，这里 和 于区间 上连续，试证
1） 为方程的解的充分必要条件是 ；
2）方程的通解可表为
其中 为任意常数， 。
证1）充分性。因为
，
而 是已知方程的解，所以
故有 ，即 是方程的解。
必要性。因为 为方程的解 的朗斯基行列式，
即 满足 。
2）设 ， 是原方程不同于 的另一特解，不妨设它满足
，
代入原方程得
（1）
特征方程与特征根为 ，
所以（1）对应的齐次方程通解为
。
不是特征根，取特解形如 ，
代入（1）比较系数可得 ，故 ，方程（1）的通解为
。
原方程的通解为
。
评注：欧拉方程是可化为常系数线性的一类方程。求它对应齐次方程的通解时，有时也采用待定指数法，即设方程有形如 的解，代入方程确定 值，本题中 满足的关系为 ，这个代数方程称为此欧拉方程的特征方程。
4-7求解下列方程。
1）
2）
3）
解1） ， ， ，
齐次方程通解为 。
由于 不是特征根，设特解如 ，
代入原方程比较系数得 ， 。
故原方程的通解为
。
2） ，齐次方程通解为
，
令 ，利用待定系数法的类型Ⅰ求其特解如下
由于 是一重特征根，故取特解形式为
，
代入方程并比较系数得 ，
，
则原方程的特解为
，
原方程的通解为 。
第四章高阶微分方程
4-1证明线性非齐次方程的叠加原理：设 分别是线性非齐次方程
的解，则 是方程
（1）
的解。
证由题意，有 ，
把 代入方程（1）的左端得
左端=
右端。
评注：线性非齐次方程的叠加原理用于求线性非齐次方程的特解，特别对于右端函数可以分解为几个简单函数之和时更加有用。
4-2试验证方程 有基本解组 ，并求方程
。
则
，
解之有
，
即
，
两端同乘以 得
，
，
积分得
。
因此得方程一个特解为
，
由 ，则知 在 上线性无关。
从而可得原方程的通解为
，
即
。
评注：由本题的证明结果可知，若已知二阶线性齐次方程的一个非零解，就可以求得另一个与它线性无关的解，则此方程可以求解，这个公式被广泛使用。
4-5试证 阶线性非齐次微分方程
存在且最多存在 个线性无关解。
且 ，将初始条件 代入得 ，因而满足这个初始条件的解为： 。
评注：标准基本解组是满足初始条件 ，及 的基本解组。
4-3设 是线性齐次方程
的任意 个解，它们所构成的朗斯基行列式记为 。试证明 满足一阶线性方程
（1）
因而有 。
证将行列式的微分法则应用于 ，则所得的前 项的行列式都有两行相等，即都等于零，于是有