推荐-建筑力学电子教案重心和形心 精品 精品

具体方法：
（1）积分法； （2）组合法； （3）悬挂法； （4）称重法。
1. 积分法
对于任何形状的物体或平面图形，均可用下述演变 而来的积分形式的式子确定重心或形心的具体位置。对 于均质物体，则有
x dV
y dV
z dV
xC
V
V
, yC
V
V
, zC
V
V
若为平面图形，则
x dA
y dA
xC
A
A
, yC
A
A
例5-1 用积分法求下列平面图形的形心位置。
y b(y)
dy
C y
x O 2R
解：建立如图所示坐标系，则
y b(y)
xC= 0
现求 yC 。
dy
C
y
x
b( y) 2 R2 y2
O 2R
dA b( y) dy 2 R2 y2 dy
则
Sx
y dA
A
A
2y 0
R2
下面通过例子来说明。
例5-1 角钢截面的尺寸如图所示，试求其形心位置。
y 20
y 20
200
O 150 (a)
20 x
200 1
2 O 150
(b)
20 x
解：取Oxy坐标系如图(b)所示，将角钢分割成两个矩形，则 其面积和形心为：
A1=（200-20）×20=3600 mm2 y 20
x1 = 10 mm
y
这时物体容重g 是常量，则 x
yi
于是有
P g V , Pi g Vi
xC
Vi xi V
yC
Vi yi V
zC
Vi zi V
z
C1 C Ci
O
ΔP1 z1
P ΔPi zC zi
y1
x1 yC
xC
xi
y
x
yi
上式也就是求物体形心位置的公式。即对于均质的物体，
其重心与形心的位置是重合的。
将截面看成是从200mm×150mm 的矩形中挖去图中的小矩形（虚线部 分）而得到，从而
A1 = 200×150= 30000 mm2
y 20
200 1 C (xC ,yC)
2 O 150
(b)
20 x
y 20
200 1
O 150
20 x
x1= 75 mm, y1= 100 mm A2= -180×130 = -23400 mm2 x2= 85 mm, y2= 110 mm 故
§5-1 重心和形心的坐标公式
1. 重心坐标的一般公式
z
C1 ΔP1
C P
Ci ΔPi
z1
zC zi
o
y1 yC
x1
xC
xi
y
x
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右图是一个空间力系，则
P=∑ΔPi
合力的作用线通过物体的重心，
z
由合力矩定理
即 于是有
M y (P) M y (Pi )
P xC Pi xi
x
xC
Pi xi P
重心和形心
工程实践中常常需要计算或测定结构物重心的位置，而 求物体重心的问题，实质上就是求平行力系的合力问题。
任一物体都由无数个微元体组成，这些微元体的体积小至 可看成是质点。任一微元体所受重力（即地球的吸引力）Pi ，
其作用点的坐标xi、yi、zi与微元体的位置坐标相同。所有这些
重力构成一个汇交于地心的汇交力系。由于地球半径远大于地 面上物体的尺寸，这个力系可看作一同向的平行力系，其合力 即为物体的重量，而此力系的中心则为物体的重心。
E
ymax
A
B
x
Ⅱ： A2 a2 , y2 a / 2
yC =
-A1 y1 + A2 y2 -A1 + A2
,即
ymax
a 2
ymax
ymax 3
a2
a 2
ymax
a2
a 2
展开得
y
2 ym2 ax 6a ymax 3a2 0
C
解方程得
ymax
6
2 4
3 a 0.634 a
a
A
a D
3. 均质等厚薄板的重心和平面图形的形心
对于均质等厚的薄板，如取平分其厚度的对称平面为
xy平面，则其重心的一个坐标zC 等于零。设板厚为d ，则
有
V =A·d， ΔVi = ΔAi·d
则
xC
Ai xi A
yC
Ai yi A
上式也即为求平面图形形心的公式。
§5-2 确定重心和形心位置的具体方法
o
z1
ΔCP1 1zCPCzi
Ci ΔPi
y1 yyiC x1 xC xi
y
同理有
yC
Pi yi P
为确定 zC ，将坐标系连同物体绕y轴转90º，使重力与
x轴平行，得
z
zC
Pi zi P
C1 C Ci
O
ΔP1 z1
P ΔPi zC zi
2. 均质物体的重心坐标公式
y1
x1 yC
xC
xi
画出通过A和B两点的铅垂线，两条铅垂线的交点即为重 心C的位置，如图。想一想，为啥？
A B
B A
C
4. 称重法 对较笨重的物体，如汽车，其重心测定常采用这种方
法。
思考题5-1 图示机床重2500 N，现拟
用“称重法”确定其重心坐标。
y
为此，在B处放一垫子，在A处 放一秤。当机床水平放置时，A 处秤上读数为1750N，当θ=20º B θ 时秤上的读数为1500 N。试算出 机床重心的坐标 (xc , yc ) 。
x A
例题5-2：
边长为a的均质等厚正方形板 ABCD，被截去等腰三角形 AEB。试求点E的极限位置 ymax以保证剩余部分AEBDC的重心 仍在该部分范围内。
y
C
a
D
a
E A
ymax
B
x
解：采用负面积法分析
xC =
a 2
y
C
a
D
极限位置 yC= ymax
a
Ⅰ： A1 a ymax / 2
y1 ymax / 3
30000×75 - 23400×85 xC =
30000 - 23400
30000×100 - 23400×110 yC =
30000 - 23400 两种方法的结果相同。
y 20
200 1
O 150
= 39.5 mm
20 x
= 64.5 mm
3. 悬挂法 以薄板为例，只要将薄板任意两点A和B依次悬挂，
y1 = 110 mm
200 1
A2 = 150×20=3000 mm2
2 O 150
20 x
x2 = 75 mm
(b)
y2 = 10 mm
由组合法，得到
xC =
A1 x1 + A2 x2 A1 + A2
yC =
A1 y1 + A2 y2 A1 + A2
另一种解法：负面积法
= 39.5 mm = 64.5 mm
Ⅱ EⅠ
y max
B
x
y2 dy
2 3
(R2
3
y2)2
|
R 0
2 3
R3
代入公式有
yC
A
y dA A
2R 3 /3
R2 / 2
4 3
R π
y b(y)
dy
C
y
x
O
2R
2. 组合法 当物体或平面图形由几个基本部分组成，而每个组成
部分的重心或形心的位置又已知时，可按第一节中得到的 公式来求它们的重心或形心。这种方法称为组合法。