无穷大与无穷小

（2）切勿将 lim f ( x ) = ∞认为极限存在 .
x → x0
1 例 证明 lim = ∞. x →1 x − 1
证 ∀ M > 0. 要使 1 > M , x −1
1 1 , 取δ= , 只要 x − 1 < M M
1 1 1 = ∞. 当0 < x − 1 < δ = 时, 就有 > M . ∴ lim x →1 x − 1 M x −1
x → x0
∴ ∀M > 0, ∃δ > 0, 使得当0 < x − x 0 < δ时 1 , 恒有 f ( x ) < M
1 由于 f ( x ) ≠ 0, 从而 > M. f ( x)
1 ∴ 当x → x 0时, 为无穷大 . f ( x)
意义 关于无穷大的讨论,都可归结为关于无穷小 关于无穷大的讨论 都可归结为关于无穷小 的讨论. 的讨论
M(不论它多么大),总存在正数 δ(或正数 X ),使得对于 不论它多么大), ),总存在正数 ),使得对于
适合不等式 0 < x − x0 < δ(或 x > X ) 的一切 x, 对应的 函数值 f (x)总满足不等式 f ( x) > M, 则称函数 f (x)当 x → x0( 或 x →∞)时为无穷大,记作 时为无穷大,
1 ∵ lim = 0, x→∞ x
1 ∴ 函数 是当x → ∞时的无穷小. x
(− (−1) n (−1) n ∵ lim = 0, ∴ 数列{( − }是当n → ∞时的无穷小. n→∞ n n
注意 （1）无穷小是变量 不能与很小的数混淆 不能与很小的数混淆; ）无穷小是变量,不能与很小的数混淆 （2）零是可以作为无穷小的唯一的数 ）零是可以作为无穷小的唯一的数.
2、无穷小与函数极限的关系: 、无穷小与函数极限的关系
定 1 理1 理
x→x0
lim f ( x) = A ⇔ f ( x) = A + α( x),
中 其 α(x)是 x → x0时 无 小 当 的 穷 .
证 必要性 设 lim f ( x ) = A, 令 α( x ) = f ( x ) − A, x→ x
0
则有 lim α( x ) = 0,
x → x0
∴ f ( x ) = A + α( x ).
充分性 设 f ( x ) = A + α( x ),
其中 α( x )是当x → x 0时的无穷小,
则 lim f ( x ) = lim ( A + α( x )) = A.
x → x0 x → x0
则∃M > 0, δ 1 > 0, 使得当0 < x − x 0 < δ 1时 恒有 u ≤ M .
又设α是当x → x 0时的无穷小,
∴ ∀ε > 0, ∃δ 2 > 0, 使得当0 < x − x 0 < δ 2时 ε . 恒有 α < M
取 δ = min{ δ 1 , δ 2 }, 则当 0 < x − x 0 < δ时, 恒有 ε u⋅α = u ⋅ α < M ⋅ = ε, M ∴ 当x → x 0时, u ⋅ α为无穷小 .
意义 （1）将一般极限问题转化为特殊极限问题 ） (无穷小 无穷小); 无穷小 （2）给出了函数 f ( x ) 在 x 0 附近的近似表达
式 f ( x ) ≈ A, 误差为 α ( x ).
3、无穷小的运算性质: 、无穷小的运算性质
定理2 在同一过程中,有限个无穷小的代数和仍是 定理 在同一过程中 有限个无穷小的代数和仍是 无穷小. 无穷小 证 设α及β 是当x → ∞时的两个无穷小 ,
一、无穷小
无穷小. 1、定义: 极限为零的变量称为无穷小 、定义 极限为零的变量称为无穷小
义 定 1 如 对 任 给 的 数 (不 它 么 ), 果 于 意 定 正 ε 论 多 小 总存在正数δ( 或正数X ), 使得对于适合不等式 ),使得对于适合不等式
0 < x − x0 < δ(或 x >X )的一切x ,对应的函数值
推论1 常数与无穷小的乘积是无穷小 推论 常数与无穷小的乘积是无穷小. 推论2 有限个无穷小的乘积也是无穷小. 推论 有限个无穷小的乘积也是无穷小
1 是无穷小 例如,当x → 0时, x sin x
二、无穷大
绝对值无限增大的变量称为无穷大 绝对值无限增大的变量称为无穷大. 无穷大
某一去心邻域内有定义（ 定义 2 设函数 f (x)在 x0某一去心邻域内有定义（或 x 义） ．如果对于任意 大 于某一正数时有定 义 ） 如果对于任意 给定的正 数 ．
思考题
若 f ( x ) > 0 ，且 lim f ( x ) = A，
x → +∞
问：能否保证有 A > 0 的结论？试举例说明 的结论？试举例说明.
思考题解答
不能保证. 不能保证
1 例 f ( x) = x
∀ x > 0,
1 有 f ( x) = > 0 x
1 lim f ( x ) = lim = A = 0. x → +∞ x x → +∞
∀ ε > 0, ∃N 1 > 0, N 2 > 0, 使得
ε ε 当 x > N 1时恒有 α < ; 当 x > N 2时恒有 β < ; 2 2 取 N = max{ N 1 , N 2 }, 当 x > N时, 恒有 ε ε α ± β ≤ α + β < + = ε, 2 2 ∴ α ± β → 0 ( x → ∞)
设 lim f ( x ) = ∞ .
x → x0
∴ ∀ε > 0, ∃δ > 0, 使得当0 < x − x 0 < δ时 1 1 恒有 f ( x ) > , 即 < ε. ε f ( x) 1 ∴ 当x → x 0时, 为无穷小. f ( x)
反之, 设 lim f ( x ) = 0, 且 f ( x ) ≠ 0.
一、填空题: 填空题:
练 习 题
凡无穷小量皆以________为极限. ________为极限 1、 凡无穷小量皆以________为极限.
2、lim f ( x) = A _______ f ( x) = A + α ,
x → x0
( 其中 lim α = 0 ) .
x → x0
3、在同一过程中, 若 f ( x) 是无穷大, 则 ______ 是无穷小 .
无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小. 注意 无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小.
1 是无穷小， 例如, n → ∞时, 是无穷小， n 1 但n个 之和为1不是无穷小 . n
定理3 有界函数与无穷小的乘积是无穷小. 定理 有界函数与无穷小的乘积是无穷小 证 设函数u在U 0 ( x 0 , δ 1 )内有界， 内有界，
1 y= x −1
定义 : 如果 lim f ( x ) = ∞ , 则直线 x = x 0是函数 y = f ( x )
x → x0
的图形的铅直渐近线 .
三、无穷小与无穷大的关系
定理4 在同一过程中,无穷大的倒数为无穷小; 定理4 在同一过程中,无穷大的倒数为无穷小; 恒不为零的无穷小的倒数为无穷大. 恒不为零的无穷小的倒数为无穷大. 证
x→x0
lim f ( x) = ∞ (或lim f ( x) = ∞).
x→∞
特殊情形：正无穷大，负无穷大． 特殊情形：正无穷大，负无穷大．
x Βιβλιοθήκη Baidu x0 ( x→∞ )
lim f ( x ) = +∞ (或 lim f ( x ) = −∞ )
x → x0 ( x→∞ )
1）无穷大是变量,不能与很大的数混淆 不能与很大的数混淆; 注意 （1）无穷大是变量,不能与很大的数混淆;
f (x)都 足 等 满 不 式 f (x) < ε,
末 函 那 称 数 f (x)当x → x0(或x →∞)时 无 小 为 穷 , 作 记
x→x0
lim f ( x) = 0 (或lim f ( x) = 0).
x→∞
例如, 例如
∵ lim sin x = 0, ∴ 函数 sin x是当x → 0时的无穷小. x→0
1 + 2x 二、根据定义证明 : 当 x → 0 时,函数 y = x 是无穷大 ,问 x 应满足什么条件 , 能使 y > 10 4 .
练习题答案
一、1、0； 2、 ⇔ ； 1 3、 3、 . f ( x)
1 二、 0 < x < 4 . 10 + 2