高中数学全套讲义 必修1 集合 基础教师版

目录
集合 (2)
模块一：集合与元素 (2)
考点1：集合与元素的关系 (2)
模块二：集合间关系与运算 (5)
考点2：集合相等 (5)
考点3：已知集合关系反求参 (6)
考点4：集合关系、运算综合 (8)
课后作业 (10)
集合
模块一：集合与元素
1．集合：一些能够确定的不同的对象所构成的整体叫做集合．构成集合的每个对象叫做这个集合的元素．集合一般用英文大写字母,,,A B C 表示．元素一般用英文小写字母,,,a b c 表示；
不含任何元素的集合叫做空集，记作∅．
2．元素与集合的关系：∈、∉；
3．常见的数集的写法：
45．集合的表示法
⑴ 列举法．
⑵ 描述法（又称特征性质描述法）：
形如{|()}x A p x ∈，()p x 称为集合的特征性质，x 称为集合的代表元素．A 为x 的范围，有时也写为{|()}x p x x A ∈，．
⑶ 图示法，又叫韦恩（Venn ）图．
⑷ 区间表示法：用来表示连续的数集．
考点1：集合与元素的关系
例1.（1）（2016秋•凉州区校级月考）已知集合{M a =，b ，}c 中的三个元素可构成某一个三角形的三边的长，那么此三角形一定不是( )
A ．直角三角形
B ．锐角三角形
C ．钝角三角形
D ．等腰三角形
【解答】解：根据集合元素的互异性可知：
a ，
b ，
c 三个元素互不相等，
若此三个元素构成某一三角形的三边长，
则此三角形一定不是等腰三角形．
故选：D ．
（2）（2017秋•河南月考）若1{2-∈，21a a --，21}a +，则(a = )
A ．1-
B ．0
C ．1
D ．0 或1
【解答】解：①若211a a --=-，则20a a -=，解得0a =或1a =，
1a =时，{2，21a a --，21}{2a +=，1-，2}，舍去，
0a ∴=；
②若211a +=-，则22a =-，a 无实数解；
由①②知：0a =．
故选：B ．
例2.（1）（2010•安徽模拟）已知集合2{|210A x ax x =++=，}a R ∈只有一个元素，则a 的值( )
A ．0
B ．1
C ．0或1
D ．1-
【解答】解：若集合2{|210A x ax x =++=，}a R ∈只有一个元素，
则方程2210ax x ++=有且只有一个解
当0a =时，方程可化为210x +=，满足条件；
当0a ≠时，二次方程2210ax x ++=有且只有一个解
则△440a =-=，解得1a =
故满足条件的a 的值为0或1
故选：C ．
（2）（2018秋•宽城区校级期末）已知集合2{|320}A x ax x =-+=至多有一个元素，则a 的取值范围是 ．
0a ，98a
908
a
a =或908a a =或 例3.（2016秋•钦州月考）已知集合A 的元素全为实数，且满足：若a A ∈，则
11a A a
+∈- （1）若2a =，求出A 中其他所有元素；
（2）0是不是集合A 中的元素？请你设计一个实数a A ∈，再求出A 中所有元素．
例 4.（2017秋•杨浦区校级期中）设a ，b ，c 为实数，2()()()f x x a x bx c =+++，
2()(1)(1)g x ax cx bx =+++记集合{|()0S x f x ==，}x R ∈，{|()0T x g x ==，}x R ∈．若||S ，||T 分别为集合S ，T 的元素个数，则下列结论不可能的是( )
A ．||1S =且||0T =
B ．||1S =且||1T =
C ．||2S =且||2T =
D ．||2S =且||3T = 【解答】解：2()()()f x x a x bx c =+++，{|()0S x f x ==，}x R ∈，
2()(1)(1)g x ax cx bx =+++，{|()0T x g x ==，}x R ∈． 当0a =，240b c -<，||1S =，||0T =；故A 可能 当0a ≠，240b c -<，||1S =，||1T =；故B 可能
当0a =，240b c -=，||2S =，||1T =； 当0a ≠，240b c -=，||2S =，||2T =；故C 可能
当0a =，240b c ->，||3S =，||2T =；
当0a ≠，240b c ->，||3S =，||3T =；
综上，只有D 不可能发生，
故选：D ．
模块二：集合间关系与运算
1．子集：如果集合A 中的任意一个元素都是集合B 的元素，则A 是B 的子集，记作A B ⊆或B A ⊇；
规定：∅是任意集合的子集．
如果集合A 中存在着不是集合B 中的元素，那么集合A 不包含于B ，记作A B 或
B A ． 2．真子集：如果集合A B ⊆，且存在x B ∈，但x A ∉，我们称集合A 是集合B 的真子集，
记作A B （或B A ）
，读作A 真包含于B （B 真包含A ）． 规定：∅是任意非空集合的真子集．
3．集合相等：如果A B ⊆，且B A ⊆，我们说集合A 与集合B 相等，记作A =B ．
4．交集：{}|A
B x x A x B =∈∈且； 5．并集：{}|A
B x x A x B =∈∈或； 6．补集：
①全集：如果所研究的集合都是某一给定集合的子集，那么称这个给定的集合为全集，常用U 表示．
②补集：A 在U 中的补集的数学表达式是
{}|U A x x U x A =∈∉，且．
7．A B A B A A B B ⊆⇔=⇔=． 考点2：集合相等
例5.（1）（2014秋•大竹县校级月考）设a ，b R ∈，集合{0，b ，}{1b a
=，a ，}a b +，则2(a b += )
A ．1
B ．0
C ．1-
D ．不确定 解：{0，b ，从而1b =，1a =-，可得21a b +=，
故选：A ．
（2）（2018•浙江模拟）已知集合{1A =，2}，2{|(1)0B x x a x a =-++=，}a R ∈，若A B =，
则(a = )
A ．1
B ．2
C ．1-
D ．2- 【解答】解：{1A =，2}，2{|(1)0B x x a x a =-++=，}a R ∈，
若A B =，则1，2是方程2|(1)0x a x a -++=得两根，
则12112a a +=+⎧⎨⨯=⎩
，即2a =． 故选：B ．
（3）（2018秋•香坊区校级月考）已知{3M a =-，21a -，21}a +，{2N =-，43a -，
31}a -，若M N =，则实数a 的值为 ． 【解答】解：M N =；
32a ∴-=-时，1a =，{2M =-，1，2}，{2N =-，1，2}，满足M N =；
1a ∴=．
故答案为：1．
考点3：已知集合关系反求参 例6.（1）（2017秋•雁峰区校级期中）若集合2{|60}P x x x =+-=，{|10}S x mx =+=，且S P ⊆，求由m 的可能取值组成的集合． 【解答】解：集合{3P =-，2}，集合S 中至多有一个元素，
若集合S 为空集，即0m =时，显然满足条件S P ⊆，故0m =．
（2）（2019•湘潭三模）已知集合2{|}A x ax x ==，{0B =，1，2}，若A B ⊆，则实数a 的值为( )。