北师大版高中数学必修二第二章解析几何初步单元检测(附答案)

数学北师版必修2第二章解析几何初步单元检测
(时间：45分钟，满分：100分)
一、选择题(每小题6分，共48分)
1．直线ax＋2y－1＝0与x＋(a－1)y＋2＝0平行，则a等于( )．
A．3
2
B．2
C．－1D．2或－1
2．已知A(－4,2,3)关于xOz平面的对称点为A1，A1关于z轴的对称点为A2，则|AA2|等于( )．
A．8B．12C．16D．19
3．已知直线l1和l2的夹角平分线为y＝x，如果l1的方程为ax＋by＋c＝0，那么直线l2的方程为( )．
A．bx＋ay＋c＝0B．ax－by＋c＝0
C．bx＋ay－c＝0D．bx－ay＋c＝0
4．圆x2＋y2－4x－4y＋7＝0上的动点P到直线x＋y＝0的最小距离为( )．
A．1B．2C．1D．
5．不论a为何实数，直线(a－3)x＋2ay＋6＝0恒过( )．
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D．第四象限
6．已知圆C与直线x－y＝0及x－y－4＝0都相切，圆心在直线x＋y＝0上，则圆C 的方程为( )．
A．(x＋1)2＋(y－1)2＝2
B．(x－1)2＋(y＋1)2＝2
C．(x－1)2＋(y－1)2＝2
D．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2
7．过点P(4,2)作圆x2＋y2＝4的两条切线，切点分别为A，B，O为坐标原点，则△OAB 的外接圆方程是( )．
A．(x－2)2＋(y－1)2＝5
B．(x－4)2＋(y－2)2＝20
C．(x＋2)2＋(y＋1)2＝5
D．(x＋4)2＋(y＋2)2＝20
8．在圆x2＋y2－2x－6y＝0内，过点E(0,1)的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为( )．
A．．
C．．
二、填空题(每小题6分，共18分)
9．光线从点M(3，－2)照射到y轴上一点P(0,1)后，被y轴反射，则反射光线所在的直线方程为____________．
10．若圆x2＋y2＋2x－4y－4＝0的圆心C到直线l的距离为2，且l与直线3x＋4y－1＝0平行，则直线l的方程为__________．
11．直线l将圆x2＋y2－2x－4y＝0平分，且不通过第四象限，则直线l的斜率取值范围是________．
三、解答题(共3小题，共34分)
12．(10分)已知直线l经过直线3x＋4y－2＝0与直线2x＋y＋2＝0的交点P，且垂直于直线x－2y－1＝0.
求：(1)直线l的方程；
(2)直线l与两坐标轴围成的三角形的面积S.
13．(12分)已知圆x2＋y2＋x－6y＋m＝0与直线x＋2y－3＝0相交于P，Q两点，点O 为坐标原点，若OP⊥OQ，求m的值．
14．(12分)已知点P(2,0)及圆C：x2＋y2－6x＋4y＋4＝0.
(1)若直线l过点P且与圆心C的距离为1，求直线l的方程．
(2)设过点P的直线l1与圆C交于M，N两点，当|MN|＝4时，求以线段MN为直径的圆Q的方程．
(3)设直线ax－y＋1＝0与圆C交于A，B两点，是否存在实数a，使得过点P(2,0)的直线l2垂直平分弦AB？若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由．
参考答案
1答案：D 解析：由a ·(a －1)－2×1＝0得a 2
－a －2＝0，∴a ＝2或－1.
2答案：A 解析：A 1(－4，－2,3)，A 2(4,2,3)，∴|AA 2|＝8.
3答案：A 解析：因为夹角平分线为y ＝x ，所以直线l 1和l 2关于直线y ＝x 对称，其方程为bx ＋ay ＋c ＝0.
4答案：C 解析：圆方程化为标准形式为(x －2)2＋(y －2)2
＝1，圆心为(2,2)，所以圆
心到直线的距离
d =
d －1＝1. 5答案：D 解析：由(a －3)x ＋2ay ＋6＝0，得(x ＋2y )a ＋(6－3x )＝0.令20,630,
x y x +=⎧⎨
-=⎩得2,1,x y =⎧⎨=-⎩
∴直线(a －3)x ＋2ay ＋6＝0恒过定点(2，－1)．从而该直线恒过第四象限．
6答案：B 解析：由圆心在直线x ＋y ＝0上，不妨设为C (a ，－a )，∴
r =
=，
解得a ＝1，r =
∴圆C ：(x －1)＋(y ＋1)2
＝2.
7答案：A 解析：由条件O ，A ，B ，P 四点共圆，从而OP 中点(2,1)为所求圆的圆心，
半径1
|2
r OP =
(x －2)2＋(y －1)2＝5.
8答案：B 解析：由(x －1)2＋(y －3)2
＝10，可知圆心为O (1,3)，过E (0,1)
的最长弦为圆的直径最短弦为以E 为中点的弦，其长为.因两条
弦互相垂直，故四边形ABCD 的面积为
1
2
⨯ 9答案：x －y ＋1＝0 解析：点M (3，－2)关于y 轴的对称点为M ′(－3，－2)，故反射光线所在的直线方程为直线M ′P ，其方程为y －1＝
1(2)
0(3)
x ----＝x ，即x －y ＋1＝0.
10答案：3x ＋4y ＋5＝0或3x ＋4y －15＝0 解析：圆心为(－1,2)．设所求的直线方程为3x ＋4y ＋D ＝0(D ≠－1)，由点到直线的距离公式，得
，即
|5|
=25
D +，解得D ＝5或－15.故所求的直线方程为3x ＋4y ＋5＝0或3x ＋4y －15＝0. 11答案：[0,2] 解析：方程x 2
＋y 2
－2x －4y ＝0化为(x －1)2
＋(y －2)2
＝5，圆心(1,2)，
r =，由题意知l 过圆心，又不过第四象限，所以满足条件的直线应位于l 1与l 2之间(包
含l 1，l 2，如图)，k 1＝0，220
=210
k -=
-， ∴0≤k l ≤2.
12答案：解：(1)由3420,
220,x y x y +-=⎧⎨++=⎩
解得2,
2.
x y =-⎧⎨
=⎩则点P 的坐标是(－2,2)，由于所求直线l 与x －2y －1＝0垂直，可设直
线l 的方程为2x ＋y ＋C ＝0.
把点P 的坐标代入得2×(－2)＋2＋C ＝0，即C ＝2.故所求直线l 的方程为2x ＋y ＋2＝0.
(2)由直线l 的方程知它在x 轴，y 轴上的截距分别是－1，－2，所以直线l 与两坐标轴围成三角形的面积S ＝
1
2
×1×2＝1. 13答案：解：设点P ，Q 的坐标为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)．由OP ⊥OQ 得k OP ·k OQ ＝－1，即
12
12
=1y y x x ⋅-，x 1x 2＋y 1y 2＝0.①
又(x 1，y 1)，(x 2，y 2)是方程组22
230,
60
x y x y x y m +-=⎧⎨
++-+=⎩的实数解，即x 1，x 2是方程5x
2
＋10x ＋4m －27＝0 ②的两个根．∴x 1＋x 2＝－2，12427
5
m x x -=.③
∵P ，Q 在直线x ＋2y －3＝0上，
∴y 1y 2＝
12(3－x 1)·12(3－x 2)＝1
4
[9－3(x 1＋x 2)＋x 1x 2]． 将③代入，得1212
5
m y y +=.④
将③④代入①，解得m ＝3， 代入方程②，检验Δ＞0成立， ∴m ＝3.
14答案：解：(1)直线l 斜率存在时，设直线l 的斜率为k ，则方程为y －0＝k (x －2)，即kx －y －2k ＝0.又圆C 的圆心为(3，－2)，半径r ＝3，
，解得3
4
k =-.
所以直线方程为3
(2)4
y x =-
-， 即3x ＋4y －6＝0.
当l 的斜率不存在时，l 的方程为x ＝2，经验证x ＝2也满足条件．即直线l 的方程为3x ＋4y －6＝0或x ＝2.
(2)由于|CP |d ==，
所以d ＝|CP |
所以P 恰为MN 的中点．
故以MN 为直径的圆Q 的方程为(x －2)2＋y 2
＝4.
(3)把直线y ＝ax ＋1代入圆C 的方程，消去y ，整理得(a 2＋1)x 2
＋6(a －1)x ＋9＝0.
由于直线ax －y ＋1＝0交圆C 于A ，B 两点，故Δ＝36(a －1)2－36(a 2
＋1)＞0，即－2a ＞0，解得a ＜0.则实数a 的取值范围是(－∞，0)．
设符合条件的实数a 存在，
由于l 2垂直平分弦AB ，故圆心C (3，－2)必在l 2上．所以l 2的斜率k PC ＝－2，而k AB ＝a ＝1
PC
k -
， 所以12a =
.由于1
2
∉(－∞，0)，故不存在实数a ，使得过点P (2,0)的直线l 2垂直平分弦AB .。