数学联赛考前练习题二套

高中数学奥林匹克模拟真题（七）

一：填空题（每题8分，共8题）

1．已知=)(x f ⎪⎩

⎪⎨⎧∈-∈+]1,21[),1(2)21,0[,21x x x x ，定义)()()),(()(11x f x f x f f x f n n ==-其中，则

20071

()5

f = ；

2．在数列}{n a 中，1a ＝2，)(1*1N n a a n n ∈=++，设n S 为数列}{n a 的前n 项和，则

2005200620072S S S +-的值为

3、已知实数b a ,满足b b a 200610041003=+，a

b a 20071009997=+，则a 与b 的大小关系

为 .

4、设函数x x x f -+=1log 21)(2，定义∑-==1

1

)(n i n n i f S ，其中*

N n ∈，且2≥n ，

则n S = .

5、设21,A A 为椭圆)0(122

22>>=+b a b

y a x 的左右顶点，若在椭圆上存在异于21,A A 的点P ，使得

02=⋅PA PO ，其中O 为坐标原点，则椭圆离心率的取值范围是 .

6.求和：22006

1222[][][][

]10033333

++++ = （其中[]x 表示不超过x 的最大整数）.

7、扔6次股子，令第i 次得到的数为i a ，若存在正整数k 使得

61

=∑=k

i i a 的概率m

n

p =

，其中n m ,是互质的正整数，则n m 76log log -= .

8、斜率为1的直线与椭圆2

2

14

y x +

=交于A 、B 两点，P 为线段AB 上的点，且2AP PB =. 则P 点的轨迹方程是____________________．

二：解答题：（第9题16分。20，21题20分）。 13、设 ,,,,10n a a a 为实数列，满足5

1

2

1+

≥+n n a a ，其中N n ∈.

求证：当5≥n 时，2

55-+≥n n a a .

14、设F 椭圆22221(0)x y a b a b

+=>>的焦点，,AB CD 为过焦点的弦，满足AB CD ⊥，求“蝶形”ACFBD

面积的最大值和最小值.

15、设函数38)(2++=x ax x f ).(R a ∈

（1）若)(),()(x f x xf x g =与)(x g 在x 同一个值时都取得极值，求a 的值.

（2）对于给定的负数a ，有一个最大的正数()M a ，使得)](,0[a M x ∈时，恒有.5|)(|≤x f ①()M a 的表达式；

②()M a 的最大值及相应的a 值.

二试

一、（满分40分）

一. 设M 为凸四边形ABCD 内部一点，MA=MC ，∠AMB=∠M AD+∠MCD ， ∠CMD=∠MCB+∠MAB ，求证：AB •CM=BC •MD ，BM •AD=MA •CD

二．（满分40分）设T 为所有n 元数组(x 1,x 2,…,x n )的集合，x i =0,1(i=1,2, …,n)，n=2k-1,k ≣6,k ∈Z,对于T 中的x=(x 1,x 2,…,x n )与y=(y 1,y 2,…,y n ),令d(x,y)为满足x j ≠y j (1≢j ≢n)的j 个数,特别地，d(x,x)=0，设有一个T 的具有2k 个元素的子集S ，具有以下性质：对T 的任何一个元素x ，S 中有唯一的元素y 满足d(x,y)≢3，求n 之值。

三、（满分50分）设,,a b c R +

∈,求证:333222222

2222223

a b c a b c

a a

b b b b

c c c ca a ++++≥-+-+-+.

四．（满分50分）已知数列{a n }定义如下：a 0=4，a 1=22，a n =6a n-1-a n-2(n ≣2)；数列{b n }定义如下：

b 0=2，b 1=1，b n =2b n-1+b n-2(n ≣2)，证明：存在正整数列{x n },{y n }，使得n

n 2n n y x 7

y a -+=(n ≣0)

2012年高中数学奥林匹克模拟真题（七）答案

1.解：计算

=======)51(,51)51(,109)51(,52)51(,54)51(,53)51(,107)51(7654321f f f f f f f 10

7 可知)5

1(n f 是最小正周期为６的函数。即得)51()51(6n n f f =+，所以)51()51(32007f f =＝54

.

2. 解：当n 为偶数时，114321=+==+=+-n n a a a a a a ，故2

n

S n =

当n 奇数时，21=a ，115432=+==+=+-n n a a a a a a ， 故2

3

212+=-+=n n S n 故310041003210052200520062007=+⨯-=+-S S S . 3、a b <

假设a b ≥。则10091009a

b

≥，10031003a

b

≥。 所

以

2006

1003100b a

b b b =+≥+，200799710099971009a

a b a a

=+≤+。即

100310049971009

(

)()1,()()1.2006

200620072007b b

a a +≤+≥ 因为10031004()(

)()20062006x x f x =+和9971009()()()20072007

x x

g x =+均为减函数. 且100310042007(1)1()200620062006f g b =

+=>≥，99710092006

(1)1()200720072007g g a =+=<≤ 从而1,1a b <>，与a b ≥矛盾. 4、

1

2

n - 当121x x +=时， 12

122

12(()1log 1(1)(1)

x x f x f x x x +=+=--，

1

12()()1n n i i

n i S f f n n n -=-⎡⎤=+=-⎢⎥⎣

⎦∑，故12n n S -=. 5

、 由对称性，不妨设(,)P x y (0)x >，以2OA 为直径的圆的方程为222

()24

a a x y -+=.

联立 22

2

22

221()24

x y a b a a

x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩，消去2

y ，2222(1)0b x ax b a --+=.