理论力学15-2虚功原理
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若将摩擦力当做主动力，在虚功方程中考虑摩 擦力所做的虚功，则可用于有摩擦的问题。
虚位移原理是作用于质点系上所有主动力在任 何虚位移中所作虚功之和为零。 它与约束反力无关，似乎无法求约束反力。 若用该原理求约束反力，可沿所求约束反力方 向解除相应约束，并用一主动力代替。 再用虚位移原理，求出该假想施加的“主动 力”，仍可得到对应的约束反力。
y B
FBy
y A
FG
s E
xG
计算虚位移关系(几何法) y A 2 AB杆： y B
在EA杆上，两虚位 移投影相等：
y B
FBy
y A
G
θቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
s E
xG
y A cos sE cos(90 2 ) sE y A /( 2 sin )
EG杆上，两虚位移投影相等：xG sE cos 虚位移 关系：
1 x B yC tan 2 1 [ FCy F ( tan )]yC 0 2 δyC 是任意的，∴ 1 FCy F tan ( ) 2
F
x B
y
x
若用几何法分析虚位移： 几何法分析虚位移，无需 对AB 杆，δrB方向如图， 设定坐标系。 由协调关系，δyC方向如图。 两虚位移在BC杆方向投影应相等： rB cos(2 90) rC cos(90 ) rB sin 2 rC sin 两虚位移关系： rC 2rB cos 用虚功方程 (FCy视为主动力) FCy (rC ) F (rB cos(90 )) 0
例1. 压包机示意如图，在B点作用一水平力F， AB BC l 求图示位置对C的压紧力。
一) 解除约束 假想解除C端垂直方向的约束，用 是否需要考虑yB及其变分? “主动力”FCy代替， 二) 受力分析 只画出可作虚功的主动力。 三) 分析虚位移(变分法) 建立坐标系，
FCy
y C
F
x B
xG s E cos y A cos cot yB 2yB sin y B
四) 用虚功方程
(Fi ri ) FBy (yB ) F xG 0
xG FBy F yB
FBy F cot ()
xG cot y B
三、虚位移原理(虚功原理) 具有定常、理想约束的质点系在给定位置上平 衡的充要条件是：所有作用在该系统的主动力 在任何虚位移中的虚功之和为零。
Fi 是作用在第i 个质点上的主动力；
WFi
Fi ri 0
ri 是第i 个质点的虚位移。
此式也称虚功方程。
必要性证明： 设质点系静止平衡，每一质点也平衡。 任一质点mi 上，作用有主动力合力Fi 、约束反 力合力FNi ，平衡时：
只要θ<45°，FBy>F成 为力放大器。 θ越小，放大倍数越大。
y B
FBy
y A
G
s E
xG
例3. 求多跨静定梁D支座处支反力。
一) 解除约束 假想去掉D支座，用FD代替(作为主动力)， 二) 受力分析 只需画出可作虚功的主动力。
三) 分析虚位移 (几何法) 由于约束，ABC杆不产生虚位移。只有CE和EH 杆会产生虚位移。 由于刚体不变形，CE和EH杆位移后仍是直杆。 假想D点产生一个垂直方向的虚位移δrD， 由杆件的协调关系，画出力作用点处虚位移。
计算虚位移关系
由比例关系：
1 r1 rE 3 1 rE 6
2 rD rE 3
3 r2 rE 4
四) 用虚功方程 ( Fi ri ) 0 10 r1 FD (rD ) 6 r2 3(- ) 0 3rE rE rE 2rE rD r1 r2
§15-2 虚位移原理(虚功原理) 一、虚功 力在虚位移中作的功。
W F r
二、理想约束 在质点系的任何虚位移中，所有约束力所 作虚功的和等于零的约束。
WN WNi FNi ri 0
光滑面约束、光滑绞链、绞支座、不可伸长的 柔索及固定端约束都是理想约束。
FCy
rC
rB
F
[2FCy cos F sin ]rB 0 FCy ( F tan ) / 2 ( )
例2. 图示压板装置，求B工件受的压力。
一) 解除约束 假想解除B端垂直约束，用“主动力”FBy代替， 二) 受力分析 只画出可作虚功的主动力。
FBy
F
三) 分析虚位移 (几何法) 因为B点解除了垂直方向的约束，可假想B点 产生一个垂直方向的虚位移δyB， A、E、G点也产生虚位移δyA、δsE、δxG。 必须符合协调关系。
虚位移原理求解约束反力基本步骤： 一) 解除约束 沿需要求约束反力的方向解除约 束，用一假想的主动力代替； 二) 受力分析 画出全部可作虚功的主动力(包括 假想施加的“主动力”)； 三) 虚位移分析 1. 变分法：建坐标系，列出虚位移点的坐标， 进行变分计算，建立虚位移之间的关系。 2. 几何法：根据虚位移的协调关系及虚位移的 投影关系，建立虚位移之间的关系。 四) 使用虚位移原理： ( Fi ri ) 0
( FNi ri ) 0 ∴ ( Fi ri ) 0
由于约束是定常理想约束，
可证明，上式也是充分条件。 虚位移原理：有理想约束的质点系平衡的充要 条件是：作用于质点系上所有主动力在任何虚 位移中所作虚功之和为零。 在直角坐标系中，可表示为：
( X i xi Yi yi Zi zi ) 0
给质点以任意虚位移 ri ，则作用在质点mi 上
Fi FNi 0
Fi ri FNi ri ( Fi FNi ) ri 0
将系统内全部质点的虚功方程相加：
Fi 、FNi 的虚功之和：
( Fi ri ) ( FNi ri ) 0
xB l cos xB l sin
yC 2l sin
yC 2l cos
y
两式相除得两 1 x B yC tan (+) 虚位移关系： 2
x
四) 用虚功方程 (FCy视为主动力)
( Fi ri ) 0
FCy
y C
FCy (yC ) FxB 0
3 3 6 4 1 2 3 1 [10 FD ( ) 6 3( )]rE 0 3 3 4 6 FD 11(kN ) ( )
虚位移原理是作用于质点系上所有主动力在任 何虚位移中所作虚功之和为零。 它与约束反力无关，似乎无法求约束反力。 若用该原理求约束反力，可沿所求约束反力方 向解除相应约束，并用一主动力代替。 再用虚位移原理，求出该假想施加的“主动 力”，仍可得到对应的约束反力。
y B
FBy
y A
FG
s E
xG
计算虚位移关系(几何法) y A 2 AB杆： y B
在EA杆上，两虚位 移投影相等：
y B
FBy
y A
G
θቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
s E
xG
y A cos sE cos(90 2 ) sE y A /( 2 sin )
EG杆上，两虚位移投影相等：xG sE cos 虚位移 关系：
1 x B yC tan 2 1 [ FCy F ( tan )]yC 0 2 δyC 是任意的，∴ 1 FCy F tan ( ) 2
F
x B
y
x
若用几何法分析虚位移： 几何法分析虚位移，无需 对AB 杆，δrB方向如图， 设定坐标系。 由协调关系，δyC方向如图。 两虚位移在BC杆方向投影应相等： rB cos(2 90) rC cos(90 ) rB sin 2 rC sin 两虚位移关系： rC 2rB cos 用虚功方程 (FCy视为主动力) FCy (rC ) F (rB cos(90 )) 0
例1. 压包机示意如图，在B点作用一水平力F， AB BC l 求图示位置对C的压紧力。
一) 解除约束 假想解除C端垂直方向的约束，用 是否需要考虑yB及其变分? “主动力”FCy代替， 二) 受力分析 只画出可作虚功的主动力。 三) 分析虚位移(变分法) 建立坐标系，
FCy
y C
F
x B
xG s E cos y A cos cot yB 2yB sin y B
四) 用虚功方程
(Fi ri ) FBy (yB ) F xG 0
xG FBy F yB
FBy F cot ()
xG cot y B
三、虚位移原理(虚功原理) 具有定常、理想约束的质点系在给定位置上平 衡的充要条件是：所有作用在该系统的主动力 在任何虚位移中的虚功之和为零。
Fi 是作用在第i 个质点上的主动力；
WFi
Fi ri 0
ri 是第i 个质点的虚位移。
此式也称虚功方程。
必要性证明： 设质点系静止平衡，每一质点也平衡。 任一质点mi 上，作用有主动力合力Fi 、约束反 力合力FNi ，平衡时：
只要θ<45°，FBy>F成 为力放大器。 θ越小，放大倍数越大。
y B
FBy
y A
G
s E
xG
例3. 求多跨静定梁D支座处支反力。
一) 解除约束 假想去掉D支座，用FD代替(作为主动力)， 二) 受力分析 只需画出可作虚功的主动力。
三) 分析虚位移 (几何法) 由于约束，ABC杆不产生虚位移。只有CE和EH 杆会产生虚位移。 由于刚体不变形，CE和EH杆位移后仍是直杆。 假想D点产生一个垂直方向的虚位移δrD， 由杆件的协调关系，画出力作用点处虚位移。
计算虚位移关系
由比例关系：
1 r1 rE 3 1 rE 6
2 rD rE 3
3 r2 rE 4
四) 用虚功方程 ( Fi ri ) 0 10 r1 FD (rD ) 6 r2 3(- ) 0 3rE rE rE 2rE rD r1 r2
§15-2 虚位移原理(虚功原理) 一、虚功 力在虚位移中作的功。
W F r
二、理想约束 在质点系的任何虚位移中，所有约束力所 作虚功的和等于零的约束。
WN WNi FNi ri 0
光滑面约束、光滑绞链、绞支座、不可伸长的 柔索及固定端约束都是理想约束。
FCy
rC
rB
F
[2FCy cos F sin ]rB 0 FCy ( F tan ) / 2 ( )
例2. 图示压板装置，求B工件受的压力。
一) 解除约束 假想解除B端垂直约束，用“主动力”FBy代替， 二) 受力分析 只画出可作虚功的主动力。
FBy
F
三) 分析虚位移 (几何法) 因为B点解除了垂直方向的约束，可假想B点 产生一个垂直方向的虚位移δyB， A、E、G点也产生虚位移δyA、δsE、δxG。 必须符合协调关系。
虚位移原理求解约束反力基本步骤： 一) 解除约束 沿需要求约束反力的方向解除约 束，用一假想的主动力代替； 二) 受力分析 画出全部可作虚功的主动力(包括 假想施加的“主动力”)； 三) 虚位移分析 1. 变分法：建坐标系，列出虚位移点的坐标， 进行变分计算，建立虚位移之间的关系。 2. 几何法：根据虚位移的协调关系及虚位移的 投影关系，建立虚位移之间的关系。 四) 使用虚位移原理： ( Fi ri ) 0
( FNi ri ) 0 ∴ ( Fi ri ) 0
由于约束是定常理想约束，
可证明，上式也是充分条件。 虚位移原理：有理想约束的质点系平衡的充要 条件是：作用于质点系上所有主动力在任何虚 位移中所作虚功之和为零。 在直角坐标系中，可表示为：
( X i xi Yi yi Zi zi ) 0
给质点以任意虚位移 ri ，则作用在质点mi 上
Fi FNi 0
Fi ri FNi ri ( Fi FNi ) ri 0
将系统内全部质点的虚功方程相加：
Fi 、FNi 的虚功之和：
( Fi ri ) ( FNi ri ) 0
xB l cos xB l sin
yC 2l sin
yC 2l cos
y
两式相除得两 1 x B yC tan (+) 虚位移关系： 2
x
四) 用虚功方程 (FCy视为主动力)
( Fi ri ) 0
FCy
y C
FCy (yC ) FxB 0
3 3 6 4 1 2 3 1 [10 FD ( ) 6 3( )]rE 0 3 3 4 6 FD 11(kN ) ( )