线性变换及其矩阵表示

（1）由于对任意点 x ，有
1 0 x 0 1 x x y ， y
y x x
所以 A1 确定的变换将任意一个点 x 变成它关于 x 轴对 称的点 x （见图 5.2.1） 。
x 图 5.2.1
y
x


sin cos
x x
r (cos cos sin sin ) r cos( ) r (sin cos cos sin ) ， r sin( )
Ai ( 1 x1 2 x 2 ) = 1 ( Ai x1 ) 2 ( Ai x 2 ) 。
也就是说，由矩阵确定的变换都满足线性运算规则。 （2）如需要先将 x 关于直线 y = x 作对称，再旋转角度 ，则有
cos x sin sin cos
则
( A(a1 ), A(a 2 ),, A(a m ))
a11 a12 a1m a 21 a 22 a 2 m (b1 , b2 ,, bn ) (b1 , b2 ,, bn ) A 。 a a a n2 nm n1
d ( p( x) q( x) ) dx d d = [ p( x) ] + [ q( x) ] = D(p)+ D (q)， dx dx
D( p+ q) =
由定义，D 是 Pn 上的线性变换。 例 5.2.3 求定积分运算 L ( f ) = a f ( x)dx 是 C[a, b] 到 R 上的线性变换。实际上， L 的线性性质就是定积分的线性性质。
x y 0 x x x 0 ， y y
y x
x
x 图 5.2.3
所以 A3 确定的变换将任意一个点 x 变成在它与原点连线 上，与原点距离伸缩为 | | 倍的点 x ，当 0 时， x 与 x 在原点同侧；当 0 时， x 点在原点另一侧；当 0 ，
例 5.2.2 证 =
证明求导运算 D =
d 是 Pn 的上的线性变换。 dx
对与 Pn 中的任意元素 p p( x) ， p( x) 是不超过 n 次的多项式，于是 D(p)
d [ p( x) ]是不超过 n 1 次的多项式，即 D(p) Pn 。 dx
对于任意 p( x) ， q( x) Pn 及 ， R，由求导运算法则，
线性变换及其矩阵表示 定义 5.2.1 设 U，V 是 K 上的线性空间，K 为 R 或 C ，A 是 U 到 V 的映 射，即对于任意 x U，存在唯一的像 z V，使得 A (x) = z。 若 A 满足线性性质，即对于任意 x，y U 及 ， K，成立 A ( x+ y ) = A (x) + A ( y )， 则称 A 为线性空间 U 到 V 上的一个线性变换。 特别地，从线性空间 U 到其自身的线性变换称为 U 上的线性变换。 显然，例 5.2.1 中的五个变换都是 R 2 上的线性变换。 几个最简单的线性变换是： （1）线性空间 U 上的恒等变换（单位变换）I：对于任意 x U，I (x) = x。 （2）线性空间 U 到 V 上的零变换 0：对于任意 x U，0(x) = 0。
1 0 ； 0 1 cos sin ； cos
（2） A2 1 0 ； （5） A5 0 0 。
x y
1 0
0 1
（3） A3 0 ；

0
（4） A4 sin 解
y
x x
x
图 5.2.5
所以 A5 确定的变换将任意一个点 x 变成它在 x 轴上的 投影点 x （见图 5.2.5） 。
在上面的讨论中，变换由矩阵 A 确定，因此称 A 为变换矩阵。其中，A1 与 A2 确定的变换称为反射变换或镜像变换， A3 确定的变换称为相似变换（ 称为相 似比） ，而 A4 确定的变换称为旋转变换， A5 确定的变换称为射影变换，它们都属 于最简单的几何变换。 从这几个具体例子容易归纳出： （1）设 x1 和 x 2 都是平面上的点，若对它们的线性组合 1 x1 2 x 2 作上述变 换，可以先对 x1 和 x 2 作上述变换后再线性组合，即
定义 5.2.3 设 A 是 U 上的线性变换，若存在 U 上的线性变换 B 使得 BA (x) = x， x U，
即 BA 是恒等变换，则称 A 是可逆变换，B 称为 A 的逆变换，记为 B= A–1。 线性变换有下列性质： 定理 5.2.1 设 A 是线性空间 U 到 V 上的任意一个线性变换，则成立 （1）A (0) = 0，A ( x ) = A (x)； （2）若 {a j }kj 1 是 U 中一组线性相关的元素，则{ A a j }kj 1 也是 V 中一组线性相 关的元素；
x 为原点（见图 5.2.3） 。
（4）对任意点 x ，将其记为
x cos x A4 y x sin
x y
r cos ，则有 r sin r cos r sin
（3）将 U 中所有元素在线性变换 A 下的象记为 A (U)，即 A (U) = {y V | y = A (x), x U }， 则 A (U)是 V 的线性子空间（称为 A 的象空间） ； （4）将 V 中零元素在线性变换 A 下的原象记为 N(A)，即 N(A) = { x U | A (x) = 0 }， 则 N(A)是 U 的线性子空间（称为 A 的核空间） 。 注意，在定理 5.2.1 的（2）中，若 {a j }kj 1 是 U 中一组线性无关的元素，则 { A (a j )}kj 1 不一定是 V 中一组线性无关的元素，事实上零变换就是这样。 下面讨论线性变换与矩阵的关系。由例 5.2.1 不难推断，任意一个 n 阶方阵 必确定 R n 上的一个线性变换。那么，一般有限维线性空间之间的线性变换与矩 阵有什么联系呢？
§2
几个简单的几何变换
线性变换及其矩阵表示
我们先从 R 2 谈起。容易发现，若给定了一个 2×2 矩阵
a11 A a 21 a12 ， a 22
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则对平面上任意点（即向量） x ，通过矩阵与向量的乘法运算
a11 x Ax a 21 a12 x x ， a 22 y y
b
例 5.2.4 设映射 A ： R 3 R 3 定义为
A( x ) A( x1 , x 2 , x3 )

2 x12 x 2 ,
2 2 x2 x3 ,
2 x3 x12
。
T T
则对于 R ，有
A(x )
(x )
1
2
(x 2 ) 2 , (x 2 ) 2 (x3 ) 2 , (x 2 ) 2 (x1 ) 2
图 5.2.4
所以 A4 确定的变换将任意一个点 x 绕原点旋转了角度 的点 x （见图 5.2.4） 。 （5）由于对任意点 x ，有
1 0 x x x 0 0 ， y 0
x y

| | A( x ) 。
显然，当 x 0 且 0 时， A(x) A( x) ，因此 A 不是线性变换。 定义 5.2.2 设 A 是线性空间 U 到 V 的线性变换，B 是线性空间 V 到 W
上的线性变换，称复合变换 B(A (x) )， x U， 为 B 和 A 的乘积变换，记为 BA。 显然 BA 是 U 到 W 上线性变换。
x y
可以唯一确定了平面上的一点 x 。 x 可以看成是由 x 经过某种变换得到的点， 而这个变换的规律显然由矩阵 A 所确定。
例 5.2.1 问以下矩阵对 R 2 上的任意点 x，由 x Ai x （ i 1,2,3,4,5 ）确定了 什么样的变换？ （1） A1
（2）由于对任意点 x ，有
0 1 x y x 1 0 ， y x
x y
y
x
y=x
x
x 图 5.2.2
所以 A2 确定的变换将任意一个点 x 变成它关于直线 。 y x 对称的点 x （见图 5.2.2） （3）由于对任意点 x ，有
所以
A( x) 1 A(a1 ) 2 A(a 2 ) m A(a m )
1 2 ( A(a1 ), A(a 2 ),, A(a m )) (b1 , b2 ,, bn ) m 1 A 2 。 m
n 设 {a i }im A是 1 和 {b j } j 1 分别是 m 维线性空间 U 和 n 维线性空间 V 中的一组基，
U 到 V 上的线性变换。设 U 中元素 x 用 {a i }im 1 表示的形式为 x = 1 a1 2 a 2 m a m ， 两边作用线性变换 A，由线性变换的性质得， A(x) = 1 A( a1 ) 2 A( a2 ) m A( a m )。 这就是说，线性变换由其对一组基的变换规律完全决定。 由于对于 i 1,2,, m ，A( a i ) V，因此它可以用基 {b j }nj 1 线性表示，记
a1i a 2i A( a i ) (b1 , b2 ,, bn ) ， i 1,2,, m 。 a ni
于是，若记
a11 a12 a1m a 21 a 22 a 2 m A ， a a a n2 nm n1
0 1 cos x 1 0 sin
sin cos
0 1 1 0 x ，
也就是说，由矩阵确定的变换可以复合，复合的变换矩阵恰是各个变换矩阵的 乘积。 （3）有些变换可以通过相反的过程再变换回去，即变换是可逆的，有些则 不可逆。如上面由 A1 — A4 确定的变换都是可逆的，而 A5 确定的变换不可逆。而 通过观察发现，恰恰 A1 — A4 都是可逆矩阵，而 A5 是不可逆矩阵。因而可以设想， 若矩阵 A 不可逆，那么 A 确定的变换不可逆；若 A 可逆，那么 A 确定的变换可 逆，且确定逆变换的矩阵正是 A 1 。 显然，借助矩阵会给讨论问题带来很大方便。于是自然要问，既然有一个矩 阵就决定了一个变换，那么什么样的变换才可以通过矩阵来表示？进一步，这 样的变换有哪些更一般的性质？下面来回答这些问题。