高中数学选修微积分基本定理

[学习目标] 1.了解导数和微积分的关系.2.掌握微积分基本定理.3.会用微积分基本定理求一些函数的定积分. 知识点一导数与定积分的关系

f(x)d x等于函数f(x)的任意一个原函数F(x)(F′(x)＝f(x))在积分区间[a，b]上的

s可

s＝t＝s(b)－s t等于

(1)

(2)

(3)

(4)若f(x)＝e x，则F(x)＝e x；

(5)若f(x)＝a x，则F(x)＝(a>0且a≠1)；

(6)若f(x)＝sin x，则F(x)＝－cos x；

(7)若f(x)＝cos x，则F(x)＝sin x.

知识点二微积分基本定理

一般地，如果f(x)是区间[a，b]上的连续函数，并且F′(x)＝f(x)，那么f(x)d x ＝F(b)－F(a).

思考(1)函数f(x)的原函数F(x)是否唯一？

(2)用微积分基本定理计算简单定积分的步骤是什么？

(2)

例

解

所以3d x＝(3x)＝3×2－3×1＝3.

(2)因为(x2＋3x)′＝2x＋3，

所以(2x＋3)d x＝(x2＋3x)

＝22＋3×2－(02＋3×0)＝10.

(3)因为′＝4x－x2，

所以(4x－x2)d x＝

＝－＝.

(4)因为′＝(x－1)5，

所以(x－1)5d x

＝(

＝

①

②

(2)

①

②C

F′(x)＝f)＝

F(x)|，所以利用f(x)的原函数计算定积分时，一般只写一个最简单的原函数，不用再加任意常数C了.

跟踪训练1求下列函数的定积分：

(1)2d x；(2)(1＋)d x.

解(1)2d x

＝d x

＝x2d x＋2d x＋d x

＝x3+2x+

＝×(23－13)＋2×(2－1)－＝.

＝(

＝

＝

例

解

f(x

＝

＝＋＋

＝＋－＋－

＝＋.

反思与感悟(1)分段函数在区间[a，b]上的定积分可分成几个定积分的和的形式.(2)分段的标准是确定每一段上的函数表达式，即按照原函数分段的情况分就可以.

跟踪训练2求下列定积分：

(1)|x2－1|d x；(2)d x.

解

∴|

＝

＝

＝

＝

＝2－2.

题型三定积分的简单应用

例3已知f(a)＝(2ax2－a2x)d x，求f(a)的最大值.

解∵′＝2ax2－a2x，

∴(2ax2－a2x)d x＝

＝a－a2，

即f(a)＝a－a2＝－＋

＝－2＋，

∴当a＝时，f(a)有最大值.

反思与感悟定积分的应用体现了积分与函数的内在联系，可以通过积分构造

)d x＝－

解

又

而

＝

＝

∴

由①②③式得a＝6，b＝0，c＝－4.

1.d x等于()

A.2(－1)

B.＋1

C.－1

D.2－

答案 C

解析结合微积分基本定理，得

d x＝(cos x－sin x)d x＝(sin x＋cos x)＝－1.

2.下列定积分的值等于1的是()

A.x d x

B.(x＋1)d x

C.1d x

D.d x

3.d

4.

5.已知函数f(x)为偶函数，且f(x)d x＝8，则f(x)d x＝.

答案16

解析因为函数f(x)为偶函数，且f(x)d x＝8，所以f(x)d x＝2f(x)d x＝16.

1.求定积分的一些常用技巧

(1)对被积函数，要先化简，再求积分.

(2)若被积函数是分段函数，依据定积分“对区间的可加性”，分段积分再求和.

(3)对于含有绝对值符号的被积函数，要去掉绝对值符号才能积分.

2.由于定积分的值可取正值，也可取负值，还可以取0，而面积是正值，因此

x

1.

2.

A.

B.

C.F(x)＝x3＋1

D.F(x)＝x3＋c(c为常数)

答案 B

解析若F(x)＝x3，则F′(x)＝3x2，这与F′(x)＝x2不一致，故选B.

3.|x＋2|d x等于()

A.(x＋2)d x

B.(－x－2)d x

C.(x＋2)d x＋2(－x－2)d x

D.(－x－2)d x＋(x＋2)d x

答案 D

∴|

4.

A.

答案 D

解析sin2d x＝d x＝0＝，故选D.

6.若S1＝x2d x，S2＝d x，S3＝e x d x，则S1，S2，S3的大小关系为()

A.S1＜S2＜S3

B.S2＜S1＜S3

C.S2＜S3＜S1

D.S3＜S2＜S1

答案 B

解析S1＝x2d x＝x3S2＝＝ln2＜1，S3＝e x d x＝e x＝e2－e＝e(e－1)＞，所以S2＜S1＜S3，选B.

二、填空题

7.(

的半圆

即

∴(

8.

9.

答案

解析由f(x)d x＝f(x0)，得(ax2＋c)d x＝＝a＋c＝ax＋c，∴＝ax，∵a≠0，∴x ＝，又0≤x0≤1，∴x0＝.故填.

10.设f(x)＝若f[f(1)]＝1，则a＝.

答案 1