22 弯桥计算理论

微段弯梁的截面内力
M y
可以导得弯梁 的六个静力平衡 方程[2、3]为
+ Qn + m y = 0 s Qn N + + qn = 0 s r N Qn + qs = 0 s r M n T + Qy + mn = 0 s r T M n + ms = 0 r s Qy + qy = 0 s
消去剪力项 Qn Qy 和轴向力 N 后，可得
1 M y qn m y q s m y + 2 = 2 3 2 s s s r s r r 2 M x 1 T mn + = q y 2 r s s s T 1 M x = ms s r dv u εs = ds r （2）几何方程 2 d w θ κn = 2 铁 木 辛 柯 （ r ds S.Timoshenko ） 2 d u u 导出的几何方程 κy = 2 + 2 [4] 为 ds r dθ 1 dw κs = + ds r ds
22 弯桥计算理论
弯桥特征 平面弯梁的符拉索夫方程及其解法 纯扭转时简支曲梁分析 曲梁分析的能量原理 非径向支承弯梁计算 小结 本章参考文献
弯桥特征 1) 力学特点
（1）弯、扭耦合作用 取如下图所示的坐标系，据文献[1]推导，等曲率平面 弯梁的基本微分方程（符拉索夫方程）为 2my my 2 2 1 qr qs EI y u + 2 u ′′′ + 4 u ′ = s r s 2 r 2 r rr w θ EI w IV EI n + GI d EI n IV w w′′ + EI ωθ GI dθ ′′ + 2 = ms r r r mn EI ω IV GI d EI ω IV EI n + GI d θ θ ′′ = q y + EI n + 2 w 2 w′′ + r r r r s 上式的第一式与二、三式相对独立，它表示弯梁平面内变 形与垂直于水平面的变形相对独立，前者相当于拱承受竖 向荷载作用，后者则反应了弯梁在竖向荷载作用下的特点
经整理有平面曲梁的符拉索夫方程。 由于平面弯梁的平面内变形与垂直水平面的变形相对 独立，若仅考查所关心的后者，则略去 mn ，并不计截面 翘曲作用，以 ds = rd代入则有
d w EI n + GI d d 2θ EI n d w GI d 4 q y = 0 4 4 2 3 2 r d r d r d 2 2 EI n + GI d d w GI d d θ EI n 2 + 2 θ ms = 0 3 2 2 r d r d r
e
a）为单跨静定 曲梁中心布置
b）为单跨静定 曲梁偏心布置
c）为单跨超静定 曲梁中心布置
d）为单跨超静定 曲梁偏心布置
（2）多跨弯桥支座布置
a）两端点 均设抗扭支 座，中间跨 设铰支座
b）当跨数较多 ，两端点设抗 扭支座，中间 也设置一定数 量的抗扭支座 ，其余均为中 心铰支座
c）为减小扭 矩，两端设置 抗扭支座，中 间跨设置向外 侧有偏心的铰 支座
平面弯梁的符拉索夫方程及其解法 1） 符拉索夫方程的推导
在如后图所示的三维流动直角坐标系中，取一微段 ds = r d 其上作用的六种荷载及六种截面内力亦示于图a） 中，正号内力示于图b）中。 （1）静力平衡方程 利用六个空间平衡条件： Fi = 0, M i = 0(i = n, y, s )
∑
∑
v1
若 mn = 0 ms = m Heins等求得的闭合解为：
源自文库
EI n + GI d Iω EI n + GI d Iω ′ ′ = qy q ′y′ + mn mn′′ rEI n rI n rEI n rI n 2 GI d Iω + r I n 2 ms + m′′ s 2 r EI n r In
3 2
My
d 2 w θ M n = EI nκ n = EI n 2 ds r d 2u u M y = EI yκ y = EI y 2 + 2 ds （3）符拉索夫方程 r 弹性体材料本构关系 2 符合虎克定律，则有 T = EI d κ s + GI κ ω d s 2 ds d 3θ 1 d 3 w = EI ω 3 + 3 ds r ds dθ 1 dw + GI d + ds r ds dv u N = EAε s = EA ds r
1） 静定简支曲梁的内力 a p = r[1 cos( 0 pt )] 如图c)所示，有
b p = r sin( 0 pt )
简支超静定曲梁
简支超静定曲梁基本结构
a p = r[1 cos( 0 pt )] b p = r sin( 0 pt )
c)
仅考查在P作用下，
4 2
注意到坐标轴方向不用，则上式在文献[5]中已给出
2) 简支超静定弯梁的汉斯（Heins）一斯贝特思（Spates）解
利用数学手段将符拉索夫方程式的后两式中的位移 量 w(s ) 消去，可得
GI d 2 EI ω 1v 1 EI ω EI ωθ + 2 GI d θ + 2 2 2GI d θ ′′ 4 θ r r r r
T （3） B
= 1作用
M s = 0 Ts = 1 1 Qs = r
2） 超静定简支曲梁内力
根据B端的变形协调条件有
k
2） 荷载特点
除一般直桥的荷载特点处，主要表现在： （1）离心力是弯桥特有的与桥轴线垂直的水平荷载。 在曲率半径较小时（ r ≤ 250m），应计及其作用 （2）弯桥冲击力的研究还不够深入，目前多以与桥轴弧 线长相同的直桥计算，且对弯曲冲击和扭转的冲击不作区 分，略显粗糙。
3) 支承布置特点
支座布置如下图所示，
s s s + D rs cos + b sin + E r sin r r r
s s qr 2 2 + F b cos rs sin + G + Hs s r r 2GI 2GI d
2 EI n r b= EI ω + EI n r 2 + GI d r 2
常数A～H可由简支超静定弯梁两端的各四个边界条件[1]， 联立以上两式求得。另外： ①集中荷载作用时，不难补充集中载分界面上的内力及位 移连续条件进行求解。
a）为单跨静定曲梁中心布置， b）为单跨静定曲梁偏心布置； c）为单跨超静定曲梁中心布置， d）为单跨超静定曲梁偏心布置。
对于两端设抗扭支承的超静定曲梁，支承的偏心只能 改变支承处各个支座上的反力分布而绝不能改变梁的扭矩 分布。如果一侧支承斜向变化时，该支点截面随斜角的增 大而增加负弯矩。而斜角需到某一个负角内，该截面都有 正弯矩产生。此负角度将随弯扭刚度比值的增大而增大。 这里规定当曲梁半径顺时针转动与斜支承线重合时，所得 到的锐角为正角，反之则为负角，如图b）所示。另外， 对一般公路桥，支座偏心距 小于2m时，偏心距对预加 c 应力和活载所引起的扭矩影响不大。
弯梁及其坐标系
从第二、三式可以看出，必须联立求解才能得到竖向 变位 和扭角 θ ，这就是弯、扭耦合作用，即当外荷载 作用时，截面内产生弯矩（扭矩）的同时，必然地伴随着 产生耦合扭矩（弯矩），其变形亦如此，且无论是恒载还 是工作荷载作用 （2）受力不均匀现象 由于扭矩的存在，弯桥外边缘弯曲应力大于内边缘， 外边缘挠度大于内边缘，即使等截面主梁承受均匀荷载， 此现象依然存在，应引起设计重视。
sin( 0 pt ) = P 1 sin 0 sin( 0 pt ) =P sin 0
同理可分别 求得在m ， T 等
作用下的支反 力。并由静力 平衡条件可求 得任意截面的
内力
（1）集中荷载P 与集中扭矩T作用
(0 ≤ s ≤ pt ) ( P r + T ) S c sin s M s0 ( P + T ) = ( pt ≤ s ≤ 0 ) ( P r + T ) S c sin pt (0 ≤ s ≤ pt ) ( P r + T ) S c (1 cos s ) 0 Ts ( P + T ) = ( pt ≤ s ≤ 0 ) ( P r + T ) S c S s sin pt Pc Sc (0 ≤ s ≤ pt ) ( P r + T ) r s0 ( P + T ) = ( P r + T ) S c + P ( pt ≤ s ≤ 0 ) r
qy = q
s s s s s s θ = Ach + Bsh + C cos + Ds cos + E sin + Fs sin a a r r r r 2
r 1 3 1 q + mr + GI EI n EI n d
a = EI ω / GI d
相应的 w(s ) 为
a2 a2 s s s w = A ch + B sh + C r cos r r a a a
静定简支曲梁时有
∑M = 0 ∑M = 0 ∑Y = 0
AC OA
0 0 T AP Pa p + R BP r (1 cos 0 ) = 0 0 PbP + RBP r sin 0 = 0 0 0 R AP + RBP P = 0
整理得
R
0 AP
0 RBP
T
0 AP
0 = P r tg sin( 0 pt ) 1 + cos( 0 pt ) 2
w
（3）圆心角与弯扭刚度比 k 对内力的影响。 分析两边抗扭支承的单根曲梁，可得跨中截面的挠度 影响线为 3
r η = (C10 + kC11 ) EI
w cp
式中： k = EI / EI d 进一步对扭转有关的系数 C11 分析表明，当圆心角 0 ≤ 22.5° ~ 30°时， 11 极小，即可足够精确地用跨径 l = r 0 C 的直梁来计算的纵向弯矩。 F.莱昂哈特将此范围扩大 止 0 ≤ 50° 分析还发现， 值增加时，由曲率因素导致的扭转变形 显著增大，即采用抗弯刚度EI较小，抗扭刚度 EI d 较大的箱 形截面或低高度梁应为首选
Sc =
sin( 0 pt ) sin 0
cos( 0 s ) , Ss = sin 0
（2）均布荷载
0 s
q 与分布扭矩 m作用
s 0 M (q + m) = (qr + m)r sin s tg tg 2 2 0 s 0 2 Ts (q + m) = (qr + m)r sin s 1 + tg tg qr s 2 2 0 0 Qs (q + m) = (qr + m) tg + qr s 2
4
②对于连续弯梁，一种方法是将其从支点处切开，分解为 多个简支曲梁，利用中支点的连续条件及边界条件进行求 解；另一种方法是将中支点多余约束解除，代之赘余力， 先利用上述方法求解两桥台支承的简支曲梁，再利用变形 连续条件列出赘余力方法联合求解
纯扭转时简支曲梁分析
对于截面剪切中心轴线与截面形心轴线相重合的， 两端均设抗扭支承的一次超静定简支曲梁，在平截面及刚 性截面假定成立情况下，可按结构力学方法推导其内力及 变形的表达式。 如下图a）所示的简支超静定曲梁，取其基本结构如图 b）所示。
d）为增大全 桥抗侧倾稳 定性，两端 设置抗扭支 承，中间交 替布置偏心 铰支承
中间设置偏心铰支承的连续曲梁，不仅在造型上比较美 观，而且受力性能也比全抗扭支承或中间为中心铰支座具 有更大的优越性。中间铰支点在外侧方向预设一定的偏心 值，可以调整梁内的扭矩分布，有利于关心曲梁的扭矩 事实上，偏心点铰支承连续曲梁的内力，可以看成是由 中心支承时连续曲梁的内力和中心支承连续梁上作用的偏 心支承中扭矩的内力两部分组成。支承偏心只能调整曲梁 的扭矩，但绝对不能消除扭矩。