函数的傅里叶级数展开

cn 为复振幅， cn 与 cn 这就是傅里叶级数的复数形式， 是一对共轭复数
1 int c e n 2 n
六、收敛判别法的证明
1、狄利克雷积分 为了研究傅里叶级数的收敛性问题，我们必须把傅 里叶级数的部分和表示为一个特定形式的反常积 分 ——狄利克雷积分。
设 f x 在 , 上可积和绝对可积，它的傅里叶级数 为 a0 f x ~ ak cos kx bk sin kx
利普希茨判别法（地理判别法的一个推论）
如果函数 f x 在 x 点连续，并且对于充分小的正数
在 x 点的利普希茨条件 f x u f x Lu 0 u h 成 立，其中 L, 皆是正数，且 1 ，那么 f x 的傅里 叶级数在 x 点收敛于 f x ，更一般地，如果对于充 分小的 u 成立
上面 S n f x 的几种积分表达式都称为狄利克雷积分。
2、黎曼引理
黎曼引理 设函数 u 在区间 a, b 上可积和绝对可积， 那么以下的极限式成立
p a
lim
u sin pudu 0, lim u cos pudu 0
p a
四、收敛判别法
傅里叶级数的收敛判别法。设函数 f x 在 , 上可 积和绝对可积
a0 f x ~ ak cos kx bk sin kx 2 k 1
若 f x 在 x 点的左右极限 f x 0 和 f x 0 都存在，并 且两个广义单侧导数 f x x f x 0 f x x f x 0
§1. 函数的傅里叶级数展开
一.傅里叶级数的引进
在物理学中,我们已经知道最简单的波是谐波(正弦波), 它是形如 Asin t 的波,其中 A 是振幅, 是角频率, 是初相位.其他的波如矩形波,锯形波等往往都可以用一 f t 是一个周期为T 系列谐波的叠加表示出来 . 这就是说 , 设 的波,在一定条件下可以把它写成
以把积分区间换为 x , x ，因此
2n 1 sin t x 1 x 2 S n f x f t dt x tx 2 sin 2 作代换 t x u ，得
2n 1 sin u 1 2 S n f x f x u du u 2 sin 2 2n 1 sin u 1 0 2 [ ] f x u du u 0 2 sin 2 2n 1 sin u 1 2 f x u f x u du 0 u 2 sin 2
当 0 时把右边理解为 0 时的极限值，值一等式 也就成立。把它应用到 S n f x 的表达式中，得到
2n 1 sin t x 1 2 S n f x f t dt tx 2 sin 2 经过验证知道，被积函数是t 的周期为 2 的函数，可
a0 1




2 f x dx
又设 n是任一正整数，对 f x 的展开式两边乘以 cos nx 沿 , 积分，由假定，右边可以逐项积分，由 1, 2
和 3 ，得到
f x cos nxdx a cos nxdx a cos kx cos nxdx b sin kx cos nxdx 2
所确定的傅里叶级
二. 三角函数的正交性
设 c 是任意实数, c, c 2 是长度为 2 的区间,由于三 角函数 cos kx, sin kx 是周期为 2 的函数,经过简单计算, c 2 2 有 cos kxdx cos kxdx 0,

cຫໍສະໝຸດ Baidu
c2
c
k 1 , 2 , sin kxdx sin kxdx 0,
由三角公式
2n 1 2 sin cos cos 2 cos n sin 22 2 当 sin 0 ，有公式 2 2n 1 sin 1 2 cos cos 2 cos n 2 2 sin 2
1
例1 在 , 上展开函数 f x x为傅里叶级数。 例2 在 , 上展开函数
c1 , x 0 f x c 2 ,0 x
为傅里叶级数。
例3 在 0,2 上展开 f x x 为傅里叶级数。
例4 将 f x x 在 0, 上展开为余弦级数。
x 0
lim
x
, lim
x 0
x
都存在，则 f x 的傅里叶级数在 x 点收敛。当 x 是 f x
的连续点时它收敛与 f x ，当 x 是 f x 的间断点（一 定是第一类间断点）时收敛于
1 f x 0 f x 0 2
a0 ak cos kx bk sin kx 2 k 1
我们称这级数是 f x 关于三角函数系 1, cos x, sin x, 的傅里叶级数，而 ak , bk 称为 f x 的傅里叶系数，记为
a0 f x ~ ak cos kx bk sin kx 2 k 1
其中每一个函数在长为 2 的区间上定义，其中任何 两个不同的函数乘积沿区间上的积分等零 见1, 2 ， 而每个函数自身平方的积分非零见3 。我们称这个 函数系在长为 2 的区间上具有正交性。
三、傅里叶系数
设函数 f x 已展开为全区间设的一致收敛的三角级 a0 f x ak cos kx bk sin kx 现在利用三角函数 数 2 k 1 系数的正交性来研究系数 a0 , ak , bk k 1,2, 与 f x 的 关系。将上述展开式沿区间 , 积分，右边级数可 以逐项积分，由 1 得到 a0 f x dx 2 a0 即

1

f x sin kxdx k 0,1,2,

1

自然，这些系数也可以 沿别的长度为 2 的区间来积 分。 以上是在 f x 已展开为一致收敛的三角级数的假定 下得到系数的表达式的。然而从欧拉-傅里叶公式的形 式上看，只要周期为 2 的函数 f x 在区间 , 上 可积和绝对可积（如果 f x 式有界函数，则假定它是 可积的。这时它一定式绝对可积的；如果 f x 是无界 函数，就假定他是绝对可积，因而也是可积的，这样， 不论在哪一种情形，都是可积和绝对可积了），就可 ak，从而作 , bk 以按欧拉-傅里叶公式来确定所有的数 出三角级数

u
f x u f x 0 Lu
L, 同前，那么 f x 的傅里叶级数在 x 点收敛于
f x 0 f x 0 2
一个重要推论
' f x f x 如果 在 点有有限导数 x ，或是有两个单
侧的有限导数
f x u f x f x lim u 0 u f x u f x ' f x lim u 0 u
f t A0 An sin nt n
2 其中 An sin nt n an cos nt bn sin nt是 n 阶谐波, T

A0 an cos nt bn sin nt
n1
n 1
我们称上式右端的级数是由 f t 数
2
还有

c 2
c
cos kxdx cos kxdx
2 2
2
2

0 c 2 c
0
1 cos 2kx dx 2
sin 2 kxdx 12 dx 2

c 2
c
我们考察三角函数系
3 k 1,2,
1, cos x, sin x, cos 2 x, sin 2 x,, cos nx, sin nx,
例5 将以下函数展开为正弦级数
1 x sin , 0 x l 2 f x 1 0, x l 2
五、傅里叶级数的复数形式
傅里叶级数的 n 阶谐波 an cos nt bn sin nt n 1,2, 可 以用复数形式表示。由欧拉公式
1 i cos e e i 2 1 i i i i sin e e e ei 2i 2
0 2 0
c 2
1
利用积化和差的三角公式容易证明
c c 2 sin kx sin lxdx 0 k l ; l 1 , 2 , c c 2 c cos kx cos lxdx 0 sin kx cos lxdx 0
0 k 1 k k

an cos2 nxdx an


即
an
f x cos nxdx

1

同样可得
bn
f x sin nxdx

1

因此得到欧拉-傅里叶公式
ak bk f x cos kxdx k 0,1,2,
得
a0 an cos nt bn sin nt 2 n1
a0 an ibn int an ibn int e e 2 n1 2 2
如果记 a0 c0 , an ibn cn , an ibn cn n 1,2, 那么上面 的傅里叶级数就化成一个简洁的形式
b
b
局部性定理 函数 f x 的傅里叶级数在 x 点的收敛和发 散情况，只和 f x 在这一点的充分领近区域的值有关。
3、迪尼判别法及其推论 迪尼定理（迪尼判别法） 设能取到适当 s ，使由函 数 f x 以及 x 点所作出的 u f x u f x u 2s u 满足条件：对某正数 h ，使在 0, h 上， u 为可积 和绝对可积，那么 f x 的傅里叶级数在 x 点收于 s 。
2
k 1
其中
ak bk
f t cos ktdt k 0,1,2,

1

f t sin ktdt k 0,1,2,

1

傅里叶级数的部分和
a0 S n f x ~ ak cos kx bk sin kx 2 k 1 1 1 n f t cos kt cos kx sin kt sin kx dt 2 k 1 1 1 n f t cos k t x dt 2 k 1