绕轴旋转体的体积

a 0
?
4? ab 2
3
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方法2 利用椭圆参数方程
?x ? a cos t
? ?
y
?
b
sin
t
? ? 则
V ? 2 a? y2 dx ? 2?
?
2 ab 2 sin3t d t
0
0
? 2? ab 2 ?2 ?1
3
? 4? ab 2
3
特别当b = a 时, 就得半径为 a 的球体的体积 4? a 3 .
? ? 6? a3
?
2 (sin7 t ? sin9 t)dt ?
32 ? a 3
0
105
3
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例2. 求由曲线 y ? , 直x 线 及 x轴?所1 围x成的平面图形 绕 轴旋转x一周所生成的旋转体的体积 .
解：选为积分变量，由旋转体的体积公 式，得到
? Vx ?
1? (
0
x)2 dx
?1
? ? xdx
?
?
0
x2
1
2
0
?
? 2
例3 求由曲线 x2 ? 4 y，直线 y ? 1及 y 轴所围成的图形
x2 ? y2 ? R2
垂直于x 轴 的截面是直角三角形 , 其面积为
A(x) ? 1 (R2 ? x2) tan? (? R ? x ? R)
2
利用对称性
? V ? 2 R 1 (R2 ? x2 ) tan ? d x
02
? 2 tan? ?R2x ? 1 x3 ?R
30
y ??
ox
R x
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上连续, 则对应于小区间
dV ? A(x) d x
因此所求立体体积为
V
?
?b
a
A( x) d
x
的体积元素为
y
y ? f (x)
oa
bx
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例4 一平面经过半径为 R的圆柱体的底圆中心， 并
与底面交成 ? 角, 计算该平面截圆柱体所得立体的体积 .
解: 如图所示取坐标系 , 则圆的方程为
利用对称性
?
2?
? a 3 ? 0
(1 ?
cos t)3 d t
? 16?
? a 3 ? 0
sin 6
t 2
dt
(令 u
?
t) 2
? ? 32? a 3
? 2
sin 6
u
du?
32?
a3
Байду номын сангаас?5
?3
?1
??
0
6422
? 5? 2a 3
1应用平行截面函数求旋转体体积 设所给立体垂直于 x 轴的截面面积为 A(x),
思考: 可否选择 y 作积分变量 ? 此时截面面积函数是什么 ?
如何用定积分表示体积 ? 提示:
A( y) ? 2x?y tan? ? 2 tan? ?y R2 ? y2
V ? 2 tan? ??0Ry R2 ? y2 dy
y ?
o
R (x, y) x
练习题
1.求y? sinx, y? 0,0? x? ? 绕 x轴和 y轴旋转一周的旋转体
分别绕 x 轴，y 轴旋转一周所生成的旋转体的体积
y
y
x x
解：绕 x 轴旋转体的体积
? ? Vx ? ? ?12 ?2 ?
2 ? ( x 2 )2 dx 04
? 2? ? ?
16
2 x4dy
0
? 2? ? ? ?x5 2 ? 8?
16 5
5
y
0
绕 y 轴旋转体的体积
? ? Vy ?
1
?(
0
4 y )2 dy? ?
1
4 ydy
0
?
4?
? y2
1
?
2?
2 0
例3 计算摆线
的一拱与 y＝0
所围成的图形分别绕 x 轴 旋转而成的立体体积 .
解: 绕 x 轴旋转而成的体积为
y
? Vx ?
2? a ? y2 dx
0
y
o
? a 2? a x
? ? ? 2? a 2 (1? cost)2 ?a(1? cost) d t 0
的体积.
解：由公式有
? ? Vx ? ?
? sin2 xdx ? ?
0
2
? (1 ? cos2x)dx ? ? 2
0
2
例20. 求由星形线 x ? a cos3 t , y ? a sin3 t 0 ? t ? ?
绕 x 轴旋转 一周所得的旋转体的体积 . 解: 利用公式有
? V ? ? ? a 2 sin7 t ?3a cos2 tdt 0
o
取以dx为底的窄边梯形绕 x轴
x
x x ? dx
旋转而成的薄片的体积为 体积微元，
dV ? ? [ f (x)]2 dx
? ? V ?
b
?[
f ( x)]2 dx
?
b ? y 2 dx
a
a
类似的当考虑连续曲线段 绕y 轴旋转一周所形成的立体体积为
? V ?
d
?
[
?
(
y)]2
dy
c
y
d y x ? ? ( y) c
ox
例1 由曲线
所围图形绕 x 轴旋转而
转而成的椭球体的体积 .
y
解: 方法1 利用直角坐标方程
b
y ? b a 2 ? x2 (? a ? x ? a) a
o x ax
则
V?
?a
2
0
?
y2 dx
(利用对称性)
? ?
2?
b2 a2
a
(a
2
?
x2 )
dx
0
?
2?
b2 a2
???a 2x
?
1 3
x3
? ??
第八章
第五节 定积分的应用
求旋转体的体积
一 旋转体的体积
圆柱
圆锥
圆台
如果旋转体是由连续曲线 y ? f ( x)、直线
x ? a 、 x ? b及 x轴所围成的曲边梯形绕 x轴旋
转一周而成的立体，体积为多少？
在[ a, b]上任取小区间[ x, x ? dx]
y ? f (x)
? 取积分变量为 x x? [ a, b]