平行线间的折线问题资料讲解
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平行线间的折线问题
平行线间的折线问题
相交线和平行线,是期中期末考试的常客,填空、选择都少不了它,常考的内容主要是性质和判定的综合应用以及平行线的构造,难度虽不算大但陷阱颇多。特别是我们经常遇到稍难一些的平行线加折线问题,为方便同学们学习,我做了以下总结。
平行线间的折线问题主要分下面两种情况:(1)平行线间夹折线凹进去的模型如图(1),(2)平行线间夹折线凸出来的模型如图(2),
很多同学遇到这种模型就晕了,无从下手。只要是平行线间夹折线的模型,一般在折点处做平行线,进而把线的关系转换成角的关系。如图:
通过折点作辅助线将线的关系转换成角的关系后,此类复杂模型就变得简单多了。同学们还要记住这类模型的特点:平行线间夹折线凹进去的模型(1),中间角等于两个边角的和,即∠BOD=∠B+∠D 。 平行线间夹折线凸出来的模型(2),中间角加两个边角等于360度,即∠BOD+∠B+∠D=360° 记住这些结论,做填空、选择很是方便。
课本及综训习题归类:课本37页挑战自我,综训33页第二课时第4题,35页13、17题,36页19题,38页9题,40页27题,卷子上的10题,18题,26题。
拓展:
1.图1将矩形纸片任意剪两刀,得到∠2与∠1,∠3的关系?
图2将矩形纸片任意剪四刀,得到∠1,∠2与∠3,∠4,∠5有何关系?
图3将矩形纸片任意剪六刀,得到∠1,∠2∠3,∠4,∠5、∠6、∠7有何关系?
将矩形纸片任意剪N 刀,你会发现什么规律?
解析:过点E 作EF ∥AB
3 4 5 6 7 2 1 A B D C 1 2 3
E A G C E
F 1 2 3 4
5 B D 图图图
则有EF∥AB∥CD
∵AB∥EF∴∠1=∠AEF
同理∠3=∠CEF
∴∠1+∠3=∠AEF+∠CEF=∠2 即∠2=∠1+∠3
同样的作法,过点E、F、G分别作AB的平行线,用上述的方法,同理可得∠1+∠3+∠5=∠2+∠4,请同学们自己完成.又如图3可得∠1+∠3+∠5+∠7=∠2+∠4+∠6
规律:两平行线间的折线所成的角之间的关系是————奇数角之和等于偶数角之和。
2.如图,已知直线l1∥l2,l3、l4和l1、l2分别交于点A、
B、C、D,点P在直线l3或l4上且不与点A、B、C、D重合.记∠AEP=∠1,∠PFB=∠2,∠EPF=∠3.
(1)若点P在图(1)位置时,求证:∠3=∠1+∠2;
(2)若点P在图(2)位置时,请直接写出∠1、∠2、∠3之间的关系;(3)若点P在图(3)位置时,写出∠1、∠2、∠3之间的关系并给予证明;(4)若点P在C、D两点外侧运动时,请直接写出∠1、∠2、∠3之间的关系.
此题四个小题的解题思路是一致的,过P作直线l1、l2的平行线,利用平行线的性质得到和∠1、∠2相等的角,然后结合这些等角和∠3的位置关系,来得出∠1、∠2、∠3的数量关系.
解:(1)证明:过P作PQ∥l1,则有PQ∥l1∥l2,
由两直线平行,内错角相等,可得:∠1=∠QPE、∠2=∠
QPF;
∵∠3=∠QPE+∠QPF,
∴∠3=∠1+∠2.
(2)∠3=∠2-∠1;
证明:过P作PQ∥l1,则有PQ∥l1∥l2,
则:∠1=∠QPE、∠2=∠QPF;
∵∠3=∠QPF-∠QPE,
∴∠3=∠2-∠1.
(3)∠3=360°-∠1-∠2.
证明:过P作PQ∥l1,则有PQ∥l1∥l2,
同(1)可证得:∠3=∠CEP+∠DFP;
∵∠CEP+∠1=180°,∠DFP+∠2=180°,
∴∠CEP+∠DFP+∠1+∠2=360°,
即∠3=360°-∠1-∠2.
(4)过P作PQ∥l1,则有PQ∥l1∥l2,
①当P在C点上方时,
同(2)可证:∠3=∠DFP-∠CEP;
∵∠CEP+∠1=180°,∠DFP+∠2=180°,
∴∠DFP-∠CEP+∠2-∠1=0,
即∠3=∠1-∠2.
②当P在D点下方时,
∠3=∠2-∠1,解法同上.
综上可知:当P在C点上方时,∠3=∠1-∠2,当P在D点下方时,∠3=∠2-∠1.