《高等数学B》第十章 微分方程与差分方程 第8节 二阶常系数线性差分方程

f ( x) Pn( x) ( Pn( x)表示 n 次多项式)及
f ( x) x Pn( x) ( 为常数 , 0 且 1 )两种类型.
下面我们介绍用待定系数法求 f ( x ) 为上述两种情形 时 y*x 的求法.
1. f ( x) Pn( x) (Pn( x) 为 n 次多项式 )
此时 , 方程 (1) 为 yx2 a yx1 b yx Pn( x) (b 0)
可改写为 2 yx (2 a) yx (1 a b)yx Pn( x)
设 y*x是它的解 , 代人上式 , 即得 2 y*x (2 a) y*x (1 a b)y*x Pn( x)
第三步 根据特征方程 (4) 的两个根的不同情形，写
出差分方程 (2) 的通解. (可见教材 P441的表)
例1 求差分方程 yx2 yx1 6 yx 0的通解 .
解 特征方程
2 6 0 有两个不相等的实根 1 3, 2 2 , 从而原方程的通
解为 yx C13x C2( 2)x .(C1 , C2 为任意常数 )
4x (cos
3
x

sin
3
x)
.
二、二阶常系数非齐次线性差分方程的求解
对于二阶常系数非齐次线性差分方程
yx2 a yx1 b yx f ( x) (a , b为常数 , 且 b 0) (1) 根据通解的结构定理 , 求差分方程(1)的通解 , 归结为 求对应的齐次方程
令 yx x, 代人方程 (2) , 得
x (2 a b) 0
又因 x 0, 即得
2 a b 0
(4)
称它为齐次方程的特征方程 , 特征方程的根简称为特
征根 , 由此可见 , yx x为齐次方程(2)的特解的充要 条件为 是特征方程(4)的根 .
9zx2 3zx1 6zx 2 x 1,
下面先求这个方程的一个特解 z*x . 由于该方程所对应的齐次方程的特征方程为
92 3 6 0
例2 求差分方程2 yx yx 3 yx1 4 yx 0的通解 .
解 原方程可改写成如下形式
yx2 4 yx1 4 yx 0 其特征方程为
2 4 4 0 它有两个相等的实根 1 2 2 , 所以原方程的通解
为 yx (C1 C2 x) 2x . (C1 , C2 为任意常数 )
第八节 二阶常系数线性差分方程
二阶常系数线性差分方程的一般形式为
yx2 a yx1 b yx f ( x)
(1)
其中 a , b 为常数 , 且 b 0 , f ( x ) 为 x 的已知函数 .
当 f ( x ) 0 时 , 称方程 yx2 a yx1 b yx 0

buxx

0
由于x 0 , 故
ux22 aux1 bux 0
将之改写为
(ux 2ux 2ux ) 2 a(ux ux ) bux 0
即 22ux (2 a)ux (2 a b)ux 0 由于 是特征方程 (4) 的二重根 , 因此 2 a b 0且 2 a 0, 于是得出
解 (1) 先求对应的齐次方程
yx2 yx1 6 yx 0
的通解Yx . 其特征方程为2 6 0, 特征方程的根 为1 2, 2 3. 故
Yx C1 3x C2 (2)x ;
(2) 再求原方程的一个特解 y*x , 由于f ( x) 3x (2x 1), 故令 yx 3x zx , 代人原方程得
2. 若特征方程 (4) 有两个相等的实根 1 2 ,
此时得齐次差分方程 (2) 的一个特解
y(x1) x .
为求出另一个与 y(x1)线性无关的特解 , 不妨令
y(x2) ux x ,
( ux不为常数) , 将它代人齐次差分方程 (2) 得
ux
x2
2

aux1x1

Yx

y*x

C1 ( 1) x

C2 (4) x

1 10
x

7 100
.
(C1 , C2 为任意常数)
例6 求差分方程 yx2 2 yx1 yx 8的一个特解 . 解 所给差分方程对应的齐次方程的特征方程为
2 2 1 0
由于 1 是特征方程的二重根 , 于是令特解为
例4 求差分方程 yx2 5 yx1 4 yx x的通解 . 解 (1) 先求对应的齐次方程
yx2 5 yx1 4 yx 0 的通解 yx .
特征方程为
2 5 4 0 ,
特征方程的根为 1 1, 2 4 , 于是
Yx C1(1)x C2(4)x . (2) 再求原方程的一个特解 y*x .
y*x x2Qn( x) x2(b0 xn b1 xn1 bn1 x bn ) 把它代人方程 , 比较两边同次幂的系数 , 便可确定
bi (i 0, 1, 2, , n) 从而可求得 y*x .
综上所述 , 可得如下结论 :
如果 f ( x) Pn( x) , 则二阶常系数非齐次线性差分方 程 (1) 具有形如
为二阶常系数齐次线性差分方程 .
若 f ( x ) 0 , 则称方程 (1) 为二阶常系数非齐次线性 差分方程 .
下面介绍它们的求解方法 .
一、二阶常wk.baidu.com数齐次线性差分方程的求解
对于二阶常系数齐次线性差分方程
yx2 a yx1 b yx 0 (b 0)
(2)
根据通解的结构定理，为了求出其通解，只需求出
和二阶常系数齐次线性微分方程一样 , 根据特征根
的三种不同情况 , 可分别确定出齐次方程(2)的通解 .
1.
若特征方程(4)有两个不相等的实根

与
1

2
,
此
时

x 1
与

x 2
;
是齐次方程(2)的两个特解
,
且线性无关
.
于是齐次差分方程(2)的通解为
yx

C1
x 1

C2
x 2
(C1 , C2 为任意常数 )
由于Pn( x)是一个已知的多项式 , 因此 y*x应该也是一个 多项式 . 由于齐次方程 (2) 的特征方程为
2 a b 0
因此 (1) 若 1 不是特征方程的根 , 即 1 + a + b 0 , 那么说
明 y*x 应是一个 n 次多项式 , 于是令 y*x Qn( x) b0 xn b1 xn1 bn1 x bn (b0 0)
这时 , 可以验证差分方程 (2) 有两个线性无关的解 :
y(x1) r x cos x , y(x2) r x sin x 其中 r 2 2 , tan (0 , 0) , 从而差

分方程(2)的通解为
yx r x (C1 cos x C2 sin x)
它的两个线性无关的特解，然后作它们的线性组合，
即得通解 .
显然 , 原方程 (2) 可以改写成
2 yx (2 a) yx (1 a b)yx 0 (b 0) (3)
由此我们可以看出 , 可用指数函数 y x来尝试求 , 看是否可以找到适当的常数 , 使 y x满足方程 (2) .
由于 1 不是特征方程的根 , 于是令 y*x b0 x b1 ,
代人原方程得
b0( x 2) b1 5[b0( x 1) b1] 4(b0 x b1 ) x
解得
b0

1 10
,
b1


7 100
.
于是
y*x

1 10
x

7 100
.
(3) 原方程的通解为
yx
yx2 a yx1 b yx 0 的通解和非齐次方程(1)本身的一个特解 . 由于二阶常 系数齐次线性差分方程通解的求法前面已得到解决 , 所以这里只需讨论求二阶常系数非齐次线性差分方程 的一个特解 y*x的方法 .
在实际经济应用中 , 方程 (1) 的右端 f ( x ) 的常见类型 是
x2zx2 a x1zx1 b x zx x Pn( x)
即
2zx2 a zx1 bzx Pn( x)
这是右端为一个 n 次多项式的情况 .
按前面所讨论的方法 , 即可求出 z*x 从而
y*x x z*x .
例6 求差分方程
的通解 .
yx2 yx1 6yx 3x (2x 1)
代人原方程得
y*x a x2 ,
a( x 2)2 2a( x 1)2 ax2 8 ,
解出 a = 4 . 于是
y*x 4x2 .
2. f ( x) x Pn( x) ( 为常数且 0 , 1 )
此时 , 方程 (1) 成为
yx2 a yx1 b yx x Pn( x) (b 0) 引入变换 , 令 yx xzx , 则原方程化为
2ux 0 显然 ux x 是可选取的函数中的最简单的一个 , 于是 可得差分方程 (2) 的另一个解为
y(x2) x x
从而差分方程 (2) 的通解为
yx (C1 C2 x)x (C1 , C2 为任意常数 )
3. 若特征方程 (4) 有一对共轭复根
1 i , 2 i
(C1 , C2 为任意常数 )
从上面的讨论看出，求解二阶常系数齐次线性差分
方程的步骤和求解二阶常系数齐次线性微分方程的步
骤完全类似，我们将它总结如下:
第一步 写出差分方程 (2) 的特征方程
2 a b 0 (b 0)
(4)
第二步 求特征方程 (4) 的二个根 1 ,2 .
y*x xQn( x) x(b0 xn b1xn1 bn1 x bn )
将之代人方程 , 比较两边同次幂的系数 , 便可确定出
bi (i 0, 1, 2, , n) 从而求得 y*x .
(3) 如果 1 是特征方程的二重根 , 即有 1 + a + b = 0 , 且 2 + a = 0 , 那么 y*x 应是一个 n 次多项式 , 即说明 y*x 应是一个 n + 2 次多项式 , 于是令
y*x xkQn( x) 的特解 , 其中Qn( x)是与Pn( x)同次( n 次)的待定多项式 , 而 k 的取值如下确定 :
(1) 若 1 不是特征方程的根 , 是 k = 0 ; (2) 若 1 是特征方程的单根 , 是 k = 1 ; (3) 若 1 是特征方程的二重根 , 是 k = 2 .
r 2 2 4 , tan 3 .

3
故原方程的通解为
yx

4
x
(C1
cos

3
x


C2 sin 3
x) .
( C1
, C2 为任意常数)
由初始条件 y0 1, y1 2 2 3得 C1 1 , C2 1 .
故所求特解为
yx

例3 求差分方程 yx2 4 yx1 16 yx 0的满足初始条
件 y0 1, y1 2 2 3 的特解 .
解 先求所给二阶常系数齐次线性差分方程的通解，
特征方程为
2 4 16 0
特征方程的根为1,2 2 2 3i , 2, 2 3 , 于是
把它代入方程 , 比较两边同次幂的系数 , 便可求出
bi (i 0, 1, 2, , n) 从而求得 y*x .
(2) 若 1 是特征方程的单根 , 即 1 + a + b 0 , 且 2 + a 0 , 那么 y*x是一个 n 次多项式 , 即说明 y*x 应是一个 n + 1 次多项式 , 于是令