2020届高三 第一次在线大联考理科数学(新课标Ⅱ卷)及答案

2020届高三第一次在线大联考数学 （新课标Ⅱ卷）

理科 2020年3月

（满分：150分 考试时间：120分钟）

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符

合题目要求的）

1．若2

1i i

z =-+，则z 的虚部是

A ．3

B ．3-

C ．3i

D ．3i -

2．已知集合2{|1}A x x =<,2{|log 1}B x x =<，则 A ．{|02}A B x x =<

D ．{|12}A B x x =-<

3．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，262,21a S ==，则5a = A ．3

B ．4

C ．5

D ．6

4．刘徽是我国魏晋时期伟大的数学家，他在《九章算术》中对勾股定理的证明如图所示.“勾自乘为朱方，股自乘为青方，令出入相补，各从其类，因就其余不移动也．合成弦方之幂，开方除之，即弦也”.已知图中网格纸上小正方形的边长为1，其中“正方形ABCD 为朱方，正方形BEFG 为青方”，则在五边形AGFID 内随机取一个点，此点取自朱方的概率为

A ．

16

37

B ．

949

C ．

937

D ．

311

5．根据国家统计局发布的数据，2019年11月全国CPI （居民消费价格指数）同比上涨4.5%，CPI 上涨的主要因素是猪肉价格的上涨，猪肉加上其他畜肉影响CPI 上涨3.27个百分点.下图是2019年11月CPI 一篮子商品所占权重，根据该图，下列结论错误的是

A．CPI一篮子商品中所占权重最大的是居住

B．CPI一篮子商品中吃穿住所占权重超过50%

C．猪肉在CPI一篮子商品中所占权重为2.5%

D．猪肉与其他畜肉在CPI一篮子商品中所占权重约为0.18%

6．函数

cos

()

cos

x x

f x

x x

+

=

-

在[2,2]

-ππ的图象大致为

A B

C D

7．2019年10月1日，中华人民共和国成立70周年，举国同庆.将2,0,1,9,10这5个数字按照任意次序排成一行，拼成一个6位数，则产生的不同的6位数的个数为

A．96 B．84 C．120 D．360

80

y m

-+=过双曲线C：

22

22

1(0,0)

x y

a b

a b

-=>>的左焦点F，且与双曲线C在第二象限交于

点A ，若||||FA FO =（O 为坐标原点），则双曲线C 的离心率为

A ．2

B 1

C

D 1-

9．如图，已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，点P 在线段1CB 上，且12B P PC =，平面α经过点1,,A P C ，则正方体1111ABCD A B C D -被平面α截得的截面面积为

A ．

B ．

C ．5

D 10．已知1F ，2F 是椭圆22

221(0)x y C a b a b

+=>>：的左、右焦点，过2F 的直线交椭圆于,P Q 两点.若

2211||,||,||,||QF PF PF QF 依次构成等差数列，且1||PQ PF =，则椭圆C 的离心率为

A ．

2

3

B ．

3

4

C D 11．为了研究国民收入在国民之间的分配，避免贫富过分悬殊，美国统计学家劳伦茨提出了著名的劳伦茨

曲线，如图所示.劳伦茨曲线为直线OL 时，表示收入完全平等.劳伦茨曲线为折线OKL 时，表示收入完全不平等.记区域A 为不平等区域，a 表示其面积，S 为OKL △的面积，将Gini a

S

=

称为基尼系数.

对于下列说法：

①Gini 越小，则国民分配越公平；

②设劳伦茨曲线对应的函数为()y f x =，则对(0,1)x ∀∈，均有

()

1f x x

>；

③若某国家某年的劳伦茨曲线近似为2([0,1])y x x =∈，则1Gini 4=； ④若某国家某年的劳伦茨曲线近似为3([0,1])y x x =∈，则1Gini 2

=. 其中正确的是： A ．①④

B ．②③

C ．①③④

D ．①②④

12．定义：{}()()N f x g x ⊗表示不等式()()f x g x <的解集中的整数解之和.若2()|log |f x x =，

2()(1)2g x a x =-+，{}()()6N f x g x ⊗=，则实数a 的取值范围是 A ．(,1]-∞-

B ．2(log 32,0)-

C ．2(2log 6,0]-

D ．2log 32

(

,0]4

- 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13．已知单位向量,a b 的夹角为

2π

3

,则|2|-a b =_________. 14．若π1sin(),(0,π)63αα+=-∈，则π

cos()12

α-=_________.

15．已知数列{}n a 中，n S 为其前n 项和，11a =，12n n n a a +=，则6a =_________，200S =_________. 16．一个长、宽、高分别为1、2、2的长方体可以在一个圆柱形容器内任意转动，则容器体积的最小值为

_________.

三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分12分）

已知ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且满足22cos a b

B c

-=. （1）求角C 的大小；

（2）若ABC △，求ABC △的周长的最小值. 18．（本小题满分12分）

如图，在四棱锥P ABCD -中，PAB △是等边三角形，BC ⊥AB ，BC CD ==2AB AD ==. （1）若3PB BE =，求证：AE ∥平面PCD ； （2）若4PC =，求二面角A PC B --的正弦值．