《质量改进与质量管理》课件 (5)
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x12
… x1j … x1n
x22
… x2j … x2n
… xi2 … xm2
… … … xij … xmj … …
∑
… xin … xmn
∑X
∑x1j
∑x2j
…
∑xij
…
∑xmj
x
i 1 j 1
m n
m
n
ij
(∑X)2
(∑x1j
)2
(∑x2j
)2
…
(∑xij)2
…
(∑xmj)2
Se Se Se / f e fe
SA S A / Se ~ F f A , fe Se
Page 29
f A 5 1 4
f e 15 5 10
f T 15 1 14
S A 303 .6 均方： S 75.9 A fA 4 S e 50 S A 75 .9 Se 5 F 15 .18 f e 10 Se 5
Page 3
2、因素。影响试验指标（结果）的原因称为因素，如反应温度、时间、催 化剂种类等。有些因素可以在试验的过程中人为的加以调节与控制，称之为可 控因素。如反应温度、反应时间、催化剂的种类等。另一类因素是由于自然、 技术与设备等条件的限制，暂时还不能人为调控，这类因素被称为不可控因素 (随机因素)，例如地面的轻微震动等。下面我们主要研究可控因素。
Page 30
方差分析表
方差来源 平方和 自由度 均方 F 临界F值
温度
303.6
4
75.9
15.18**
F0.01=6.0
误差
50.0
10
5Biblioteka Baidu
总和
353.6
14
Page 31
由统计学知
SA Se
~F分布，判断条件对试验结果
SA Se
影响的显著性，即将
与一定显著性水平的
相应F临界值比较，常用的判断标准如下；
Page 22
2
S A n xi x
i 1 m 2
m
2
n m n 1 1 xij xij n i 1 j 1 mn i 1 j 1 QP
2
Page 23
S e xij xi
Page 4
3、水平——因素在试验中所处的各种状态 称为因素的水平，如不同的试验温度550C、 600C、800C等 。根据试验的需要，因素的 水平可以设为二水平、三水平等等。
Page 5
二、方差分析
1、单因素试验 2、双因素试验
Page 6
（1）单因素试验数据表
水平 组号
1 2 … n ∑ x11 x12 … x1n X1。 `X1。 x21 x22 … x2n X2。 `X2。 … … … … … … xm1 xm2 … xmn Xm。 `Xm。 x.. `x.. A1 A2 … Am ∑
Page 8
(2)总变差ST
我们定义N=mn个数据xij的总变差ST为：
ST xij x
m n i 1 j 1
x
2 m n i 1 j 1
2 ij
x2 mn
总变差ST反应了试验数据相对于数据均值离散
程度（即波动）的大小。
Page 9
(3) 因素A引起的条件变差SA
S xi2
i 1 n
的自由度取决于
xi之间的m个线性约束关系 。 如果有m个(0≤m≤n)线性约束方程,即:
a11x1 a12 x2 a1n xn 0
……
am1 x1 am 2 x2 amn xn 0
Page 17
考察因素A的第i水平下的n个数据：xi1,xi2,…xin它们也互不相同，这些 差异是由于除了因素A以外的其它试验误差所引起的。我们称因素A在同 一水平下，n个数据之间的离差平方和为试验误差，记为Se，其计 算公式如下：
S e xij xi
m n i 1 j 1
2
Page 11
m n i 1 j 1 n m
2
xij xi xi x
i 1 j 1 m n 2 m n
2
xij xi xi x
i 1 j 1 i 1 j 1
2
Se S A
称之为波动平方和分解公式
Page 13
xij j 1 i 1
2 xij i 1 j 1 m n
2
∑X2
∑x1j2
∑x2j2
…
∑xij2
…
∑xmj2
Page 20
引入下列记号
1 xij P mn i 1 j 1
m n
2
1 Q xij n i 1 j 1
F
SA Se
误差
Se
N-m
总和
ST
N-1
Page 25
单因素试验的方差分析
利用方差分析表来计算下面的例子： 见下表
例：考察温度对某一化工产品的得率的影响。
温度（oc） 得率（%）
平均得率（%）
60 90 92 88 90
65 97 93 92 94
70 96 96 93 95
75 84 83 88 85
1、单因素试验
x
Page 7
表中各符号定义如下：
xi xij
j 1
m
n
1 n xi 1 xi xij n n j 1
m n i 1 j 1
x xi xij
i 1
x
1 N
x
1 mn
x
i 1 j 1
m
n
ij
N mn
Page 2
试验设计的有关概念
1、指标。用以衡量试验效果的特性值被称 为试验指标。试验指标通常分为两大类型：一 类是定量指标，直接用数量来表示的指标，如 收率、产量、硬度等；另一类是定性指标，不 能直接用数量来表示，只能凭感觉或感官 (触、 观、尝、嗅等)来评定的指标，如棉花的手感 与 颜 色 、 食 品 的 酥 、 脆 、 香 等 。
Page 35
A1 X11
A2 X21
… …
Am Xm1
m n i 1 j 1 n m m
2
n 1 2 xij xij n i 1 j 1 i 1 j 1 R Q
Page 24
2
单因素试验方差分析表1
方差来源
平方和
自由度
均方
F比
因素A
SA
m-1
SA SA m 1
Se Se N m
（6）小结
1）试验误差：Se由于试验过程中各种偶 然因素及测量误差引起在同一试验温度 下试验结果有差异。
2）条件变差：SA由试验条件不同导致试 验结果不同，在本例中各种温度下的试 验结果的差异即属这类变量。
3）总变差：ST试验误差和条件变差之和 称为总变差，且：ST=Se+SA
Page 14
m n
2
R x
i 1 j 1
Page 21
m
n
2 ij
为了利用上表进行各项平方和的计算， 下面对表达式作些演变。
ST xij x
m n i 1 j 1 n m
2
m n 1 2 xij xij mn i 1 j 1 i 1 j 1 RP
Page 15
（8）变差的数量表示
设有数据：x1,x2, …,xn，它们的变差平方 和以下式表示。
S ( xi x )
2 i 1
n
x
2 i
( xi )
1 n
2
其中:
x 1 xi n
i 1
n
Page 16
（9）自由度的一般定义 设有: x1, x2, ……,xn
Page 34
不等重复数的单因素试验 在前面讨论的例子中，不同试验条件下的 试验重复数是相同的，在实践中，并不总是 能满足这种情况，有时试验条件不允许，或 试验数据失落不全等会造成各试验条件下的 试验数据量不等，即试验重复数不等。 对重复数不等的单因素试验的方差分析与 重复数相等时很相似，在计算时只需对P、 Q、R稍作修改。 设因素A有m个试验条件，各个试验条件 相应的试验重复数是r1,r2,……,rm，共N个数 据，令：
2
R x 356
i 1 j 1 2 ij
Page 28
m
n
S A Q P 306 2.4 303 .6
S e R Q 356 306 50
ST R P 356 2.4 353 .6
SA SA SA / fA fA 由数理统计知识得知：
并且这m个方程是相互独立的，则：
S xi2
i 1 n
的自由度f=n-m。求自由度的目的主要 是为了消除数据量的差异对变差平方和 的影响。定义下式为均方：
S S/ f
Page 18
单因素试验的方差分析计算表
A1 1 x11 A2 x21 … Ai … Am
… xi1 … xm1
2
… j … n
80 84 86 82 84
将该表数据适当线性处理（x-90）得下表：
Page 26
对下表用方差分析表求解
60oC 65oC 70oC 75oC 80oC 0 2 7 3 6 6 -6 -7 -6 -4
-2
∑ 0
2
12
3
15
-2
-15
-8
-18
Σ
-6
(∑)2
∑2
0
8
144
62
225
81
225
89
324
116
918
356
Page 27
1 m n 1 xij 62 2.4 P mn i 1 j 1 15
2
1 1 Q xij 918 306 3 i 1 j 1 3
m n
在因素A的各水平下，数据均值 互不相同，它们之间的差 xi 异主要是由于因素A的水平变化所致。这些均值之间的离差平方
和称之为条件变差，记为SA，计算公式如下：
S A xi x
m n i 1 j 1
2
x 1 2 xi n i 1 N
m
2
Page 10
（4）试验误差Se
（7）用方差分析解决这类问题的思路是： a、利用试验数据的总变差分解出条件变 差和试验误差； b、将条件变差与试验误差在一定意义下 进行比较,如两者之比值不显著,则说明条 件对试验结果影响不大,反之,则说明条件 对试验结果有影响； c、若条件的影响是显著的，可据此选择 好的工艺条件或确定进一步试验的方向。
注：
a、如自由度fe太小会降低F检验的灵敏 度，如某因素本来有显著影响，但F检验 却检验不出来。fe越大，则F检验灵敏度 越高，但fe大也意味着试验次数增加，费 用增加。一般情况希望保证fe在5~10。
Page 33
b、F值特别小，例如大大小于1，这种情 况一般不应发生，其原因可能是取样或测量 中有系统误差或是实验结果的有效位数取得 太小等原因。 c、试验的随机化，例如将例中的15个试 验按温度条件分三批，每批5个试验不是按 顺序，而是先将它们编号，然后用随机数表 等方式决定它们的试验次序。这样的目的是 为了尽量减少人为因素等的影响。
第五章
试验设计
一、试验设计及其应用范围
二、 方差分析
三、正交设计
一、试验设计及其应用范围
试验设计发源于英国，最早应用于农业生产， 在考察各种肥料及施肥量对农作物产量的影响时， 建立了试验设计的最初的数学模型。随着生产的 发展，试验设计的理论和方法也就随之不断发展， 各种有效的试验方法越来越广泛地被各个部门所 采用。在质量管理中使用试验设计主要有下面二 个目的： 1、通过试验，确定影响质量或生产过程的主要 原因；
a、F0.01<F ， 因素的影响特别显著,记为“**”； b、F0.05<F≤F0.01，因素的影响显著,记为“*”； c、F0.10<F≤F0.05，因素有影响记为“(*)”；
d、F0.25<F≤F0.10，因素有一定影响记为“[*]”；
e、F≤F0.25，因素无明显影响 不作记号。
Page 32
(5)分解公式
前面已经介绍了数据的总变差ST， 因素A引起的条件变差SA，以及试验误 差S e 。从直观上看,引起数据总变差S T 的原因，不外乎因素A及除因素A以外 的其它试验误差。所以应当有：
ST＝SA＋Se。 事实上，下面的推导验证了这种想 法是正确的。
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ST xij x
x12
… x1j … x1n
x22
… x2j … x2n
… xi2 … xm2
… … … xij … xmj … …
∑
… xin … xmn
∑X
∑x1j
∑x2j
…
∑xij
…
∑xmj
x
i 1 j 1
m n
m
n
ij
(∑X)2
(∑x1j
)2
(∑x2j
)2
…
(∑xij)2
…
(∑xmj)2
Se Se Se / f e fe
SA S A / Se ~ F f A , fe Se
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f A 5 1 4
f e 15 5 10
f T 15 1 14
S A 303 .6 均方： S 75.9 A fA 4 S e 50 S A 75 .9 Se 5 F 15 .18 f e 10 Se 5
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2、因素。影响试验指标（结果）的原因称为因素，如反应温度、时间、催 化剂种类等。有些因素可以在试验的过程中人为的加以调节与控制，称之为可 控因素。如反应温度、反应时间、催化剂的种类等。另一类因素是由于自然、 技术与设备等条件的限制，暂时还不能人为调控，这类因素被称为不可控因素 (随机因素)，例如地面的轻微震动等。下面我们主要研究可控因素。
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方差分析表
方差来源 平方和 自由度 均方 F 临界F值
温度
303.6
4
75.9
15.18**
F0.01=6.0
误差
50.0
10
5Biblioteka Baidu
总和
353.6
14
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由统计学知
SA Se
~F分布，判断条件对试验结果
SA Se
影响的显著性，即将
与一定显著性水平的
相应F临界值比较，常用的判断标准如下；
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2
S A n xi x
i 1 m 2
m
2
n m n 1 1 xij xij n i 1 j 1 mn i 1 j 1 QP
2
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S e xij xi
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3、水平——因素在试验中所处的各种状态 称为因素的水平，如不同的试验温度550C、 600C、800C等 。根据试验的需要，因素的 水平可以设为二水平、三水平等等。
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二、方差分析
1、单因素试验 2、双因素试验
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（1）单因素试验数据表
水平 组号
1 2 … n ∑ x11 x12 … x1n X1。 `X1。 x21 x22 … x2n X2。 `X2。 … … … … … … xm1 xm2 … xmn Xm。 `Xm。 x.. `x.. A1 A2 … Am ∑
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(2)总变差ST
我们定义N=mn个数据xij的总变差ST为：
ST xij x
m n i 1 j 1
x
2 m n i 1 j 1
2 ij
x2 mn
总变差ST反应了试验数据相对于数据均值离散
程度（即波动）的大小。
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(3) 因素A引起的条件变差SA
S xi2
i 1 n
的自由度取决于
xi之间的m个线性约束关系 。 如果有m个(0≤m≤n)线性约束方程,即:
a11x1 a12 x2 a1n xn 0
……
am1 x1 am 2 x2 amn xn 0
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考察因素A的第i水平下的n个数据：xi1,xi2,…xin它们也互不相同，这些 差异是由于除了因素A以外的其它试验误差所引起的。我们称因素A在同 一水平下，n个数据之间的离差平方和为试验误差，记为Se，其计 算公式如下：
S e xij xi
m n i 1 j 1
2
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m n i 1 j 1 n m
2
xij xi xi x
i 1 j 1 m n 2 m n
2
xij xi xi x
i 1 j 1 i 1 j 1
2
Se S A
称之为波动平方和分解公式
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xij j 1 i 1
2 xij i 1 j 1 m n
2
∑X2
∑x1j2
∑x2j2
…
∑xij2
…
∑xmj2
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引入下列记号
1 xij P mn i 1 j 1
m n
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1 Q xij n i 1 j 1
F
SA Se
误差
Se
N-m
总和
ST
N-1
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单因素试验的方差分析
利用方差分析表来计算下面的例子： 见下表
例：考察温度对某一化工产品的得率的影响。
温度（oc） 得率（%）
平均得率（%）
60 90 92 88 90
65 97 93 92 94
70 96 96 93 95
75 84 83 88 85
1、单因素试验
x
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表中各符号定义如下：
xi xij
j 1
m
n
1 n xi 1 xi xij n n j 1
m n i 1 j 1
x xi xij
i 1
x
1 N
x
1 mn
x
i 1 j 1
m
n
ij
N mn
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试验设计的有关概念
1、指标。用以衡量试验效果的特性值被称 为试验指标。试验指标通常分为两大类型：一 类是定量指标，直接用数量来表示的指标，如 收率、产量、硬度等；另一类是定性指标，不 能直接用数量来表示，只能凭感觉或感官 (触、 观、尝、嗅等)来评定的指标，如棉花的手感 与 颜 色 、 食 品 的 酥 、 脆 、 香 等 。
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A1 X11
A2 X21
… …
Am Xm1
m n i 1 j 1 n m m
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n 1 2 xij xij n i 1 j 1 i 1 j 1 R Q
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单因素试验方差分析表1
方差来源
平方和
自由度
均方
F比
因素A
SA
m-1
SA SA m 1
Se Se N m
（6）小结
1）试验误差：Se由于试验过程中各种偶 然因素及测量误差引起在同一试验温度 下试验结果有差异。
2）条件变差：SA由试验条件不同导致试 验结果不同，在本例中各种温度下的试 验结果的差异即属这类变量。
3）总变差：ST试验误差和条件变差之和 称为总变差，且：ST=Se+SA
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m n
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R x
i 1 j 1
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m
n
2 ij
为了利用上表进行各项平方和的计算， 下面对表达式作些演变。
ST xij x
m n i 1 j 1 n m
2
m n 1 2 xij xij mn i 1 j 1 i 1 j 1 RP
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（8）变差的数量表示
设有数据：x1,x2, …,xn，它们的变差平方 和以下式表示。
S ( xi x )
2 i 1
n
x
2 i
( xi )
1 n
2
其中:
x 1 xi n
i 1
n
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（9）自由度的一般定义 设有: x1, x2, ……,xn
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不等重复数的单因素试验 在前面讨论的例子中，不同试验条件下的 试验重复数是相同的，在实践中，并不总是 能满足这种情况，有时试验条件不允许，或 试验数据失落不全等会造成各试验条件下的 试验数据量不等，即试验重复数不等。 对重复数不等的单因素试验的方差分析与 重复数相等时很相似，在计算时只需对P、 Q、R稍作修改。 设因素A有m个试验条件，各个试验条件 相应的试验重复数是r1,r2,……,rm，共N个数 据，令：
2
R x 356
i 1 j 1 2 ij
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m
n
S A Q P 306 2.4 303 .6
S e R Q 356 306 50
ST R P 356 2.4 353 .6
SA SA SA / fA fA 由数理统计知识得知：
并且这m个方程是相互独立的，则：
S xi2
i 1 n
的自由度f=n-m。求自由度的目的主要 是为了消除数据量的差异对变差平方和 的影响。定义下式为均方：
S S/ f
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单因素试验的方差分析计算表
A1 1 x11 A2 x21 … Ai … Am
… xi1 … xm1
2
… j … n
80 84 86 82 84
将该表数据适当线性处理（x-90）得下表：
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对下表用方差分析表求解
60oC 65oC 70oC 75oC 80oC 0 2 7 3 6 6 -6 -7 -6 -4
-2
∑ 0
2
12
3
15
-2
-15
-8
-18
Σ
-6
(∑)2
∑2
0
8
144
62
225
81
225
89
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116
918
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1 m n 1 xij 62 2.4 P mn i 1 j 1 15
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1 1 Q xij 918 306 3 i 1 j 1 3
m n
在因素A的各水平下，数据均值 互不相同，它们之间的差 xi 异主要是由于因素A的水平变化所致。这些均值之间的离差平方
和称之为条件变差，记为SA，计算公式如下：
S A xi x
m n i 1 j 1
2
x 1 2 xi n i 1 N
m
2
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（4）试验误差Se
（7）用方差分析解决这类问题的思路是： a、利用试验数据的总变差分解出条件变 差和试验误差； b、将条件变差与试验误差在一定意义下 进行比较,如两者之比值不显著,则说明条 件对试验结果影响不大,反之,则说明条件 对试验结果有影响； c、若条件的影响是显著的，可据此选择 好的工艺条件或确定进一步试验的方向。
注：
a、如自由度fe太小会降低F检验的灵敏 度，如某因素本来有显著影响，但F检验 却检验不出来。fe越大，则F检验灵敏度 越高，但fe大也意味着试验次数增加，费 用增加。一般情况希望保证fe在5~10。
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b、F值特别小，例如大大小于1，这种情 况一般不应发生，其原因可能是取样或测量 中有系统误差或是实验结果的有效位数取得 太小等原因。 c、试验的随机化，例如将例中的15个试 验按温度条件分三批，每批5个试验不是按 顺序，而是先将它们编号，然后用随机数表 等方式决定它们的试验次序。这样的目的是 为了尽量减少人为因素等的影响。
第五章
试验设计
一、试验设计及其应用范围
二、 方差分析
三、正交设计
一、试验设计及其应用范围
试验设计发源于英国，最早应用于农业生产， 在考察各种肥料及施肥量对农作物产量的影响时， 建立了试验设计的最初的数学模型。随着生产的 发展，试验设计的理论和方法也就随之不断发展， 各种有效的试验方法越来越广泛地被各个部门所 采用。在质量管理中使用试验设计主要有下面二 个目的： 1、通过试验，确定影响质量或生产过程的主要 原因；
a、F0.01<F ， 因素的影响特别显著,记为“**”； b、F0.05<F≤F0.01，因素的影响显著,记为“*”； c、F0.10<F≤F0.05，因素有影响记为“(*)”；
d、F0.25<F≤F0.10，因素有一定影响记为“[*]”；
e、F≤F0.25，因素无明显影响 不作记号。
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(5)分解公式
前面已经介绍了数据的总变差ST， 因素A引起的条件变差SA，以及试验误 差S e 。从直观上看,引起数据总变差S T 的原因，不外乎因素A及除因素A以外 的其它试验误差。所以应当有：
ST＝SA＋Se。 事实上，下面的推导验证了这种想 法是正确的。
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ST xij x