高一数学《n次方根》教学设计

4.1.1.1 n 次方根

一、内容及其解析

（一）内容：根式。

（二）解析：本节课要学的内容有根式理解它关键就是理解n 次方根概念及n 次方根的性质并学会或化简根指数为正整数时的根式。学生已经学过了整数次幂的概念和运算性质，数的平方根、立方根的概念，以及二次根式的性质，本节课的内容根式就是在此基础上的发展。由于它还与分数指数幂有必要的联系,所以在本学科有着比较重要的地位，是学习后面知识的基础,是本学科的一般内容内容。教学的重点是利用n 次方根的性质化简n 次根式，所以解决重点的关键是在练习中加深理解。

二、目标及其解析

（一）教学目标

1．理解n 次方根概念及n 次方根的性质；

2．学会或化简根指数为正整数时的根式；

（二）解析

1． 理解n 次方根概念及n 次方根的性质就是指通过复习初中学过的整数次幂的概念和运算性质，数的平方根、立方根的概念，以及二次根式的性质理解n 次方根概念及n 次方根的性质；

2．学会或化简根指数为正整数时的根式就是指要合理运算两个公式

：

()n n n a ⇒=只要

有意义的奇偶

,,a n a n ⎧⎪=⎨⎪⎩为奇数为偶数. 三、问题诊断分析

在本节课的教学中，学生可能遇到的问题是n 次根式的性质及应用，产生这一问题的原因是：学生在解题的时候总是忘记分析n 的奇偶性。要解决这一问题，就要在在练习中加深理解。

四、教学过程设计

1、提出问题

（1）什么是平方根？什么是立方根？一个数的平方根有几个，立方根呢？

（2）如456

=a,,x x a x a ==根据上面的结论我们又能得到什么呢？

（3）根据上面的结论我们能得到一般性的结论吗？

（4）可否用一个式子表达呢？

活动：教师指示，引导学生回忆初中的时候已经学过的平方根、立方根是如何定义的，对照类比比方根、立方根的定义解释上面的式子，对问题（2）的结论进行引申、推广、相互交流讨论后回答，教师及时启发学生，具体问题一般化，归纳类比出n 次方根的概念，评价

学生的思维。

讨论结果：

（1）若2x a =，则x 叫做a 的平方根，正实数的平方根有两个，它们互为相反数， 如：4的平方根为2±，负数没有平方根，同理，若3x a =，则x 叫做a 的立方根，一个数的立方根只有一个。

（2）类比平方根、立方根的定义，得到相应的结果。

（3）类比（2）得到一个数的n 次方等于a ，则这个数叫a 的n 次方根。

（4）用一个式子表达是，若n x a =，则x 叫做a 的n 次方根。

教师板书n 次方根的意义：一般地，如果n x a =，则x 叫做a 的n 次方根，其中*1,n n N >∈。

2、提出问题

（1）你能根据n 次方根的意义求出下列数的n 次方根吗？教师板书于黑板

①4的平方根；②±8的立方根；③16的4次方根；④32的5次方根；⑤-32的5次方根；⑥0的7次方根；⑦6a 的立方根。

（2）平方根，立方根，4次方根，5次方根，7次方根，分别对应的方根的指数是什么数，有什么特点？ 4，±8，16，-32，32，0，6a 分别对应什么性质的数，有什么特点？

（3）问题（2）中，既然方根有奇次的也有偶次的，数a 有正有负，还有零，结论有一个的，也有两个的，你能否总结一般规律呢？

（4）任何一个数a 的偶次方根是否存在呢？

活动：教师提示学生切实紧扣n 次方根的概念，求一个数a 的n 次方根，就是求出的那个数的n 次方等于a ，及时点拨学生，从数的分类考虑，可以把具体的数写出来，观察数的特点，对问题（2）中的结论，类比推广引申，考虑要全面，对回答正确的学生及时表扬，对回答不准确的学生提示引导考虑问题的思路。

讨论结果：（1）因为±2的平方等于4，±2的立方等于8，±2的4次方等于16，2的5次方等于32，-2的5次方等于-32，0的7次方等于0，2a 的立方等于6a ，所以4的平方根，±8的立方根，16的4次方根，32的5次方根，-32的5次方根，0的7次方根，6a 的立方根分别是±2，±2，±2，2，-2，0，6a 。

（2）方根的指数是2，3，4，5，7…特点是有奇数和偶数。总的来看，这些数包括正数，负数和零。

（3）一个数a 的奇次方根只有一个，一个正数a 的偶次方根有两个，是互为相反数。0的任何次方根都是0。

（4）任何一个数a 的偶次方根不一定存在，如负数的偶次方根就不存在，因为没有一个数的偶次方是一个负数。

类比前面的平方根、立方根，结合刚才的讨论，归纳出一般情形，得到n 次方根的性质：

①当n 为偶数时，a 的n 次方根有两个，是互为相反数，正的n

是负数，负的n 次方根用n 次方根与负的n 次方根合并写在±（a >0）。

②n 为奇数时，正数的n 次方根是一个正数，负数的n 次方根是一个负数，这时a 的n 次

③负数没有偶次方根；0的任何次方根都是零.

活动：让学生举例说明上述几种情况，教师巡视，及时纠正学生在举例过程中的问题.

表示n a 的n 次方根，a 一定成立吗？如果不成立，

活动：教师让学生注意讨论n 为奇偶数和a 的符号，充分让学生多举例，分组讨论，教师点拨，注意归纳整理.

结论：①n a ,②当n {,0,0

a a a a a -<≥== 三．概念的巩固和应用

例1、求下列各式的值

（1；；

解：（18=-；10= ；3π=-

点评：不注意n 的值影响，是导致问题出现的一个重要原因，要在理解的基础之上，记准，记熟，会用.

变式训练：

例2、求下列各式的值

1);a ≤ 拓展提升

a =与(1,)n a n n N =>∈哪个是恒等式，为什么？请举例说明.

活动：组织学生结合前面的例题及其解答，进行分析讨论，解决这一问题要紧扣n 次方根的定义.

通过归纳，得出问题结果，对a 是正数和零，n 为偶数时，n 为奇数时讨论一下，再对a 是负数，n 为偶数时，n 为奇数时讨论一下，就可得到相应的结论.

4、课堂小结

五．小结

我们今天主要学习了哪些内容？

①如果，如果n x a =，则x 叫做a 的n 次方根，其中*

1,n n N >∈

a 叫被开方数，n 叫根指数.

说明：

（1） 当n 为偶数时，a 的n 次方根有两个，是互为相反数，正的n 表示，