单相合金的凝固

式中s－已凝固相长度
（4－3）
tf _—试料总的凝固时间 t －与s相对应的凝固时间。这样，凝固速度表示为：
v
dsHale Waihona Puke Baidu/ dt
L
(
1
1
)2
2 tt f
（4－4）
将式（4－4）、（4－2）代入（4－1），积分整理后得：
CS
k0C0[1 (1 2k0 )
f ](k0 1) /(12k0 )
S
（4－5）
式中α为无量纲的溶质扩散因子， α＝Dst f / L2 （4－6）
CS
k0C0 (1
f )(k0 1) s
（4－8）
这为Scheil公式或称非平衡杠杆准则。
当α＝0.5时，公式变为
C*S = C0 K0 /[1+（ K0-1）fS ]
（4－9）是平衡凝固时的溶质分布表达式。
(4－9)
5
2.液相中有对流作用的溶质再分配
在实际生产中，液相中完全混合的溶质再分配（需要
11
3.液相中只有扩散的溶质再分配
图4－4 液相中只有扩散时单向凝固不同阶段的溶质分布（固相无扩散） 12
图4－4b 中面积A1＝A2， CS增加的趋势随固相中溶质贫 乏程度的减轻而变小，当CS＝C0时，该斜率为0，即
dCS dx
P(C0 CS )
式中P为一个系数。
边界条件为：CS︱x=0 ＝k0C0，解此方程得：
强烈搅拌）是较少遇到的，即使在这种情况下，在固液界
面仍然存在一个很薄的扩散层δN，在扩散层以外的液相成 分因有对流而保持均匀一致。如果液相的容积很大，它将
不受已凝固体的影响而保持原始成分，此时，固相成分
C
S
在δN及晶体长大速度v一定的情况下也将保持一定，是小于
C0的一个数值。液相中有对流的溶质分布见图4－3.由于溶
（4－14）
对（4－11）中的CL求导然后代入（4－14），且
C
S
k0C
L
得
kE
C
S
C0
k0
k0
(1
k
0
)e
v DL
N
（ 4－15）
这就是溶质有效分配系数的表达式。
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由上式可以看出，搅拌对流越强烈时，扩散层δN越小， 故C*S越小；生长速度越大时， C*S越向C0趋近。
利用kE与k0的关系可以描述有限容积中的溶质再分布， 其条件是δN相对整体容器长度来说是微不足道的，只有这样 δN层以外的液相溶质成分才能代表溶液的整体成分。为此， 当用稳定态的kE代替k0时，Scheil公式可表示为
§４-1 凝固过程的溶质再分配
非平衡凝固过程的溶质再分配
合金凝固时,从某温度下的固/液两相平衡转变到另一温 度下的平衡,需要充分的时间,只有充分的扩散,才能得出前面 的平衡凝固的结论.
由于溶质原子的扩散速度远小于凝固速度,溶质原子难 于扩散均匀,所以凝固过程中固/液两相是非平衡相,凝固过程 是非平衡的。
CS C0[1 (1 k0 )ePx ]
N
1
K2
CL
(C0 CL )
e
v DL
N
1
代入（4－10）得：
v x'
CL CL
C0 C0
1 e DL
1
1
e
v DL
N
（4－11）
如果液体容积有限，则溶质富集层δN以外的液相成分在凝固
过程中不是固定于C0不变，而是逐步提高的，设以
CL
表示
之，上式可写为：
v x'
CL CL
CL
CL
1 e DL
（4－5）式即为有固相扩散、液相完全混合的溶质分布方程。
4
将与
C
S
相对应的图上的温度T代入公式（4－5）得
fs
( 1 )[1 ( Tm T ) ] (12k0 )/(k0 1)
1 2k0
Tm TL
（4－7）
式中TL——合金的液相线温度； Tm——纯溶剂的熔点温度。
当α＝0即固相中无扩散时，式（4－5）变为
1
1
e
v DL
N
（4－12）
9
在液相中没对流只有扩散的情况下,（4－12）式中δN=∞;
CL C0
C*L=C0/k0 , (4-12) 变为稳定态时溶质分布方程：
CL
C0
[1
(1
k0 k0
v x'
)e DL ]
（4－13）
当达到稳定时，下式是成立的：
DL
dCL dx'
x' 0
v(CL
CS )
C0/k0；② x’=δN时，CL＝C0（液相容积足够大）。解方程如
下：
令
dCL dx'
z,
dz dx,
d 2CL dx,2
故
dz v dx'
z
DL
解此方程可得：
CL
DL v
v x'
K1e DL
K2
式中K1、K2为积分常数。
（4－10）
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将边界条件带入可得：
K1
v DL
(C
L
C0 )
e
v DL
不过凝固仅发生在固/液界面上，只涉及到10-8~10-7 cm 的范围，因此，从微观意义上看，在界面上仍存在局部的固 /液两相平衡，非平衡凝固时，界面处的固/液两相的成分仍 符合K0=Cs＊ /CL＊的关系。
1
图4－2 长度为L的单元体内单向凝固时的溶质分布
2
1、溶液中完全混合的溶质再分配
考虑到凝固过程溶质元素的反扩散，导出了固－液界面上固
相溶质浓度C
S
与固相分量fs的关系。上图为长度为
L的单元体内
单向凝固时溶质再分布的情况。由质量守恒，下式是成立的：
(CL
CS )Ldf s
L(1
fs )dCL
1 2
s
dCS
（4－1）
式中，δs为固相内溶质反扩散的边界厚度，其值为：
s 2Ds / v
（4－2）
式中Ds——固相溶质扩散系数； ν——固——液界面推进速度。
（4－1）式左侧为图4－2中面积A1，表示凝固出Ldfs 量的合 金排出的溶质量；等式右侧第一项为图中的面积A2，表示液相内 溶质的增量；第二项为面积A3，表示为固相溶质反扩散的增量， 近似用高为δs底为dCs的三角形面积来表示。
3
设凝固厚度与凝固时间具有平方根原理的关系，即：
1
s / L (t / t f )2
质质量守恒，为使问题简化，忽略固相内的溶质扩散，在
扩散层达到稳定时，下式是成立的：
DL
d 2CL dx'2
v
dCL dx'
0
6
图4－3 有对流液相内的溶质分布
7
DL
d 2CL dx'2
v
dCL dx'
0
其边界条件为：①x’=0时， CL＝CL*<C0/k0；这是由于扩散
层外存在对流，从而使稳定态的液相最大溶质浓度CL*低于
CL
C0
f (kE 1) L
(4-16)
从 （4－15）可知，最小值（kE=k0)发生在(vδN/DL) <<1 时， 即慢的生长速度和最大的对流、搅拌的情况下;kE为最大值
（kE=1)发生在(vδN/DL) ＞ ＞1 时，即大的生长速度或溶液
中没有任何对流而只有扩散的情况下；k0<kE<1时，相当于 液相中有对流但属于部分混合的情况。