10第十章组合变形

三 组合变形时的应力叠加法
1 分解 3 叠加
a
2 计算
P
分解
=>
P
+
M=Pa
A
B
A
B
A
B
σA N
Mσ= σ‘+ σ
N ? '? N
A
叠加
σA′
M
?
?
Mzy
计算
σA
Iz
A
<=
A
+
A
σB
叠加
B
<=
σB′
σB
B
+
B
§10.2 斜弯曲
当外力作用面不通过主惯性平面时 ,则弯曲变形后 ,梁
的轴线不在外力作用面内 .
强度够了。
? '? P
A
?
Pey ?
Iz
x
b
δ
σtmax σtmin
例题2、铸铁压力机框架，立柱横截面尺寸如图所示，材 料的许用拉应力[? t]＝30MPa，许用压应力[? c]＝120MPa。
试按立柱的强度计算许可载荷F。
F 350 F
F 350
y1 z0 y z1
150
50
150
解：（1）计算横截面的形心、 面积、惯性矩 A ? 15000 mm2
22
N=P=80kN
P
M=Pe=400Nm
? '? P
A
?
My Pey ??
Iz
Iz
? t max
?
P? A
My ?
Iz
PM ?
A WZ
P
y r P
M
P
6Pe
? ? (b ? r ) ? ? (b ? r )2
? 163.3MPa ?[? ]
eP x
强度不够
讨论：若在对称位置开r =1cm缺口
+
=
? ? P ? P ? 133 .3MPa A1 ? (b ? 2r )
F
y
1( y1, z1)
? c ( y, z) ?
z sin ?
? Pl ( Iy
?
y cos ?
Iz
)
?
?? max
?
Pl (
z1 sin ?
Iy
?
y1 cos ? )
Iz
பைடு நூலகம்
中性轴 压
?
M max
(
z1
sin ?
Iy
?
y1 cos ? )
Iz
?
? max
?
? Pl (
z3
sin ?
Iy
?
y3 cos ? )
M ? 425? 10?3 F ?N.m?
I y ? 5.31? 107 mm4 （3）立柱横截面的最大应力
? t. max
第十章 组合变形
第十章 组合变形
§10.1 组合变形和叠加原理 一 组合变形
构件在载荷作用下所发生的变形，包括两种 以上的基本变形形式，有时几种基本变形形式对 应的应力（变形），属于同数量级而不能忽略其 中任何一种。称为组合变形。
二叠加原理的叠加条件 1 位移、应力、应变、内力与外力成齐
次线性关系。 2 材料服从胡克定律。 3 保证小变形条件。
} ? t ? ? Myz? Mzy
?c
Iy Iz
} { ? t max
? c min
? ? My ? Mz Wy Wz
? [? t ] ? [? c ]
例题1、已知：钢槽板b=8cm,δ=1cm,r=1cm,P=80kN,[σ]=140MPa.
求：校核钢板的强度。
解： e ? b ? b ? ? ? 0.5cm
——斜弯曲
z
F y
Fz
z
F
Fy
y
Fz
z
xz平面内的平面弯曲
y
z
Fy y
xy平面内的平面弯曲
已知：矩形截面梁截面宽度 b、高度h、长度l，外载荷
F，与主惯轴y成夹角? 。
求：根部截面上的最大正应力
y y
Fz z
x
z?
F F
Fz ? F sin ? ,
Fy ? F cos ?
?
Fy
y z
My
? x(M y)
Iy
Iz
Iy
Iz
中性轴的确定：
令? ? 0,
拉y
z?
z sin ? y cos ?
?
?0
Iy
Iz
则
tg? ? I z tg?
Iy
?
F
压 中性轴
（1）中性轴只与外力 F的倾角? 及截面的几何形状与 尺寸有关；
（2）一般情况下， I y ? Iz ? ? ? ?
即中性轴并不垂直于外力作用面。
拉y
z?
y
x
P z
My
Mz P1
RB
N
? ? Myz
Iy
A B
+
D
C
? '? Mzy
A
Iz
B
D
C
σ=σ‘+σ + σ‘“
A B
=D
C
σ‘A
+
σA
+
σ‘A “
=
σA=σ‘A +σ A + σ‘A “
组合应力
} ? t
?c
?
N ?
Myz ?
Mzy
A Iy Iz
} ? t max
? c max
? N ? My ? Mz A Wy Wz
强度条件:
? max ? [? ] 或者
? t max ? [? t ] ? c max ? [? c ]
注：1 对于只在一个平面内发生弯曲（如xy平面）
} ? t
?c
? N ? Mzy A Iz
} { ? t max
? c min
? N ? Mz A Wz
? [? t ] ? [? c ]
2 若无N,则成为斜弯曲
f
2 y
?
fz2
F
设总挠度与y轴夹角为? ：
一般情况下，Iy ? Iz
tg? ? fz ? FzIz ? Iz tg? ? tg ?
fy FyIy I y ? ? ??
即挠曲线平面与荷载作用面不相重合，为斜弯曲，
而不是平面弯曲。
§10.3 拉伸和压缩与弯曲的组合
六个内力分量N、My 、Mz、QY、 Qz、T 。当T＝0， QY、 Qz不属于同数量级时 成为N、My 、Mz的组合。
中性轴
y z
Mz
? x(M y) 中性轴
y
y
C(y,z) z
C(y,z) z
Mz
My
?
C1
?
?
M yz Iy
? C2
?
Mzy Iz
所以
?
C ( y, z) ? ?
C1 ? ?
C2
?
?
Myz ? Iy
Mzy Iz
? ? Fx sin ? z ? Fx cos ? y ? ? Fx ( z sin ? ? y cos ? )
M
FN
z0 ? 75mm z1 ? 125mm I y ? 5.31? 107 mm4 （2）立柱横截面的内力
50
FN ? F
M ? F ?350 ? 75?? 10?3
? 425F ? 10?3?N.m?
A ? 15000mm 2
（2）立柱横截面的内力
z0 ? 75mm
FN ? F
z1 ? 125mm
Iz
?
? M max (
z3
sin ?
Iy
?
y3 cos ? )
Iz
斜弯曲梁的位移——叠加法
中性轴 y
z ?fz ?
f
? fy
fz
?
Fz l 3 3EI y
?
F sin ? l3
3EI y
,
fy
?
Fyl3 3EI z
?
F cos? l3
3EI z
总挠度：
?? f ? fy j ? fzk
大小为：
f?
?
F
中性轴 压
（3）当截面为圆形、正方形、正三角形或正多边形时，
Iy ? Iz,（所有通过形心的轴均为主惯轴）
? ? ??
所以中性轴垂直于外力作用面。即外力无论作用在哪 个纵向平面内，产生的均为平面弯曲。
拉y
z?
?
F
中性轴 压
对于圆形截面 y
z
?
?
F
中性轴
根部截面上的最大正应力:
拉
z?
3( y3 , z3 ) ?