第6讲.含参一元一次方程的解法.尖子班.教师版

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初一秋季·第6讲·尖子班·教师版

解方程

满分晋级阶梯

漫画释义

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含参一元一次 方程的解法

方程4级 方程中的设元 方程3级

含参一元一次方程的解法

方程2级 二元一次方程组的 概念及基本解法

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题型切片（四个） 对应题目

题型目标 复杂一元一次方程 例1；例2；练习1； 同解一元一次方程 例3；例8；练习2； 含参一元一次方程 例4；例5；练习3；练习4 绝对值方程

例6；例7；练习5；练习6

对于复杂的一元一次方程，在求解过程中通常会采用一些特殊的求解方法，需要同学们掌握，如：解一元一次方程中()ax bx a b x +=+的应用.

【引例】 解方程：

111123452345

x x x x +++=+++. 【解析】 法一：1111111123452345x ⎛⎫

+++=+++ ⎪⎝⎭

，所以1x =；

法二：111102345x x x x ----+++=，1111

()(1)02345

x +++-=，所以1x =.

【点评】 注意传递给学生两种解决此类问题的思路.

【例1】 ⑴解方程：

2152

234x x +--=.（西城期末） ⑵解方程：1123

(23)(32)11191313

x x x -+-+=

【解析】 ⑴ 去分母（方程两边同乘以12），得 4(21)3(52)24x x +--=．

去括号，得 8415624x x +-+=． 移项，得 8152446x x -=--． 合并同类项，得 714x -=． 系数化为1，得 2x =-．

∴ 原方程的解是 2x =-．

⑵ 原方程可变为111

(23)(23)(23)0111913

x x x ---+-=，

即111(23)0111319x ⎛⎫

+--= ⎪⎝⎭

， 复杂一元一次方程

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题型切片

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又1110111319+-≠，所以230x -=，即32x =． 点评：若0ab =，则0a =或0b =．

【例2】 解方程：2009122320092010x x x

+++=⨯⨯⨯

【解析】 1112009122320092010x ⎛⎫

+++= ⎪⨯⨯⨯⎝⎭

，

1120092010x ⎛

⎫-= ⎪

⎝⎭

即200920092010x =， 故2010x =.

若两个一元一次方程的解有等量关系，先分别求出这两个方程的解，再通过数量关系列等式． 两个解的数量关系有很多种，比如相等、互为相反数、多几倍等等．

【引例】 当m =________时，方程5443x x +=-的解和方程2(1)2(2)x m m +-=-的解相同．

（北京四中期中考试）

【解析】 法一：方程5443x x +=-的解为7x =-，方程2(1)2(2)x m m +-=-的解为

362m x -=.由题意解相同，所以3672m --=，解得8

3

m =-. 法二：方程5443x x +=-的解为7x =-，把7x =-代入2(1)2(2)x m m +-=-中，

求得8

3

m =-．

【点评】同解方程问题，先分别求出这两个方程的解，再让解相等，或求出一个方程的解，把解

代入

另一个方程．

【例3】 ⑴已知：关于x 的方程42x k -=与()322x k +=的解相同，求k 的值及相同的解．

（石景山期末）

⑵若关于x 的方程5342x x =

-和12524

a

x ax x -=+有相同的解，求a 的值． ⑶若()40k m x ++=和(2)10k m x --=是关于x 的同解方程，求2k

m

-的值．

【解析】 ⑴ 226

43

k k +-=

，解得6k =，2x ∴= ⑵ 方程5342x x =-的解为8x =-，把8x =-代入12524a x ax x -=+中，求得1

2

a =．

同解一元一次方程

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⑶ 法一：方程()40k m x ++=的解为4

x k m

-=

+，方程(2)10k m x --=的解为12x k m =-，所以412k m k m -=

+-，所以3m k =，所以5

23

k m -=-. 法二：方程(2)10k m x --=等号两边乘以4-得(48)40m k x -+=，故

48k m m k +=-，5

23

k m -=-．

当方程的系数用字母表示时，这样的方程称为含字母系数的方程，含字母系数的方程总能化成ax b =的形式，方程ax b =的解根据a b ，的取值范围分类讨论．

① 当0a ≠时，方程有唯一解b

x a

=．

② 当0a =且0b =时，方程有无数个解，解是任意数． ③ 当0a =且0b ≠时，方程无解．

【引例】 当a ，b 时，方程1ax x b +=-有唯一解；当a ，b 时，方程

1ax x b +=-无解；当a ，b 时，方程1ax x b +=-有无穷多个解． 【解析】 1a b ≠，为任意数；11a b =≠-，

；11a b ==-，. 【例4】 ⑴ 已知：关于x 的方程32ax x b +=-有无数多个解，试求2011()5ab

a b x x a b a b

+-

=-++ 的解.

⑵ 若a 、b 为定值，关于x 的一元一次方程2236

kx a x bk

+--=，无论k 为何值时，它的解总是1x =，求23a b +的值．

（北师大附中期中）

【解析】 ⑴ 原方程整理为(2)3a x b -=--，因为当20a -=且30b --=该方程有无数多组解，

所以23a b ==-，，故把23a b ==-，代入2011()5ab

a b x x a b a b

+-=-++

得610x x --=， 解得10

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x =-.

⑵ 方程2236

kx a x bk

+--=可化为：(41)212k x a bk -++=，

由该方程总有解1x =可知41212k a bk -++=，

即(4)132b k a +=-，

又k 为任意值，故40

1320b a +=⎧⎨-=⎩

，231a b +=．

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含参一元一次方程