2019年甘肃省第二次诊断考试文科数学答案
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2019
1.
15.
3 . 3
16. 10,
三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17～21 题为必考 题，每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：共 60 分. 17.（本题满分 12 分） 解： （Ⅰ）由 b 2a cos A 及正弦定理，得
将 y1 y2 有 2m
2
2m 1 代入 2my1 y2 (1 n)( y1 y2 ) 0 , y1 y2 2 2 m 2 m 2
1 2m 2m(2 n) (1 n) 2 0 m 2 m 2 m2 2
即 2m(n 2) 0 因为 m 0 ，故 n 2 . 21.（本题满分 12 分）
y1 0 y2 0 y1 ( x2 n) y2 ( x1 n) x1 n x2 n ( x1 n)( x2 n)
y1 (my2 1 n) y2 (my1 1 n) 2my1 y2 (1 n)( y1 y2 ) 0 ( x1 n)( x2 n) ( x1 n)( x2 n)
SB S A ，所以，该精准扶贫户选择方案 B 收购收益更好.
……………………12 分
19. （本题满分 12 分） 解： （Ⅰ）
DE PD, DE DB,
DE 平面PDB,
又在图①中 BC BD, DE BD，
DE ∥ BC ,
BC 平面PDB, 而DF 平面PDB,
2019 年甘肃省第二次高考诊断文科数学考试参考答案及评分标准
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的. 1. C 2. D 3.B 4.A 5. C 6.D 7. C 8.D 9.B 10.C 11.A 12.A
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 13. 2 14. 2
……………8 分
（Ⅲ）由 f ( x) 2 x2 ax 1 ln x 得
f ( x)
1 4 x 2 ax 1 4x a x x
设 h( x) 4 x2 ax 1, a 2 16, 当 3 a ≤ 4 时， ≤ 0, 有 h( x) ≥ 0, 即 f ( x) ≥ 0, 故 f ( x) 在 x 0, 单调递增. 又 f (1) 3 a 0, f (e) 2e2 ae 2 e(2e a) 2 0, 所以 f ( x) 在 x 1, e 有唯一零点. ………………………………12 分
（二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中选定一题作答，并用 2B 铅笔在答题卡 上将所选题目对应的题号方框涂黑。按所涂题号进行评分，不涂、多涂均按所答第一题评 分；多答按所答第一题评分。 22.（本题满分 10 分） 解： （Ⅰ）由 2cos 2 3 sin ( 0), x cos , y sin , 得
x2 y 2 2 x 2 3 y 0
即所求曲线 C 的直角坐标方程为: ( x 1)2 ( y 3)2 4 （Ⅱ）将直线 l 的参数方程代入曲线 C 的直角坐标方程，得
t2 2cos (2 2 3)sin t 2 3 1 0
sin B 2sin A cos A sin 2 A,
若 2 A B 则A C ，故舍，
B 2A
………………………………3 分
0 A 2 , 因 ABC 为锐角三角形，故 0 B 2 A , 2 0 C 3 A 2 ,
6 2 . 15 5
……………………………6 分
（Ⅱ）按方案 A 该扶贫户收益为: S A =5.5×5000=27500(元). 按方案 B 该扶贫户收益为:
SB 35 ( 7 3 40 ) (20000 25) 50 (20000 25) 5 (20000 25) 33600( 元) 50 50 50
PE EC 2 2， PD DE DB 2，
设 M 是 PC 的中点，则 EM ∥ DF 且 EM = DF 2 , PC 2 6 . 设点 B 到平面 PEC 的距离为 h ，
第二次诊断文科数学答案 第 2 页（共 4 页）
1 因 VB PEC S 3
PEC
第二次诊断文科数学答案 第 3 页（共 4 页）
……………4 分
1 1 当 x 0, , x (1, ) 时， f ( x) 0 ， f ( x) 在 0, 和 1, 上单调递增. 4 4
1 1 当 x ( ,1) 时， f ( x) 0 ， f ( x) 在 ,1 上单调递减. 4 4
解得
A , 6 4
所以所求角 A 的范围是 A ( , ).
3
6 4
……………………6 分 ……………………8 分
（Ⅱ）f ( A) 2cos A( 3 cos A sin A) 2sin(2 A ) 3 由
2 5 A 得 2A 6 4 3 3 6
第二次诊断文科数学答案 第 4 页（共 4 页）
3
2 .……10 分 3
又 f (1) 3, 所以所求切线方程为： y 3 5( x 1), 即 5x y 2 0. （Ⅱ）当 a 5 时， f ( x) 2 x2 5x 1 ln x 的定义域为 x 0, ，
f ( x) 4 x 5 1 (4 x 1)( x 1) x x
1 1 2 3 h ( 2 6 2) h h. 3 2 3
而 VB PEC VP EBC VP DBC
h 4 3 . 3
8 3
4 3 . 3
故 B 到面 PEC 的距离为
………………………………12 分
20.（本题满分 12 分） 解： （Ⅰ）由题设知 P 点为椭圆的上下顶点，故 a 2, b 1 故椭圆 C 方程为Biblioteka Baidu
x2 y2 1 2
………………4 分
（Ⅱ）设直线 l 的方程为 x my 1(m 0) ，联立
x2 2 y 2 2 0 x my 1
消 x 得 (m2 2) y 2 2my 1 0
设 A, B 坐标为 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ，则有
BC DF ,
DP DB, F是PB的中点，
DF PB
DF 平面PBC, 而PC 平面PBC,
DF PC .
………………………………6 分
1 1 8 （Ⅱ）设 DB m ，由三棱锥 P DBC 的体积 ( m 2m)m 得m DB 2, 3 2 3
……………5 分
由 M 是 AB 的中点知， t1 t2 0 即 2cos (2 2 3)sin 0 所以直线 l 的斜率为 k tan 23.（本题满分 10 分） 解： （Ⅰ）由 f ( x) a 3x b 得
ab ab . x 3 3
3 1 2
故有 1 3 f ( A) 2 3
f ( A) 的值域为 y 1 3 y 2 3
………………………………12 分
第二次诊断文科数学答案 第 1 页（共 4 页）
18.（本题满分 12 分） 解： （Ⅰ）单果直径落在[80，85）有 6 个，单果直径落在[85，90）有 12 个，比例为 1：2，所以应从单果直径落在[80，85）内抽取 2 个，记这两个为 a1,a2.从单果直径落 在[85， 90） 抽取 4 个， 记这四个为 b1,b2,b3，b4.从这 6 个中抽取两个的所有结果是： a1a2, a1b1, a1b2, a1b3, a1b4，a2b1, a2b2, a2b3, a2b4, b1b2, b1b3, b1b4, b2b3，b2b4，b3b4.共 15 种.这 2 个苹 果单果直径均在[85，90）内的有 6 种，所以 2 个苹果单果直径均在[85，90）内的概 率为 P
……………10 分
ab 1 3 由已知有： 解得 a 6, b 3 a b 3 3
…………5 分
（Ⅱ）由 x a
3
， y b
3
， 0 ，
得 x 2 y (a 2b) x a 2( y b) x a 2 x b
y1 y2 2m 1 ，又 x1 my1 1, x2 my2 1 , y1 y2 2 2 m 2 m 2
假设在 x 轴上存在这样的点 N (n,0) ，使得 x 轴是 ANB 的平分线，则有
k AN kBN 0
而 k AN kBN
…………………………7 分
1 解： （Ⅰ）若 a 0, 则 f ( x) 2 x2 1 ln x, f ( x) 4 x , x 故 f (1) 5, 即曲线 y f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线斜率为 5,
所以存在点 N (2,0) ，使得 ANB 的平分线是 x 轴.……12 分
1.
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16. 10,
三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17～21 题为必考 题，每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：共 60 分. 17.（本题满分 12 分） 解： （Ⅰ）由 b 2a cos A 及正弦定理，得
将 y1 y2 有 2m
2
2m 1 代入 2my1 y2 (1 n)( y1 y2 ) 0 , y1 y2 2 2 m 2 m 2
1 2m 2m(2 n) (1 n) 2 0 m 2 m 2 m2 2
即 2m(n 2) 0 因为 m 0 ，故 n 2 . 21.（本题满分 12 分）
y1 0 y2 0 y1 ( x2 n) y2 ( x1 n) x1 n x2 n ( x1 n)( x2 n)
y1 (my2 1 n) y2 (my1 1 n) 2my1 y2 (1 n)( y1 y2 ) 0 ( x1 n)( x2 n) ( x1 n)( x2 n)
SB S A ，所以，该精准扶贫户选择方案 B 收购收益更好.
……………………12 分
19. （本题满分 12 分） 解： （Ⅰ）
DE PD, DE DB,
DE 平面PDB,
又在图①中 BC BD, DE BD，
DE ∥ BC ,
BC 平面PDB, 而DF 平面PDB,
2019 年甘肃省第二次高考诊断文科数学考试参考答案及评分标准
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的. 1. C 2. D 3.B 4.A 5. C 6.D 7. C 8.D 9.B 10.C 11.A 12.A
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 13. 2 14. 2
……………8 分
（Ⅲ）由 f ( x) 2 x2 ax 1 ln x 得
f ( x)
1 4 x 2 ax 1 4x a x x
设 h( x) 4 x2 ax 1, a 2 16, 当 3 a ≤ 4 时， ≤ 0, 有 h( x) ≥ 0, 即 f ( x) ≥ 0, 故 f ( x) 在 x 0, 单调递增. 又 f (1) 3 a 0, f (e) 2e2 ae 2 e(2e a) 2 0, 所以 f ( x) 在 x 1, e 有唯一零点. ………………………………12 分
（二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中选定一题作答，并用 2B 铅笔在答题卡 上将所选题目对应的题号方框涂黑。按所涂题号进行评分，不涂、多涂均按所答第一题评 分；多答按所答第一题评分。 22.（本题满分 10 分） 解： （Ⅰ）由 2cos 2 3 sin ( 0), x cos , y sin , 得
x2 y 2 2 x 2 3 y 0
即所求曲线 C 的直角坐标方程为: ( x 1)2 ( y 3)2 4 （Ⅱ）将直线 l 的参数方程代入曲线 C 的直角坐标方程，得
t2 2cos (2 2 3)sin t 2 3 1 0
sin B 2sin A cos A sin 2 A,
若 2 A B 则A C ，故舍，
B 2A
………………………………3 分
0 A 2 , 因 ABC 为锐角三角形，故 0 B 2 A , 2 0 C 3 A 2 ,
6 2 . 15 5
……………………………6 分
（Ⅱ）按方案 A 该扶贫户收益为: S A =5.5×5000=27500(元). 按方案 B 该扶贫户收益为:
SB 35 ( 7 3 40 ) (20000 25) 50 (20000 25) 5 (20000 25) 33600( 元) 50 50 50
PE EC 2 2， PD DE DB 2，
设 M 是 PC 的中点，则 EM ∥ DF 且 EM = DF 2 , PC 2 6 . 设点 B 到平面 PEC 的距离为 h ，
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1 因 VB PEC S 3
PEC
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……………4 分
1 1 当 x 0, , x (1, ) 时， f ( x) 0 ， f ( x) 在 0, 和 1, 上单调递增. 4 4
1 1 当 x ( ,1) 时， f ( x) 0 ， f ( x) 在 ,1 上单调递减. 4 4
解得
A , 6 4
所以所求角 A 的范围是 A ( , ).
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6 4
……………………6 分 ……………………8 分
（Ⅱ）f ( A) 2cos A( 3 cos A sin A) 2sin(2 A ) 3 由
2 5 A 得 2A 6 4 3 3 6
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3
2 .……10 分 3
又 f (1) 3, 所以所求切线方程为： y 3 5( x 1), 即 5x y 2 0. （Ⅱ）当 a 5 时， f ( x) 2 x2 5x 1 ln x 的定义域为 x 0, ，
f ( x) 4 x 5 1 (4 x 1)( x 1) x x
1 1 2 3 h ( 2 6 2) h h. 3 2 3
而 VB PEC VP EBC VP DBC
h 4 3 . 3
8 3
4 3 . 3
故 B 到面 PEC 的距离为
………………………………12 分
20.（本题满分 12 分） 解： （Ⅰ）由题设知 P 点为椭圆的上下顶点，故 a 2, b 1 故椭圆 C 方程为Biblioteka Baidu
x2 y2 1 2
………………4 分
（Ⅱ）设直线 l 的方程为 x my 1(m 0) ，联立
x2 2 y 2 2 0 x my 1
消 x 得 (m2 2) y 2 2my 1 0
设 A, B 坐标为 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ，则有
BC DF ,
DP DB, F是PB的中点，
DF PB
DF 平面PBC, 而PC 平面PBC,
DF PC .
………………………………6 分
1 1 8 （Ⅱ）设 DB m ，由三棱锥 P DBC 的体积 ( m 2m)m 得m DB 2, 3 2 3
……………5 分
由 M 是 AB 的中点知， t1 t2 0 即 2cos (2 2 3)sin 0 所以直线 l 的斜率为 k tan 23.（本题满分 10 分） 解： （Ⅰ）由 f ( x) a 3x b 得
ab ab . x 3 3
3 1 2
故有 1 3 f ( A) 2 3
f ( A) 的值域为 y 1 3 y 2 3
………………………………12 分
第二次诊断文科数学答案 第 1 页（共 4 页）
18.（本题满分 12 分） 解： （Ⅰ）单果直径落在[80，85）有 6 个，单果直径落在[85，90）有 12 个，比例为 1：2，所以应从单果直径落在[80，85）内抽取 2 个，记这两个为 a1,a2.从单果直径落 在[85， 90） 抽取 4 个， 记这四个为 b1,b2,b3，b4.从这 6 个中抽取两个的所有结果是： a1a2, a1b1, a1b2, a1b3, a1b4，a2b1, a2b2, a2b3, a2b4, b1b2, b1b3, b1b4, b2b3，b2b4，b3b4.共 15 种.这 2 个苹 果单果直径均在[85，90）内的有 6 种，所以 2 个苹果单果直径均在[85，90）内的概 率为 P
……………10 分
ab 1 3 由已知有： 解得 a 6, b 3 a b 3 3
…………5 分
（Ⅱ）由 x a
3
， y b
3
， 0 ，
得 x 2 y (a 2b) x a 2( y b) x a 2 x b
y1 y2 2m 1 ，又 x1 my1 1, x2 my2 1 , y1 y2 2 2 m 2 m 2
假设在 x 轴上存在这样的点 N (n,0) ，使得 x 轴是 ANB 的平分线，则有
k AN kBN 0
而 k AN kBN
…………………………7 分
1 解： （Ⅰ）若 a 0, 则 f ( x) 2 x2 1 ln x, f ( x) 4 x , x 故 f (1) 5, 即曲线 y f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线斜率为 5,
所以存在点 N (2,0) ，使得 ANB 的平分线是 x 轴.……12 分