命题的四种形式1

下面我们将上述四种情 况概括一下 .
为原命题条件， 为原命题结论 为原命题结论， 若p为原命题条件，q为原命题结论，则： 为原命题条件 原命题： 原命题： 逆命题： 逆命题： 否命题： 否命题： 若 p ,则 q 若 q,则 p , 若 ¬p, 则 ¬q ,
逆否命题： 逆否命题：若 ¬q ,则 ¬p
从命题的角度去理解充要条件 设原命题为“ q”， 设原命题为“若p，则q”，则 若原命题为真， 充分条件; ①若原命题为真，则p是q的充分条件; 必要条件; 若逆命题为真， ②若逆命题为真，则p是q的必要条件; 若原命题和逆命题都为真, 充要条件; ③若原命题和逆命题都为真,则p是q的充要条件; 若原命题为真而逆命题为假, ④若原命题为真而逆命题为假,则p是q的充分不 必要条件; 必要条件; 若原命题为假而逆命题为真, ⑤若原命题为假而逆命题为真,则p是q的必要不 充分件; 充分件; 若原命题和逆命题都为假, ⑥若原命题和逆命题都为假,则p是q的既不充分 也不必要条件; 也不必要条件;
例题精讲
把下列命题改写成“ 例1. 把下列命题改写成“若p则q”的 则 的 形式，并写出它的逆命题、 形式，并写出它的逆命题、否命题 及逆否命题. 及逆否命题 （1）负数的平方是正数； ）负数的平方是正数； （2）正方形的四条边相等 ）正方形的四条边相等.
(1) 负数的平方是正数
原命题可以写成: 原命题可以写成: 若一个数是负数,则它的平方是正数; 若一个数是负数,则它的平方是正数;
命题的四种形式
例： (1)同位角相等，两直线平行; (1)同位角相等 两直线平行; 同位角相等， (2)两直线平行，同位角相等; (2)两直线平行 同位角相等; 两直线平行， (3)同位角不相等，两直线不平行; (3)同位角不相等 两直线不平行; 同位角不相等， (4)两条直线不平行，同位角不相等。 (4)两条直线不平行 同位角不相等。 两条直线不平行，
逆否命题: 逆否命题:
若一个四边形的四条边不相等,则它不是正方形; 若一个四边形的四条边不相等,则它不是正方形;
四种命题之间的关系: 四种命题之间的关系:
原命题
若p,则q 则 互 否
互逆
逆命题
若q,则p 则 互 否
否命题
若﹁p,则﹁q 则
互逆
逆否命题
若﹁q,则﹁p 则
观察与思考
？
是正弦函数， 是周期函数。 1）若f ( x)是正弦函数，则f ( x)是周期函数。(真)
一、命题的四种形式
(1)原命题：如果p，则q． (1)原命题 如果p 原命题： (2)条件和结论“换位”得 (2)条件和结论 换位” 条件和结论“ 如果q 这称为原命题的逆命题 逆命题； 如果q，则p，这称为原命题的逆命题； (3)条件和结论“换质”（分别否定）得 (3)条件和结论 换质” 分别否定） 条件和结论“ 如果非 这称为原命题的否命 如果非p，则非q，这称为原命题的否命 题； (4)条件和结论“换位”又“换质”得 (4)条件和结论 换位” 条件和结论“ 换质” 这称为原命题的逆否 如果非 如果非q，则非p，这称为原命题的逆否 命题； 命题；
4．写出命题“若a和b都是偶数，则a+b是 都是偶数， 写出命题“ 偶数”的否命题和逆否命题． 偶数”的否命题和逆否命题． 5．判断命题“若x+y≤5，则x≤2或y≤3”的 ≤2或 ≤3”的 判断命题“ x+y≤5， 真假. 真假.
6.写出命题“若 x y= 0 则 x = 0或 y = 写出命题“ 或 写出命题 0”的逆命题、否命题、逆否命题 的逆命题、否命题、 的逆命题
例2.设原命题是“当c>0时，若a>b，则 2.设原命题是 设原命题是“ >0时 ac>bc”，写出它的逆命题、否命题与逆否 ac>bc” 写出它的逆命题、 命题，并分别判断它们的真假. 命题，并分别判断它们的真假.
逆命题:当 解: 逆命题 当c >0 时，若ac >bc ，则a >b． 逆命题为真． =0， 逆命题为若x2+y2=0，则x , y全为 真 练习.写出命题： 练习.写出命题：“ 否命题:当 、否命题、逆否命题，并判 ”的逆命题、否命题、逆否命题， 零否命题 当c >0 时，若a ≤b ，则ac ≤ bc ． 的逆命题 断真假. 否命题为真 断真假. 否命题为真． 逆否命题:当 逆否命题 当c >0 时，若ac ≤ bc ，则a ≤b ． 逆否命题为真 逆否命题为真．
是周期函数， 是正弦函数。 2）若f ( x)是周期函数，则f ( x)是正弦函数。 (假)
( 3）若f ( x)不是正弦函数，则f ( x)不是周期函数。 假) 不是正弦函数， 不是周期函数。
4）若f ( x)不是周期函数，则f ( x)不是正弦函数。(真) 不是周期函数， 不是正弦函数。
你能判断它们 的真假性吗? 的真假性吗?
原命题可以写成: 原命题可以写成: 若一个四边形是正方形,则它的四条边相等; 若一个四边形是正方形,则它的四条边相等;
逆命题: 逆命题:
若一个四边形的四条边相等,则它是正方形; 若一个四边形的四条边相等,则它是正方形;
否命题: 否命题:
若一个四边形不是正方形,则它的四条边不相等; 若一个四边形不是正方形,则它的四条边不相等;
3．把下列命题写成“若p则q”的形式，并 把下列命题写成“ 的形式， 判断其真假. 判断其真假. (1)实数的平方是非负数； (1)实数的平方是非负数 实数的平方是非负数； (2)等底等高的两个三角形是全等三角形； (2)等底等高的两个三角形是全等三角形 等底等高的两个三角形是全等三角形； (3)能被6整除的数既能被3整除也能被2整 (3)能被 整除的数既能被3整除也能被2 能被6 除； (4)弦的垂直平分线经过圆心，并平分弦所 (4)弦的垂直平分线经过圆心 弦的垂直平分线经过圆心， 对的弧. 对的弧.
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四种命题的真假性是否有一定的相互关系呢？ 四种命题的真假性是否有一定的相互关系呢？
例子： ）原命题： 例子： 1）原命题：若x=2或x=3, 则x2-5x+6=0。 (真) 真 或 。 (真) 真 逆命题： 逆命题：若x2-5x+6=0, 则x=2或x=3。 或 。 (真) 真 否命题： 否命题：若x≠2且x≠3, 则x2-5x+6≠0 。 且 逆否命题： (真) 逆否命题：若x2-5x+6≠0，则x≠2且x≠3。 ， 且 。 真 2）原命题：若a=0, 则ab=0。 (真) ）原命题： 。 真 (假) 假 逆命题： 逆命题：若ab=0, 则a=0。 。 否命题： (假) 否命题：若a≠ 0, 则ab≠0。 。 假 逆否命题： (真) 逆否命题：若ab≠0,则a≠0。 则 。 真 3) 原命题：若a > b, 则 ac2>bc2。 原命题： （假） （真） 逆命题： 逆命题：若ac2>bc2,则a>b。 则 。 （真） 否命题： 否命题：若a≤b,则ac2≤bc2。 则 （假） 逆否命题： 逆否命题：若ac2≤bc2,则a≤b。 则 。
想一想： 由以上三例我们能发现什么？ 想一想： 由以上三例我们能发现什么？
结 论：
原命题与逆否命题同真假。 原命题与逆否命题同真假。 （ 1） 原命题的逆命题与否命题同真假。 原命题的逆命题与否命题同真假。
p⇒q⇔¬q⇒¬p ⇒ ⇔ ⇒
（2）两个命题为互逆命题或互否命题,它们的真假性 两个命题为互逆命题或互否命题, 没有关系。 没有关系。
┓(p或 )=(┓ )=(┓p) (┓q) ┓( 或q)=(┓ )且(┓ ) ┓(p且q)=(┓ )或(┓q) ┓( 且 )=(┓p) (┓ ) )=(┓
7. 下列四个命题中真命题是 ①“若xy=1，则x、y互为倒数”的逆命题 ①“若 ， 、 互为倒数” 互为倒数 ②“面积相等的三角形全等” ②“面积相等的三角形全等”的否命题 面积相等的三角形全等 ③“若m≤1，则方程x2－2x+m=0有实根” ③“若m≤1，则方程x 2x+m=0有实根” 有实根 的逆否命题 ④“若 ④“若A∩B=B，则A⊆ B”的逆否命题 ， 的逆否命题 A.①② ①② C.①②③ ①②③ B.②③ ②③ D.③④ ③④
逆命题: 若一个数的平方是正数,则它是负数; 逆命题: 若一个数的平方是正数,则它是负数; 否命题: 否命题:
若一个数不是负数,则它的平方不是正数; 若一个数不是负数,则它的平方不是正数;
逆否命题: 逆否命题:
若一个数的平方不是正数,则它不是负数; 若一个数的平方不是正数,则它不是负数;
(2) 正方形的四条边相等
练习： 练习：
1．命题“内错角相等，则两直线平行” 命题“内错角相等，则两直线平行” 的否命题为（ 的否命题为（ ） A．两直线平行，内错角相等 两直线平行， B．两直线不平行，则内错角不相等 两直线不平行， C．内错角不相等，则两直线不平行 内错角不相等， D．内错角不相等，则两直线平行 内错角不相等， 2．写出“若x2+y2=0，则x=0且y=0”的逆否 写出“ =0， =0且 =0”的逆否 命题： 命题： ；