命题的四种形式1

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逆否命题: 逆否命题:
若一个四边形的四条边不相等,则它不是正方形; 若一个四边形的四条边不相等,则它不是正方形;
四种命题之间的关系: 四种命题之间的关系:
原命题
若p,则q 则 互 否
互逆
逆命题
若q,则p 则 互 否
否命题
若﹁p,则﹁q 则
互逆
逆否命题
若﹁q,则﹁p 则
观察与思考

是正弦函数, 是周期函数。 1)若f ( x)是正弦函数,则f ( x)是周期函数。(真)
练习: 练习:
1.命题“内错角相等,则两直线平行” 命题“内错角相等,则两直线平行” 的否命题为( 的否命题为( ) A.两直线平行,内错角相等 两直线平行, B.两直线不平行,则内错角不相等 两直线不平行, C.内错角不相等,则两直线不平行 内错角不相等, D.内错角不相等,则两直线平行 内错角不相等, 2.写出“若x2+y2=0,则x=0且y=0”的逆否 写出“ =0, =0且 =0”的逆否 命题: 命题: ;
逆命题: 若一个数的平方是正数,则它是负数; 逆命题: 若一个数的平方是正数,则它是负数不是负数,则它的平方不是正数;
逆否命题: 逆否命题:
若一个数的平方不是正数,则它不是负数; 若一个数的平方不是正数,则它不是负数;
(2) 正方形的四条边相等
原命题可以写成: 原命题可以写成: 若一个四边形是正方形,则它的四条边相等; 若一个四边形是正方形,则它的四条边相等;
逆命题: 逆命题:
若一个四边形的四条边相等,则它是正方形; 若一个四边形的四条边相等,则它是正方形;
否命题: 否命题:
若一个四边形不是正方形,则它的四条边不相等; 若一个四边形不是正方形,则它的四条边不相等;
下面我们将上述四种情 况概括一下 .
为原命题条件, 为原命题结论 为原命题结论, 若p为原命题条件,q为原命题结论,则: 为原命题条件 原命题: 原命题: 逆命题: 逆命题: 否命题: 否命题: 若 p ,则 q 若 q,则 p , 若 ¬p, 则 ¬q ,
逆否命题: 逆否命题:若 ¬q ,则 ¬p
命题的四种形式
例: (1)同位角相等,两直线平行; (1)同位角相等 两直线平行; 同位角相等, (2)两直线平行,同位角相等; (2)两直线平行 同位角相等; 两直线平行, (3)同位角不相等,两直线不平行; (3)同位角不相等 两直线不平行; 同位角不相等, (4)两条直线不平行,同位角不相等。 (4)两条直线不平行 同位角不相等。 两条直线不平行,
四种命题的真假性是否有一定的相互关系呢? 四种命题的真假性是否有一定的相互关系呢?
例子: )原命题: 例子: 1)原命题:若x=2或x=3, 则x2-5x+6=0。 (真) 真 或 。 (真) 真 逆命题: 逆命题:若x2-5x+6=0, 则x=2或x=3。 或 。 (真) 真 否命题: 否命题:若x≠2且x≠3, 则x2-5x+6≠0 。 且 逆否命题: (真) 逆否命题:若x2-5x+6≠0,则x≠2且x≠3。 , 且 。 真 2)原命题:若a=0, 则ab=0。 (真) )原命题: 。 真 (假) 假 逆命题: 逆命题:若ab=0, 则a=0。 。 否命题: (假) 否命题:若a≠ 0, 则ab≠0。 。 假 逆否命题: (真) 逆否命题:若ab≠0,则a≠0。 则 。 真 3) 原命题:若a > b, 则 ac2>bc2。 原命题: (假) (真) 逆命题: 逆命题:若ac2>bc2,则a>b。 则 。 (真) 否命题: 否命题:若a≤b,则ac2≤bc2。 则 (假) 逆否命题: 逆否命题:若ac2≤bc2,则a≤b。 则 。
例2.设原命题是“当c>0时,若a>b,则 2.设原命题是 设原命题是“ >0时 ac>bc”,写出它的逆命题、否命题与逆否 ac>bc” 写出它的逆命题、 命题,并分别判断它们的真假. 命题,并分别判断它们的真假.
逆命题:当 解: 逆命题 当c >0 时,若ac >bc ,则a >b. 逆命题为真. =0, 逆命题为若x2+y2=0,则x , y全为 真 练习.写出命题: 练习.写出命题:“ 否命题:当 、否命题、逆否命题,并判 ”的逆命题、否命题、逆否命题, 零否命题 当c >0 时,若a ≤b ,则ac ≤ bc . 的逆命题 断真假. 否命题为真 断真假. 否命题为真. 逆否命题:当 逆否命题 当c >0 时,若ac ≤ bc ,则a ≤b . 逆否命题为真 逆否命题为真.
想一想: 由以上三例我们能发现什么? 想一想: 由以上三例我们能发现什么?
结 论:
原命题与逆否命题同真假。 原命题与逆否命题同真假。 ( 1) 原命题的逆命题与否命题同真假。 原命题的逆命题与否命题同真假。
p⇒q⇔¬q⇒¬p ⇒ ⇔ ⇒
(2)两个命题为互逆命题或互否命题,它们的真假性 两个命题为互逆命题或互否命题, 没有关系。 没有关系。
例题精讲
把下列命题改写成“ 例1. 把下列命题改写成“若p则q”的 则 的 形式,并写出它的逆命题、 形式,并写出它的逆命题、否命题 及逆否命题. 及逆否命题 (1)负数的平方是正数; )负数的平方是正数; (2)正方形的四条边相等 )正方形的四条边相等.
(1) 负数的平方是正数
原命题可以写成: 原命题可以写成: 若一个数是负数,则它的平方是正数; 若一个数是负数,则它的平方是正数;
是周期函数, 是正弦函数。 2)若f ( x)是周期函数,则f ( x)是正弦函数。 (假)
( 3)若f ( x)不是正弦函数,则f ( x)不是周期函数。 假) 不是正弦函数, 不是周期函数。
4)若f ( x)不是周期函数,则f ( x)不是正弦函数。(真) 不是周期函数, 不是正弦函数。
你能判断它们 的真假性吗? 的真假性吗?
一、命题的四种形式
(1)原命题:如果p,则q. (1)原命题 如果p 原命题: (2)条件和结论“换位”得 (2)条件和结论 换位” 条件和结论“ 如果q 这称为原命题的逆命题 逆命题; 如果q,则p,这称为原命题的逆命题; (3)条件和结论“换质”(分别否定)得 (3)条件和结论 换质” 分别否定) 条件和结论“ 如果非 这称为原命题的否命 如果非p,则非q,这称为原命题的否命 题; (4)条件和结论“换位”又“换质”得 (4)条件和结论 换位” 条件和结论“ 换质” 这称为原命题的逆否 如果非 如果非q,则非p,这称为原命题的逆否 命题; 命题;
┓(p或 )=(┓ )=(┓p) (┓q) ┓( 或q)=(┓ )且(┓ ) ┓(p且q)=(┓ )或(┓q) ┓( 且 )=(┓p) (┓ ) )=(┓
7. 下列四个命题中真命题是 ①“若xy=1,则x、y互为倒数”的逆命题 ①“若 , 、 互为倒数” 互为倒数 ②“面积相等的三角形全等” ②“面积相等的三角形全等”的否命题 面积相等的三角形全等 ③“若m≤1,则方程x2-2x+m=0有实根” ③“若m≤1,则方程x 2x+m=0有实根” 有实根 的逆否命题 ④“若 ④“若A∩B=B,则A⊆ B”的逆否命题 , 的逆否命题 A.①② ①② C.①②③ ①②③ B.②③ ②③ D.③④ ③④
4.写出命题“若a和b都是偶数,则a+b是 都是偶数, 写出命题“ 偶数”的否命题和逆否命题. 偶数”的否命题和逆否命题. 5.判断命题“若x+y≤5,则x≤2或y≤3”的 ≤2或 ≤3”的 判断命题“ x+y≤5, 真假. 真假.
6.写出命题“若 x y= 0 则 x = 0或 y = 写出命题“ 或 写出命题 0”的逆命题、否命题、逆否命题 的逆命题、否命题、 的逆命题
3.把下列命题写成“若p则q”的形式,并 把下列命题写成“ 的形式, 判断其真假. 判断其真假. (1)实数的平方是非负数; (1)实数的平方是非负数 实数的平方是非负数; (2)等底等高的两个三角形是全等三角形; (2)等底等高的两个三角形是全等三角形 等底等高的两个三角形是全等三角形; (3)能被6整除的数既能被3整除也能被2整 (3)能被 整除的数既能被3整除也能被2 能被6 除; (4)弦的垂直平分线经过圆心,并平分弦所 (4)弦的垂直平分线经过圆心 弦的垂直平分线经过圆心, 对的弧. 对的弧.
从命题的角度去理解充要条件 设原命题为“ q”, 设原命题为“若p,则q”,则 若原命题为真, 充分条件; ①若原命题为真,则p是q的充分条件; 必要条件; 若逆命题为真, ②若逆命题为真,则p是q的必要条件; 若原命题和逆命题都为真, 充要条件; ③若原命题和逆命题都为真,则p是q的充要条件; 若原命题为真而逆命题为假, ④若原命题为真而逆命题为假,则p是q的充分不 必要条件; 必要条件; 若原命题为假而逆命题为真, ⑤若原命题为假而逆命题为真,则p是q的必要不 充分件; 充分件; 若原命题和逆命题都为假, ⑥若原命题和逆命题都为假,则p是q的既不充分 也不必要条件; 也不必要条件;
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