高中数学集合知识讲解

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集合

一、章节结构图

二、复习指导

1．新课标知识点梳理

在高中数学中，集合的初步知识与常用逻辑用语知识，与其它内容有着密切联系，它们是学习、掌握和使用数学语言的基础，准确表述数学内容，更好交流的基础．

集合知识点及其要求如下：

1．集合的含义与表示

(1)通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系．

(2)能选择自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题，感受

集合语言的意义和作用．

2．集合间的基本关系

(1)理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集．

(2)在具体情境中，了解全集与空集的含义．

3．集合的基本运算

(1)理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集．

(2)理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集．

(3)能使用Venn 图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用．

1．1 集合的概念及其运算(一)

(一)复习指导

本节主要内容：理解集合、子集、交集、并集、补集的概念，了解空集和全集的意义，了解属于、包含、相等关系的意义，会用集合的有关术语和符号表示一些简单\的集合．高考中经常把集合的概念、表示和运算放在一起考查．因此，复习中要把重点放在准确理解集合概念、正确使用符号及准确进行集合的运算上．

1．集合的基本概念

(1)某些指定的对象集在一起就成为一个集合．集合中每个对象叫做这个集合的元素．集合中的元素是确定的、互异的，又是无序的．

(2)不含任何元素的集合叫做空集，记作．

(3)集合可分为有限集与无限集．

(4)集合常用表示方法：列举法、描述法、大写字母法、图示法及区间法．

(5)元素与集合间的关系运算；属于符号记作“∈”；不属于，符号记作“∉”．

2．集合与集合的关系

对于两个集合A 与B ，如果集合A 的任何一个元素都是集合B 的元素，就说集合B 包含集合A ，记作A ⊆B (读作A 包含于B )，这时也说集合A 是集合B 的子集．也可以记作B ⊇A (读作B 包含A )

①子集有传递性，若A ⊆B ，B ⊆C ，则有A ⊆C .

②空集是任何集合的子集，即⊆A

③真子集：若A ⊆B ，且至少有一个元素b ∈B ，而b ∉A ，称A 是B 的真子集．记作A B (或B ∉A )． ④若A ⊆B 且B ⊆A ，那么A =B

⑤含n (n ∈N*)个元素的集合A 的所有子集的个数是：2的n 次方个．

(二)解题方法指导 例1．选择题：

(1)不能形成集合的是( )

(A)大于2的全体实数

(B)不等式3x －5＜6的所有解

(C)方程y =3x +1所对应的直线上的所有点

(D)x 轴附近的所有点

(2)设集合62},23|{=≥=x x x A ，则下列关系中正确的是( )

文档来源为:从网络收集整理.word 版本可编辑.欢迎下载支持. (A)x A

(B)x ∉A (C){x }∈A (D){x }A (3)设集合},214|{},,412|{Z Z ∈+==∈+=

=k k x x N k k x x M ，则( ) (A)M =N

(B)M N (C)M N (D)M ∩N =

例2．已知集合}68{N N ∈-∈=x

x A ，试求集合A 的所有子集． 例3．已知A ={x ｜－2＜x ＜5}，B ={x ｜m +1≤x ≤2m －1}，B ≠，且B ⊆A ，求m 的取值范围．

例4*．已知集合A ={x ｜－1≤x ≤a }，B ={y ｜y =3x －2，x ∈A }，C ={z ｜z =x 2，x ∈A }，若C ⊆B ，求实数a 的取值范围． 1．2集合的概念及其运算(二)

(一)复习指导

(1)补集：如果A ⊆S ，那么A 在S 中的补集s A ={x ｜x ∈S ，且x ≠A }．

(2)交集：A ∩B ={x ｜x ∈A ，且x ∈B }

(3)并集：A ∪B ={x ｜x ∈A ，或x ∈B }这里“或”包含三种情形：

①x ∈A ，且x ∈B ；②x ∈A ，但x ∉B ；③x ∈B ，但x ∉A ；这三部分元素构成了A ∪B

(4)交、并、补有如下运算法则

全集通常用U 表示．

U (A ∩B )=(U A )∪(U B )；A ∩(B ∪C )=(A ∩B )∪(A ∩C )

U (A ∪B )=(U A )∩(U B )；A ∪(B ∩C )=(A ∪B )∩(A ∪C )

(5)集合间元素的个数：

card (A ∪B )=card (A )+card (B )－card (A ∩B )

集合关系运算常与函数的定义域、方程与不等式解集，解析几何中曲线间的相交问题等结合，体现出集合语言、集合思想在其他数学问题中的运用，因此集合关系运算也是高考常考知识点之一．

(二)解题方法指导

例1．(1)设全集U ={a ，b ，c ，d ，e }．集合M ={a ，b ，c }，集合N ={b ，d ，e }，那么(U M )∩(U N )是( )

(A) (B){d } (C){a ，c } (D){b ，e }

(2)全集U ={a ，b ，c ，d ，e }，集合M ={c ，d ，e }，N ={a ，b ，e }，则集合｛a ，b }可表示为( )

(A)M ∩N (B)(U M )∩N (C)M ∩(U N ) (D)(U M )∩(U N )

例2．如图，U 是全集，M 、P 、S 为U 的3个子集，则下图中阴影部分所表示的集合为( )

(A)(M ∩P )∩S (B)(M ∩P )∪S

(C)(M ∩P )∩(U S ) (D)(M ∩P )∪(U S )

例3．(1)设A ={x ｜x 2－2x －3=0}，B ={x ｜ax =1}，若A ∪B =A ，则实数a 的取值集合为____；

(2)已知集合M ={x ｜x －a =0}，N ={x ｜ax －1=0}，若M ∩N =M ，则实数a 的取值集合为____．

例4．定义集合A －B ={x ｜x ∈A ，且x ∉B}．

(1)若M ={1，2，3，4，5}，N ={2，3，6}则N －M 等于( )

(A)M (B)N (C)｛1，4，5 } (D){6}

(2)设M 、P 为两个非空集合，则M －(M －P )等于( )

(A)P (B)M ∩P (C)M ∪P (D)M

例5．全集S ={1，3，x 3+3x 2+2x }，A ={1，|2x －1|}.如果sA ={0}，则这样的实数x 是否存在?若存在，求出x ；若不存在，请说明理由．

例 题 解 析

1．1 集合的概念及其运算(1)

例1分析：(1)集合中的元素是确定的、互异的，又是无序的；(2)注意“∈”与“⊆”以及x 与{x }的区别；(3)可利用特殊值法，或者对元素表示方法进行转换．

解：(1)选D ．“附近”不具有确定性．(2)选D ．(3)选B ．