双线性变换法

二、性能分析1
• 1.解决了冲激不变法的混叠失真问题。 2 1 z 1 s • 2.它是一种简单的代数关系。 T 1 z 1 只须将上述关系代入AF的Ha(s)中（对直接、级联、 并联结构都适用）即可求出DF的H(z),设计十分方 便。 2 tan( ) • 3.由于双线性变换中， T 2 • 即模拟角频率与数字角频率存在非线性关系。 • 所以双线性变换避免了混叠失真，却又带来了非 线性的频率失真。
2、双线性变换法的映射关系
• 实现S平面与Z平面一一对应的关系。
S平 面
j
S1平 面
j1
Z平 面
j Im[ z ]

第一次变换： 频率压缩

第二次变换：数字 化
Re[ z ]
3、双线性变换法的映射规则
• 双线性变换法的映射规则： （1）频率压缩：把整个S平面压缩变换到某一中 介的S1平面的一条横带里。 • （2）数字化：将S1平面通过标准变换关系 • 变换到z平面。
， 2
2
， 3
3
， 4
4
三、设计流程
2 • 1.根据要求，设定指标。 2 tg ( ) • 2.将各分段频率临界点预畸变。 T 2 • 3.将数字滤波器的性能指标转换为中间模拟滤波器 的性能指标。 • 4.根据设计要求，选定双线性变换常数C。 • 5.设计中间模拟滤波器的系统函数 Ha(s). 1 z 1 • 6.将 S C 代入Ha(s)中，得 1 1 z 到DF 的H(z). ctg (
双线性变换法
• 冲激不变法（和阶跃响应）：是使数字滤波器 在时域上模仿模拟滤波器，但它的缺点：产生 频率响应的混叠失真。这是由于从S平面->Z平 面是多值的映射关系所造成的。为了克服这一 缺点，我们采用双线性变换法
2
一、变换原理 1、定义
• 双线性变换法：是从频域出发，使DF的频率响 应与AF的频率响应相似的一种变换法。
二、性能分析4
• 6.对于分段常数型AF滤波器，经双线性变换后， 仍得到幅频特性为分段常数的DF.但在各个分段 边缘的临界频率点产生畸变，这种频率的畸变， 可通过频率预畸变加以校正。
例1
• 一个线性相位的模拟滤波器经双线性变换后 得到非线性相位的数字滤波器，不再保持原 有的线性相位。如一个模拟微分器将不能通 过双线性变换成为数字微分器。
（3）变换常数C的选择2
（b)利用DF 的某一特定频率（例截止频率 c ) 与AF的某一特定频率 c 严格相对应。 cT 即： c C tan( ) 2 cT 2f c c c ctg ( ) c ctg 2 2 fs f c c cot( ) fs 看出：此方法优点：是在特定AF和特定DF 处， 频率响应是严格相等的， 它可以较准确地控制截止频率的位置。

) |在低频处
二、性能分析2
• 4.双线性变换法不适用于设计： • （1）设计线性相位的DF • （2）它要求AF的幅频响应是分段常数型.(即幅 度变换是线性的）。（一般低通，高通，带通， 带阻型滤波器的频率响应特性都是分段常数）
二、性能分析3
• 5.同时，看出双线性变换： • （1）在零频附近，模拟角频率与数字角频率变 2 换关系接近线性关系。 T 2 • （2）又要求AF的幅频响应是分段常数型，即幅 度变换是线性的 • 所以称之为双线性变换。 • 频率升高时，非线性失真严重。
（3）变换常数C的选择1
• 调节C，可使AF与DF在不同频率点处有对应的关 系。 • （a）使AF与DF在低频处有较确切的对应关系。
T 1T 1T 1T T tan( ) 2 2 2 2 1T 由 C tan( )C 2 2 2 C T
• 看出在低频处，AF的低频特性近似等于DF的低 频特性。
数字
2 tan
1
H a ( j)
2 1
( ) c
H a ( j)
1 2

模拟微分器
1 2

例2--1
• 对于分段常数的滤波器，双线性变换后，仍得到幅 频特性为分段常数的滤波器，但是各个分段边缘临 界频率点产生了畸变。这种频率的畸变，可以通过 频率的预畸变加以校正，也就是临界频率事先加以 畸变，然后经变换后正好映射到所需要的频率。
ze
s1T
（1）频率压缩
• 把整个S平面压缩变换到某一中介的S1平面的一 条横带里。
1T ) 2
tan(
1
2 宽度为 ，从 , 采用如下变换关系： T T T 1T tan 这样满足： 2 ，1 , 0，1 0 T 1T 又 s j j tan 2 sT j T j T sT
1
1 e s 1 e s1T
s1T

e e
2

e

1
1
2 j T 1 2
j1T 2

e e
2

e

1
2 s1T 2
e
s1T 2
e
s1T th( ) 2
（2）数字化
j
• 将S1平面通过标准变换关系变换到z平面。
s1T j1T
ze e e , 此时，1T ，s1 z 则可得到s平面 z平面的单值映射关系： 1 z 1 1 s s 或z 1 1 s 1 z 以后变换只须用上面公式带入即可。 实际中，为了使模拟滤波器的某一频率 与数字化滤波器的任一频率有对应的关系， 要引入常数C 1T C tan( ） C tan( ) 2 2 s1T s1T 1 e s C th( )C s1T 2 1 e 1 1 z Cs s1T 代入zHale Waihona Puke Baidu e 可得：s C ,z 1 Cs 1 z
例2--2
如要求数字带通滤波器的四个截止频率 (即临界频率)为 1， 2 , 3 , 4 , 如按线性变换所对应的模拟滤波器 的四个截止频率分别为： 1
1
T T T T 1 T 如果用非线性的频率变换关系： 2tg ( ) 2 显然就不等于原来要求的 1， 2 , 3 , 4。 因此，要将频率加以预畸变，即利用 2 tg ( ），将以上这组数字频率 1， 2 , 3 , 4 T 2 变换成一组模拟频率1， 2 , 3 , 4