等量替换法解题的五种途径

等量替换法解题常见的五种途径

等量替换法能够架起未知和已知之间的桥梁，使生疏的求证变化为熟悉的需证，迅速收到激活解题的思路的的效果，下面举例分析：

1、等线段替换法

（1）、轴对称法

例1、 如图1，△ABC 中，AB=AC ，AD 是中线，P 是AD 上一点，

过C 作C E ∥AB ，延长BP 交AC 于E ，交CF 于F ，求证BP 2=P E ·PF 。

分析：三条线段BP 、P E 、PF 在同一条直线上，无法通过相似法直接

求证，但考虑到AD 垂直平分BC ，连结PC ，则BP=PC ，

可转化为证PC 2=P E ·PF ，这样，只需证△PC E ∽△PFC 即可。

(2)平移法

例2、如图2，在梯形ABCD 中,，AD ∥BC ，对角线

A C ⊥BD 于点O ，且AC=5cm ，BD=12cm ，

则梯形的中位线等于 。（2007年天津市中考题）

分析：对角线A C 、BD 比较分散，

故此，考虑将其中的一条对角线平移

到梯形外，见图2，这样，对角线A C 、

BD 集中在一个Rt △ＢＤＥ中。

答案：6．5cm 。

（3）中心对称法（亦称中线加倍法）

例3、如图3，在△ABC 中，AD 是BC

边上的中线，若AB=8，AC=6，则AD

的取值范围是 。

分析：考虑到D 是BC 边的中点，因此，

作出△ABD 关于点D 的中心对称△ECD ，

将AB 、AC 集中在△ACE 中。答案：1＜AD ＜7。

2、等角替换法

例4、在△ABC 中，AB=AC ，BD 是AC 边

上的高，若AB ：BC=13：10，则tanCBD

= 。

分析：求tanCBD 的值，而∠CBD 的对边与

邻边都是未知的，此时，根据同一角的正切

三角函数值相等，用一个和它相等的角去替换，

问题就解决了。

解：如图4，作A E ⊥BC 于点E ，则BE=CE 。∵BD 是

AC 边上的高，∴∠CBD=∠CAE 。在Rt △ACE 中，设AC=13k ，

CE=5k ，则AE=12k ，tanCBD=tanCAE=

512。

3、全等形替换法

例5、已知：在△ABC 和△A ′B ′C ′中，AB ：A ′B ′=AC ：

A ′C ′=BC ：

B ′

C ′，求证：△ABC ∽△A ′B ′C ′。

分析：这是教材中相似的判定定理，它是在学了预备定理（平行于三角形一边的直线截其

他两边所构成的三角形与原三角形相似）

后给出的，直接证明相似较难，

此时，能找一个三角形与其中

的一个三角形既相似，又与另

一个三角形全等，问题就解决了。

证明：如图5，在A ′B ′边上截取A ′D

=AB ，过D 作DE ∥AB ，交A ′C ′于点E ，则

△A ′DE ∽△A ′B ′C ′，∴A ′D :A ′B ′=

A ′E ： A ′C ′=DE ：

B ′

C ′，∴A ′E ： A ′C ′

=AC ： A ′C ′，DE ：B ′C ′= BC ：B ′C ′，

∴A ′E=AC ，DE=BC ，∴△AB C ≌△A ′DE ，∴△ABC ∽△A ′B ′C ′。

4、“中介比”传递法

例6：如图6，在△ABC 中，

∠ACB=90°，以BC 为边向

外作正方形BEDC ，连结AE

交BC 于点F ，过点F 作FG ∥

BE 交AB 于点G ，求证：FG=FC 。

分析：图6中，既有平截“A ”字形，

又有平截“X ”字形，可考虑通过相似

得比例式证两条线段相等。

证明：FG ∥BE ⇒△AFG ∽△ABE ⇒

AE AF BE FG

=

，FC ∥ED ⇒△AFC ∽△AED ⇒，AE AF

DE FC

=∴DE FC

BE FG

=，∵BE= DE ，∴FG=FC 。

5、等积替换法

是求不规则图形面积常用的转化方法，常见的原则是同底（同高）等高（等底）的三角形面积相等。

例7、如图7，半圆的直径AB=10，P 为AB 上一点，点C 、D 为半圆的三等分点，则阴影部分的面积等于 。（2007年乐山中考题）

分析与解：点C 、D 为半圆的三等分点，

∴∠AOC=∠COD=∠BOD=60°,

△COD 为等边三角形，∴∠OCD=60°,

∴CD ∥AB ，∴S △PCD =S △OCD , ∴S

阴影=S 扇形COD =625∏。