高等数学 函数连续与间断

f ( x ) 在点 x 0 连续, x 0 称为 f ( x ) 的连续点.
设 x x0 x ,
y f ( x ) f ( x0 ),
x 0 就是 x x0 , y 0 就是 f ( x ) f ( x0 ).
定义 2
设函数 f ( x ) 在U ( x0 ) 内有定义, 如果
连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线.
例如,有理函数在区间(,)内是连续的.
例3 证明函数 y sin x在区间( ,)内连续. 证
任取 x (,),
x x cos( x ) 2 2 x 则 y 2 sin . 2
y sin( x x ) sin x 2 sin
高等数学
1.6函数的连续性与间断点
一 函数的连续性
二 函数的间断点类型 三 小结与思考判断题
◆函数的连续性(continuity)
定性的描述
1.6.1、函数连续的定义 气温的变化，河水的流动，植物的生长等都是连 续地变化着，反映在函数关系上是函数的连续性。 当时间变化很微小时，气温的变化也很微小，一 般的，当自变量改变很微小时，因变量也很微小，这 个特性称为连续性。 连续函数在图像上是一条连续无间断点的曲线。
定理 函数 f ( x )在 x0 处连续 是函数 f ( x )在 x0
处既左连续又右连续.
x 2 , x 0, 例2 讨论函数 f ( x ) 在 x 0处的 x 2, x 0, 连续性.
f ( x ) lim ( x 2) 2 f (0), 解 lim
lim f ( x ) lim f ( x)
x 1
y
2 1 x o 1
在x 1处 有 定 义 但 lim f ( x ) f (1)
x 1
x
y
x
o
x
x 1
二、函数的间断点及其类型
条件 : 定义5 函数 f ( x )在点 x0处连续必须满足的三个
(1) f ( x )在点x0处有定义;
1 x sin , x 0, 例1 试证函数 f ( x ) 在x 0 x x 0, 0, 处连续. 1 证 lim x sin 0, x0 x
又 f (0) 0,
lim f ( x ) f (0), x 0
由定义2知
函数 f ( x )在 x 0处连续.
(1)
x 1 f ( x) x 1
2
(2)
x 1 x 1 f ( x) x 1 1
1 f ( x) 2 ( x 1)
(3)
x 1 x 1 f ( x) 2 x 1 x
(4)
f ( x)在x 1处无定义
y 2 1 o 1 y 2 1 o 1
y
0
y
x x0 x 0 x x
x
0
x0
x 0 x
x
2.连续的定义
定义 1
设函数 f ( x ) 在U ( x0 ) 内有定义,如 或
果当自变量的增量x 趋向于零时,对应的函
lim y 0 数的增量y 也趋向于零,即 x0
x 0
lim [ f ( x 0 x ) f ( x 0 )] 0 ,那末就称函数
( 2) lim f ( x )存在;
x x0
( 3) lim f ( x ) f ( x 0 ).
x x0
如果上述三个条件中只 要有一个不满足, 则称 函数 f ( x )在点 x0处不连续(或间断), 并称点 x0为
f ( x )的不连续点(或间断点 ).
依据间断的程度不同 间断点分为第一类间断点与第二类间断点. 第一类间断点 如果 f ( x ) 在间断点 x0 处左右极限
x cos( x ) 1, 2
对任意的, 当 0时,
有 sin ,
源自文库
x 当x 0时, y 0. 故 y 2 sin x , 2 即函数 y sin x对任意 x (,)都是连续的.
例4、 判断下列函数在x=1处是否连续，并画出图像
3.单侧连续 定义3 若函数f ( x )在(a , x 0 ]内有定义, 且f ( x 0 0) f ( x 0 ),
则称f ( x )在点x 0处左连续;
定义4 若函数f ( x )在[ x 0 , b)内有定义, 且f ( x 0 0) f ( x 0 ),
则称f ( x )在点x 0处右连续.
x 0 x 0
lim f ( x ) lim( x 2) 2 f (0),
x 0 x 0
右连续但不左连续 ,
故函数 f ( x )在点 x 0处不连续.
4.连续函数与连续区间 在区间上每一点都连续的函数,叫做在该区间上 的连续函数,或者说函数在该区间上连续.
如果函数在开区间 (a , b)内连续, 并且在左端点 x a处右连续, 在右端点 x b处左连续, 则称 函数 f ( x )在闭区间 [a , b]上连续.
y
o
x
一、函数的连续性
1.函数的增量
设函数 f ( x )在U ( x0 )内有定义, x U ( x0 ),
x x x0 , 称为自变量在点 x0的增量. y f ( x ) f ( x0 ), 称为函数 f ( x )相应于x的增量.
y y
y f ( x) y f ( x)
存在,则称点 x0为 f ( x ) 的第一类间断点.
第二类间断点
如果 f ( x ) 在间断点 x0处左右极限
中至少有一个不存在,则称点 x0为 f ( x ) 的第二类间断 点.特别地有:
函数 f ( x ) 当 x x0 时的极限存在,且等于它在
f ( x ) f ( x ) 点 x 0 处的函数值 f ( x0 ) ,即 lim 0 x x
0
那末就称函数 f ( x ) 在点x 0 连续.
" " 定义 :
0, 0, 使当 x x0 时, 恒有 f ( x ) f ( x0 ) .