高等数学教学教案 格林公式及其应用

§11.3 格林公式及其应用

授课次序

69

教 学 基 本 指 标

教学课题 §

11.3 格林公式及其应用 教学方法 当堂讲授，辅以多媒体教学 教学重点 格林公式及其应用

教学难点 各种不同情况下的计算 参考教材 同济大学编《高等数学（第6版）》 自编教材《高等数学习题课教程》

作业布置 《高等数学》标准化作业

双语教学 微分 ：differential calculus ；全微分：total differential ；偏微分：partial differential ；

积分：integral ；重积分：multiple integral ；二重积分：double integral ；三重积分：threefold integral

课堂教学目标

1． 掌握格林公式；

2． 会运用平面曲线积分与路径无关的条件； 3． 会求全微分的原函数。

教学过程 1．格林公式（45min ）；

2．平面曲线积分与路径无关的条件（20min ）

； 3．全微分的原函数（25min ）

教 学 基 本 内 容

§11.3 格林公式及其应用

一、格林公式

单连通与复连通区域: 设D 为平面区域, 如果D 内任一闭曲线所围的部分都属于D , 则称D 为平面单连通区域, 否则称为复连通区域.

对平面区域D 的边界曲线L , 我们规定L 的正向如下: 当观察者沿L 的这个方向行走时, D 内在他近处的那一部分总在他的左边.

区域D 的边界曲线L 的方向:

定理1设闭区域D 由分段光滑的曲线L 围成, 函数P (x , y )及Q (x , y )在D 上具有一阶连续偏导数, 则有

⎰⎰⎰+=∂∂-∂∂L D

Qdy Pdx dxdy y

P

x Q )(

,

其中L 是D 的取正向的边界曲线.

简要证明:

备注栏

仅就D 即是X －型又是Y －型的情形进行证明. 设D ={(x , y )|ϕ1(x )≤y ≤ϕ2(x ), a ≤x ≤b }. 因为y

P ∂∂连续, 所以由二重积分的计算法有

dx x x P x x P dx dy y y x P dxdy y P b a

x x b a D

)]}(,[)](,[{}),({12)()(21ϕϕϕϕ-=∂∂=∂∂⎰⎰⎰⎰⎰.

另一方面, 由对坐标的曲线积分的性质及计算法有

⎰⎰⎰⎰⎰+=+=a

b

b

a

L L L

dx x x P dx x x P Pdx Pdx Pdx )](,[)](,[212

1

ϕϕ

dx x x P x x P b

a

)]}(,[)](,[{21ϕϕ-=⎰. 因此 ⎰⎰⎰=∂∂-

L

D

Pdx dxdy y P . 设D ={(x , y )|ψ1(y )≤x ≤ψ2(y ), c ≤y ≤d }. 类似地可证

⎰⎰⎰=∂∂L D

Qdx dxdy x Q

.

由于D 即是X －型的又是Y －型的, 所以以上两式同时成立, 两式合并即得

⎰⎰⎰+=⎪⎭⎫

⎝

⎛∂∂-∂∂L D Qdy Pdx dxdy y P x Q . 应注意的问题: 对复连通区域D , 格林公式右端应包括沿区域D 的全部边界的曲线积分, 且边界的方向对区域D 来说都是正向.

设区域D 的边界曲线为L , 取P =-y , Q =x , 则由格林公式得 ⎰⎰⎰-=L D

ydx xdy dxdy 2

, 或⎰⎰⎰-==L

D

ydx xdy dxdy A 21.

例1. 椭圆x =a cos θ , y =b sin θ 所围成图形的面积A . 分析: 只要

1=∂∂-∂∂y P x Q , 就有A dxdy dxdy y

P x Q

D

D

==∂∂-∂∂⎰⎰⎰⎰)(. 解: 设D 是由椭圆x =a cos θ , y =b sin θ 所围成的区域. 令y P 21-

=, x Q 2

1=, 则12121=+=∂∂-∂∂y P x Q . 于是由格林公式,

例2 设L 是任意一条分段光滑的闭曲线, 证明

⎰=+L dy x xydx 022.

证: 令P =2xy , Q =x 2, 则

022=-=∂∂-∂∂x x y

P

x Q . 因此, 由格林公式有

0022=±=+⎰⎰⎰dxdy dy x xydx D

L . (为什么二重积分前有“±”号？ )

3. 计算

⎰⎰-D

y dxdy e 2

, 其中D 是以O (0, 0), A (1, 1), B (0, 1)为顶点的三角形闭区域.

分析: 要使

2y e y

P x Q -=∂∂-∂∂, 只需P =0, 2

y xe Q -=.

解: 令P =0, 2

y xe Q -=, 则2

y e y

P x Q -=∂∂-∂∂. 因此, 由格林公式有

⎰⎰⎰++--=BO

AB OA y D

y dy xe dxdy e 2

2

)1(2

111

02

2

----===⎰⎰e dx xe dy xe x OA

y . 例4 计算

⎰+-L y x ydx

xdy 22, 其中L 为一条无重点、

分段光滑且不经过原点的连续闭曲线, L 的方向为逆时针方向.

解: 令22y x y P +-=

, 2

2y x x Q +=.

则当x 2+y 2≠0

时, 有

y

P y x x y x Q ∂∂=+-=∂∂2222

2)(. 记L 所围成的闭区域为D . 当(0, 0)∉D 时, 由格林公式得

022=+-⎰L y x ydx

xdy ;

当(0, 0)∈D 时, 在D 内取一圆周l : x 2+y 2=r 2(r >0). 由L 及l 围成了一个复连通区域D 1, 应用格林公式得02222=+--+-⎰⎰l L y x ydx

xdy y x ydx xdy , 其中l 的方

向取逆时针方向.

于是⎰⎰+-=+-l L y x ydx

xdy y x ydx xdy 2222 ⎰+=πθθθ202

2222sin cos d r r r =2π.

二、平面上曲线积分与路径无关的条件

曲线积分与路径无关: 设G 是一个开区域, P (x , y )、Q (x , y )在区域G 内具有一阶连续偏导数. 如果对于G 内任意指定的两个点A 、B 以及G 内 从点A 到点B 的任意两条曲线L 1、L 2, 等式

⎰⎰+=+2

1

L L Qdy Pdx Qdy Pdx

恒成立, 就说曲线积分⎰+L Qdy Pdx 在G 内与路径无关, 否则说与路径有关.

设曲线积分⎰+L Qdy Pdx 在G 内与路径无关, L

1和

L 2是G 内任意两条从点A 到点B 的曲线

, 则有

⎰⎰+=+2

1

L L Qdy Pdx Qdy Pdx , 因为

⎰⎰+=+2

1

L L Qdy Pdx Qdy Pdx ⇔02

1

=+-+⎰⎰L L Qdy Pdx Qdy Pdx

⇔

02

1

=+++⎰⎰-

L

L Qdy Pdx Qdy Pdx ⇔0)

(21=+⎰

-+L L Qdy Pdx ,