2.4 位错的弹性性质

2.4 位错的弹性性质

位错的弹性性质是位错理论的核心与基础。它考虑的是位错在晶体中引起的畸变的分布及其能量变化。处理位错的弹性性质有若干种方法，主要的有：连续介质方法、点阵离散方法等。从理论发展和取得的效果来看，连续介质模型发展得比较成熟。我们仅介绍位错连续介质模型考虑问题的方法和计算结果，详细的数学推导不作介绍，有兴趣的同学可进一步阅读教学参考书。

一、位错的连续介质模型

早在1907年，伏特拉(Volterra)等在研究弹性体形变时，提出了连续介质模型。位错理论提出来后，人们借用它来处理位错的长程弹性性质问题。

1.位错的连续介质模型基本思想

将位错分为位错心和位错心以外两部分。在位错中心附近，因为畸变严重，要直接考虑晶体结构和原子间的相互作用。问题变得非常复杂，因而，在处理位错的能量分布时，将这一部分忽略。在远离位错中心的区域，畸变较小，可视作弹性变形区，简化为连续介质。用线性弹性理论处理。即位错畸变能可以通过弹性应力场和应变的形式表达出来。对此，我们仅作一般性的了解。

2.应力与应变的表示方法

(1)应力分量

如图1所示。物体中任意一点可以抽象为一个小立方体，其应力状态可用9个应力分量描述。它们是：

图1 物体中一受力单元的应力分析

σxx σxy σxz

σyx σyy σyz

σzx σzy σzz

其中，角标的第一个符号表示应力作用面的外法线方向，第二个下标符号表示该应力的指向。如σxy表示作用在与yoz坐标面平行的小平面上，而指向y方向的力，显而易见，它表示的是切应力分量。同样的分析可以知道:σxx，σyy，σzz3个分量表示正应力分量，而其余6个分量全部是切应力分量。平衡状态时，为了保持受力物体的刚性，作用力分量中只有6个是独立的，它们是：σxx，σyy，σzz，σxy，σxz和σyz，而σxy =σyx，σxz =σzx，σyz =σzy。同样在柱面坐标系中，也有6个独立的应力分量：σrr，σθθ，σzz，σrθ，σrz，σθz。（2）应变分量

与6个独立应力分量对应也有6个独立应变分量。直角坐标系中：εxx，εyy，εzz，ε，εxz和εyz。柱面坐标系中：εrr，εθθ，εzz，εrθ，εrz和εθz。

xy

二位错的应力场

晶体中存在位错时，位错线附近的原子偏离了正常位置，引起点阵畸变，从而产生应力场。在位错的核心区，原子排列特别紊乱，超出弹性变形范围，虎克定律已不适用。中心区外，位错所形成的弹性应力场可用各向同性连续介质的弹性理论来处理。该模型首先假设晶体是完全弹性体，服从虎克定律；其次，把晶体看成是各向同性的；第三，近似地认为晶体内部由连续介质组成，晶体中没有空隙，因此晶体中的应力、应变、位移等量是连续的，可用连续函数表示。 （1）螺位错的应力场

取外半径为R ，内半径为r o 的各向同性材料的圆柱体两个。圆柱中心线选为Z 轴，将圆柱沿XOZ 面切开，使两个切面分别沿Z 轴方向相对位移b ，再把切面胶合起来，这样在圆柱体内产生了螺位错的弹性应力场，如图2。

图2 螺位错的连续介质模型

采用圆柱坐标系，坐标选取如图2。从这个圆柱体中取一个半径为r 的薄壁圆筒展开，便能看出在离开中心r 处的切应变为r b z πεθ2/=，其相应切应力r

Gb z z z G πθθθεσσ2.=

==，式

中G 为切变模量。由于圆柱只在Z 方向有位移，X ，Y 方向无位移，所以其余应力分量为零。

0=======zr rz r r zz rr σσσσσσσθθθθ，如果采用直角坐标系表示，则

)

(222

sin y x r

Gb z zx xz +-=-==π

θθσσσ，)

(222cos y x x Gb z zy yz +=

==πθθσσσ，

0=====yx xy zz yy xx σσσσσ。由前面的式子知，螺位错应力场中不存在正应力分量。

切应力分量只与r 有关，与θ无关，所以螺位错应力场是径向对称的，即同一半径上的切应力相等。当r 趋向0时，z θσ与θσz 趋于无限大，显然不符合实际情况，这是因为线弹性理论不适用于位错中心的严重畸变区。

螺型位错的应力场(如图2所示)具有以下特点：

1).只有切应力分量，正应力分量全为零，这表明螺位错不引起晶体的膨胀和收缩。 2).螺型位错所产生的切应力分量只与r 有关（成反比），而与θ、z 无关。只要r 一定，z 就为常数。因此，螺型位错的应力场是轴对称的，即与位错等距离的各处，其切应力值相

等，并随着与位错距离的增大，应力值减小。 （2）刃位错应力场

取外半径为R ，内半径为r o 的各向同性材料的圆柱体两个。圆柱中心线选为Z 轴，将圆柱沿XOZ 面切开，使两个切面分别沿X 轴方向相对位移b ，再把切面胶合起来，这样在圆柱体内产生了螺位错的弹性应力场，如图3。

图3 刃位错的连续介质模型

刃位错应力场比螺位错复杂，按图3，根据弹性理论可求得2

2222)()3(y x y x r xx D

++-=σ，222

2

2

)

()

(y x

y x r yy D +-=σ，

)

(yy xx zz r σσσ+=，

2

22

2

2

)

()

(y x y x x yx xy D +-

==σσ，

0====zy yz zx xz σσσσ，其中)

1(2γπ-=

Gb D ，γ为泊松比，G 为切变模量。

由上式可看出，刃型位错应力场具有以下特点：

1).同时存在正应力分量与切应力分量，而且各应力分量的大小与G 和b 成正比，与r 成反比，即随着与位错距离的增大，应力的绝对值减小。

2).各应力分量都是x ，y 的函数，而与z 无关。这表明在平行于位错线的直线上，任一点的应力均相同。

3).刃型位错的应力场对称于多余半原子面（y-z 面），即对称于y 轴。

4).y=0时，σxx=σyy=σzz=0，说明在滑移面上，没有正应力，只有切应力，而且切应力τxy 达到极大值。

5).y＞0时，即滑移面以上，σxx ＜0；而y ＜0时，即滑移面以下，σxx ＞0。这说明正刃型位错的位错滑移面上侧为压应力，滑移面下侧为拉应力。 6).在应力场的任意位置处，|σxx|＞|σyy|。

7).x=±y 时，σyy ，τxy 均为零，说明在直角坐标的两条对角线处，只有σxx ，而且在每条对角线的两侧，τxy(τyx)及σyy 的符号相反。