输油管的布置问题建模

输油管的布置最优化模型

摘要：1.将问题分为共用管线费用与非共用管线费用相同和不同两种情况：（1）共用管线费用与非共用管线费用相同。此情况可以利用费马点的定义进行作图，然后再利用纯几何的数学方法进行求解，求解的过程中要注意一些特殊情况；

（2）共用管线费用与非共用管线费用不同。纯几何的数学方法已经不再适用，但是我们可以利用解析几何的数学方法进行求解，同样求解的过程中也要注意一些特殊情况。

2. 考虑到共用管线费用与非共用管线费用相同且还有附加费用，我们可以结合问题1的的第一种情况和城区管线的几何求值方法进行求解。

3.考虑到每段管线费用都不相同，我们可以利用解析几何的方法将每段长度都表示出来然后计算费用，然后利用多元函数的微分求极值的方法求出驻点和最

值。也可以利用lingo数学软件进行求解。

关键字：费马点、纯几何、解析几何、lingo数学软件。

一、问题重述

某油田计划在铁路线一侧建造两家炼油厂，同时在铁路线上增建一个车站，

用来运送成品油。由于这种模式具有一定的普遍性，油田设计院希望建立管线建

设费用最省的一般数学模型与方法。

1. 针对两炼油厂到铁路线距离和两炼油厂间距离的各种不同情形，提出你

的设计方案。在方案设计时，若有共用管线，应考虑共用管线费用与非共用管线

费用相同或不同的情形。

2. 设计院目前需对一更为复杂的情形进行具体的设计。两炼油厂的具体位

置由附图所示，其中A厂位于郊区（图中的I区域），B厂位于城区（图中的

II区域），两个区域的分界线用图中的虚线表示。图中各字母表示的距离（单位：千米）分别为5;8;15;20

====。

a b c l

若所有管线的铺设费用均为每千米7.2万元。铺设在城区的管线还需增加

拆迁和工程补偿等附加费用，为对此项附加费用进行估计，聘请三家工程咨询公

司（其中公司一具有甲级资质，公司二和公司三具有乙级资质）进行了估算。估

算结果如下表所示：

3. 在该实际问题中，为进一步节省费用，可以根据炼油厂的生产能力，选用相适应的油管。这时的管线铺设费用将分别降为输送A厂成品油的每千米5.6万元，输送B厂成品油的每千米6.0万元，共用管线费用为每千米7.2万元，拆迁等附加费用同上。请给出管线最佳布置方案及相应的费用。

二、模型假设

1.假设地势平坦，每段管线都是直的;

2.假设只考虑管线铺设费用和附加费用；

3.假设铁路线近似为一条直线。

三、符号说明

A B

、：分别代表两家炼油厂；

a：炼油厂A到铁路线的距离；

b：炼油厂B到铁路线的距离；

C ：炼油厂A 与铁路线的垂足；

D ：炼油厂B 与铁路线的垂足； l ：两垂足C 和D 之间的距离；

P ：两家炼油厂成品油的集运点；

H ：成品油的集运点与铁路线的垂足； k ：非共用管线费用是共用管线费用的倍数；

y ：成品油的集运点到铁路线的距离；

Q ：输油管线与城区和郊区分界线的交点；

z ：输油管线与城区和郊区分界线的交点到铁路线的距离；

W ：总费用；

p :单位管线长度铺设的费用；

q ：城区附加费用；

(,)x y ：点P 的坐标；

(,)c z ：点Q 的坐标。

四、问题分析（问题一）

根据题意可以知道，P 到铁路线的一段共用管线肯定与铁路线垂直，根据镜像原理也可以知道AP 与BP 两部分管线关于该条垂线对称。

1.考虑共用管线和非公用管线费用相同时，问题就是纯几何问题 ，意在求到两定点和一直线距离之和最短的点，可以利用Fermat 点（中文意思是费马点）的定义去解决问题。

费马点定义（在网上查的）：

在一个多边形中，到每个顶点距离之和最小的点叫做这个多边形的费马点。在平面三角形中:

(1)三内角皆小于120

的三角形，分别以 AB ,BC ,CA ，为边，向三角形外侧做正三角形1ABC ,1ACB ,1BCA ,然后连接1AA ,1BB ,1CC ,则三线交于一点

P ,则点P 就是所求的费马点（也就是说三角形内一点p 与各顶点连线之间的夹

角都是120

，则这个点是费马点）；

(2)若三角形有一内角大于或等于120

,则此钝角的顶点就是所求； (3)当△ABC 为等边三角形时,此时外心与费马点重合（也是第一点的一种特殊情况）。

所以我们从A B 、两点分别向铁路线引倾角为30

的直线，其交点就是所求的

P （如图1）。

L

图（1）

但是，从作图过程可以看到，可能会出现两种例外情况：

(1)

当b a l

->

时，A 点将位于B 点所引直线下方或在B 点所引直线上，A 点便是Fermat 点，所以最佳方案就是把车站建在C 点，将管线直接铺设在 AB 和AC 连线上（如图2）。

L

图（2）

(2) 当3a b l

+<

时，所引直线将交于铁路线下方。最佳方案便是利用镜像

原理以及两定点之间的所有连线之中直线上的点到两定点距离之和最短的院里将管线交汇点放在铁路线上，可以确定P 点的位置（如图3）。

图（3）

2.考虑共用管线和非共用管线费用不同时，纯几何的方法已经不再适用，但上述所说的对称性和垂直性依然不变，所以可以利用解析几何的方法建模解决该

类问题。

五、模型建立与求解（问题一）

（如图4）根据上述分析可知PA 加PB 的值可以用y 的函数来表示为

则该问题的数学模型可以表示为

,(0)W kpy y a =

≤≤

图（4）

根据k 的取值不同，可以分为以下两种情况：

1.当1k =时，即共用管线与非共用管线费用相同且0y a ≤≤时。根据几何方法列式