2第二讲 热传导基本理论与建模

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方向导热系数与主轴导热系数 之间的关系
• 方向导热系数
λxx = λyx λzx λxy λyy λzy λxz λyz λzz
• 主轴导热系数
{λ}
xyz
{λ}
ξηζ
λξ = 0 0
0 λη 0
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∂t ∂ ∂t ∂t ∂t ρc = (λxx + λxy + λxz ) ∂τ ∂x ∂x ∂y ∂z ∂ ∂t ∂t ∂t + (λ yx + λ yy + λ yz ) ∂y ∂x ∂y ∂z ∂ ∂t ∂t ∂t & + (λzx + λzy + λzz ) + Q V ∂z ∂x ∂y ∂z
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x
r
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必要的物性参数
表1 实验材料物性参数表 W/(m K) 参数名称 数值 导热系数 2.0~3.099 (kg/m3) 表观密度 1800~2500 J/(kg K) 比热 739~921
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加热阶段表面温度计算结果
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x
0
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r
温度场的数学模型
1 ∂ ∂t ∂ t ∂t =λ ρc r + 2 ∂τ r ∂r ∂r ∂x
2
x=L x=0 r = r0 r=R τ =0
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∂t −λ = h(t − t f ) ∂x ∂t −λ =0 ∂x ∂t −λ = 0 ∂r ∂t −λ = h(t − t f ) ∂x t = t0
• 初始条件(Initial Condition, IC) • 边界条件(Boundary Condition, BC) （1）第一类边界条件（边界温度） （2）第二类边界条件（边界热流） （3）第三类边界条件（对流散热条件） （4）辐射边界条件
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2.1.４ 建模的例子——路面材料特 性试验台温度场的预报
第二章 热传导理论
——热传导问题的建模与解析
2.1 热传导基本理论
2.1.1 傅里叶定律（Fourier’s Law)
r q = −λ grad t
v ∂t u v ∂t v ∂t u grad t = i + j + k ∂x ∂y ∂z
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2.1.2 各向同性介质热传导方程
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可视为各向同性介质的材料
• • • • 钢材 有机玻璃 普通塑料 岩石
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典型的各向异性材料
• • • • • 木材 纸张 云母 变压器铁芯 复合建材
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x
0
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r
恒温阶段的温度场模型
1 ∂ ∂t ∂ t ∂t =λ ρc r + 2 ∂τ r ∂r ∂r ∂x
2
x = L t = tw ∂t =0 ∂x ∂t r = r0 − λ = 0 ∂r ∂t r = R −λ = h(t − t f ) ∂x τ = 0 t = t0 x = 0 −λ
∂t 1 ∂ ∂t 1 ∂ 1 ∂t ∂ ∂t & ρc (λ r ) + (λ ) + (λ ) + Q = V ∂τ r ∂r ∂r r ∂φ r ∂φ ∂z ∂z
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r ∂t & ρc = −∇g(q) + Q V ∂τ
2.1.2 各向同性介质热传导方程
圆柱坐标系(Cylindrical coordinates )
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各向异性介质的热传导方程
• 对于各向异性介质，
∂t ∂x λxz ∂t λyz ∂y λzz ∂t ∂z
{q }
xyz
λxx = − λyx λzx
λxy λyLeabharlann Baidu λzy
r ∂t & ρc = −∇g(q) + Q V ∂τ
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木材的纹理照片（横纹）
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木材的纹理照片（断面）
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傅里叶定律的推广
• 对于各向异性介质, 导热系数用张量表示（Tensor)
q
uv
= − {λ} gradt
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λxx {λ} = λyx λ zx
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温度场的数学模型
1 ∂ ∂t ∂ t ∂t =λ ρc r + 2 ∂τ r ∂r ∂r ∂x
2
∂t =q ∂x ∂t =0 x = 0 −λ ∂x ∂t r = r0 − λ = 0 ∂r ∂t r = R −λ = h(t − t f ) ∂x τ = 0 t = t0 x = L −λ
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对于均匀各向异性介质
∂t ∂ 2t ∂ 2t ∂ 2t ρc = λxx 2 + λ yy 2 + λzz 2 + ∂τ ∂x ∂y ∂z ∂ 2t ∂ 2t ∂ 2t & (λxy + λ yx ) + (λxz + λzx ) + (λzy + λ yz ) +Q V ∂x∂y ∂x∂z ∂y∂z
对于各向同性连续介质(Isotropic Media)
直角坐标系(Cartesian coordinates ) ∂t ∂ ∂t ∂ ∂t ∂ ∂t & ρc = (λ ) + ( λ ) + ( λ ) + Q V ∂τ ∂x ∂x ∂y ∂y ∂z ∂z 圆柱坐标系(Cylindrical coordinates )
λxy λyy λzy
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λxz λyz λzz
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矩阵中各项的意义
λxx λxy λxz λyx λyy λyz λzx λzy λzz
• • • • • • • • • — x 方向的温度变化率对x 方向热流密度的影响系数； — y 方向的温度变化率对x 方向热流密度的影响系数； — z 方向的温度变化率对x 方向热流密度的影响系数； — x 方向的温度变化率对y 方向热流密度的影响系数； — y 方向的温度变化率对y方向热流密度的影响系数； — z 方向的温度变化率对y 方向热流密度的影响系数； — x 方向的温度变化率对z 方向热流密度的影响系数； — y 方向的温度变化率对z 方向热流密度的影响系数； — z 方向的温度变化率对z 方向热流密度的影响系数；
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• 将上式展开
−q x = λxx −q y = λyx −qz = λzx
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∂t + λxy ∂x ∂t + λyy ∂x ∂t + λzy ∂x
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∂t ∂t + λxz ∂y ∂z ∂t ∂t + λyz ∂y ∂z ∂t ∂t + λzz ∂y ∂z
∂t 1 ∂ ∂ (rt ) 1 ∂ ∂t 1 ρc = λ + 2 (λ sin θ )+ 2 2 ∂τ r ∂r ∂r r sin θ ∂θ ∂θ r sin θ
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∂ ∂t & ∂φ (λ ∂φ ) + QV
4
2.1.3 热传导方程的定解条件
ρc 1 ∂t = 2 ∂τ r sin θ ∂ 1 ∂t & ∂t ∂ ∂t ∂ 2 ( r sin ) + ( sin ) + ( ) + QV λ θ λ θ λ ∂r ∂r ∂θ ∂θ ∂φ sin θ ∂φ
常用的形式
ρc ∂t ∂t ∂ ∂t 1 ∂ 1 1 = 2 (λ r 2 ) + 2 (λ sin θ )+ 2 2 ∂τ r ∂r ∂r r sin θ ∂θ ∂θ r sin θ ∂ ∂t & ( λ ∂φ ∂φ ) + QV
2 2 2
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如果再一次进行坐标变换 (Coordinates Transform)
ξ1 = ξ
λ0
λξ
,η1 = η
2
λ0
λη
,ζ 1 = ζ
2
λ0
λζ
∂t ∂t ∂t ∂t & ρc = λ0 ( 2 + + ) + Q V 2 2 ∂τ ∂ξ1 ∂η1 ∂ζ 1
问题
隔板中水的运动方向？ 哪一块木板承载更多？
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2.4 各向异性介质的热传导 （Heat Conduction in Anisotropic Media)
• 各向同性介质 • 各向异性介质
问题 在相同的热流和其它条件的情况下，哪一 块木板上下两侧的温差会更大？ q q
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各向异性介质的热传导方程
∂t ∂x λxz ∂t & λ yz + QV ∂y λzz ∂t ∂z
∂t ∂ ρc = ∂τ ∂x
∂ ∂y
λxx ∂ gλ yx ∂z λzx
λxy λ yy λzy
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∂t ∂ = ρc ∂τ ∂x
∂ ∂y
∂t ∂t ∂t λxx ∂x + λxy ∂y + λxz ∂z ∂ ∂t ∂t ∂t & + λ yy + λ yz + QV gλ yx ∂z ∂x ∂y ∂z ∂t ∂t ∂t + λzy + λzz λzx ∂y ∂z ∂x
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主轴的概念
• 一般的各向异性介质都存在相互垂直的主轴， 在主轴方向上的温度梯度分量不会产生其它方 向的热流。如果这里讨论的坐标方向与主轴方 向是吻合的，则
∂t ∂t ∂t ∂t & ρc = λξξ + λ + λ + Q ηη ζζ V 2 2 2 ∂τ ∂ξ ∂η ∂ζ
• 沥青混合料是目前高速路面最常用的材 料之一； • 沥青混合料到的优点是振动小，噪声 低，车辆运行平稳； • 沥青混合料的缺点是在高温下容易软 化，会造成路面破损； • 高速路面材料需要通过碾压试验检验其 特性，并寻求最佳配比。
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碾压试验设计
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加热设计要求
• 温度自上而下逐渐降低 • 温度场基本恒定 • 加热均匀
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加热方式选择
• 电加热器＋温度控制系统 • 远红外加热器 • 加热方式
– 侧向加热 – 水平加热
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加热器布置
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加热器
H
路面
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恒温阶段沿高度方向的温度变化
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附加的因素
• • • • • 实际情况与模型的差异 材料物性的不确定性 表面对流传热损失 表面辐射热损失 其它
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得到的设计参考数据
• 为了保证加热表面不低于600W/m2 的净 加热强度，系统的加热强度要高于1200 W/m2即可 • 这里的计算要根据最坏情况设计的，实 际情况可能会因为采取保温措施（如遮 盖，底部和侧面加保温材料等），所需 要的加热强度要少一些。
0 0 λζ
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小结
• 从实际问题到数学模型的过程需要关于 研究对象的知识 • 数学模型可以有很多个选择，但是一个 能够求解的近似模型的作用远远优于一 个无法求解的详细模型 • 本例中很多的影响因素被忽略了。 习题——请指出本例中的模型有哪些不足 之处（４～５人小组讨论）
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x
L
0
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r
温度场的数学模型
1 ∂ ∂t ∂ t ∂t =λ ρc r + 2 ∂τ r ∂r ∂r ∂x
2
x=L x=0 r = r0 r=R τ =0
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∂t −λ = εσ (T 4 − T∞4 ) ∂x ∂t −λ =0 ∂x ∂t −λ = 0 ∂r ∂t −λ = h(t − t f ) ∂x t = t0