数列的综合应用

数列的综合应用

题型一 数列和解析几何的综合问题

典例 已知△OBC 的三个顶点坐标分别为O (0,0)，B (1,0)，C (0,2)，设P 1为线段BC 的中点，P 2为线段CO 的中点，P 3为线段OP 1的中点，对于每一个正整数n ，P n ＋3为线段P n P n ＋1的中点，令P n 的坐标为(x n ，y n )，a n ＝12y n ＋y n ＋1＋y n ＋2

. (1)求a 1，a 2，a 3及a n 的值；

(2)求证：y n ＋4＝1－y n 4

，n ∈N *； (3)若记b n ＝y 4n ＋4－y 4n ，n ∈N *，求证：{b n }是等比数列.

跟踪训练 如图，点列{A n }，{B n }分别在某锐角的两边上，且|A n A n ＋1|＝|A n ＋1A n ＋2|，A n ≠A n ＋2，n ∈N *，|B n B n ＋1|＝|B n ＋1B n ＋2|，B n ≠B n ＋2，n ∈N *(P ≠Q 表示点P 与Q 不重合).若d n ＝|A n B n |，S n 为△A n B n B n ＋1的面积，则( )

A.{S n }是等差数列

B.{S 2n }是等差数列

C.{d n }是等差数列

D.{d 2n }是等差数列

题型二 利用放缩法求解数列问题

典例 已知数列{}a n 满足1a n ＋1＝12a n ＋12且a 1＝4(n ∈N *). (1)求数列{}a n 的通项公式；

(2)设b n ＝a 2n －a n ，且S n 为{}b n 的前n 项和，证明：12≤S n <15.

5.设数列{a n }(n ＝1,2,3，…)的前n 项和S n 满足S n ＝2a n －a 1，且a 1，a 2＋1，a 3成等差数列．

(1)求数列{a n }的通项公式；

(2)记数列⎩⎨⎧⎭

⎬⎫1a n 的前n 项和为T n ，求使得|T n －1|<11 000成立的n 的最小值．

6.(安徽质检)已知函数f (x )＝ln x ＋cos x －⎝⎛⎭⎫6π－92x 的导数为f ′(x )，且数列{a n }满足a n ＋1＋a n ＝nf ′⎝⎛⎭

⎫π6＋3(n ∈N *)．

(1)若数列{a n }是等差数列，求a 1的值；

(2)若对任意n ∈N *，都有a n ＋2n 2≥0成立，求a 1的取值范围．

1．浙江镇海中学模拟)如图，P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，…，P n (x n ，y n )是曲线C ：y 2＝x (y >0)上的n 个点，点A i (a i,0)(i

＝1,2，…，n )在x 轴的正半轴上，△A i －1A i P i 满足A i －1P i ＝P i A i 且∠A i －1P i A i ＝π2

(A 0是坐标原点)． (1)求a 1；

(2)求证：数列{a n ＋1－a n }是等差数列．