大学物理简谐振动的能量、合成.

§3-3简谐振动的能量

下面以弹簧振子为例来说明简谐振动的能量。

某一时刻 t ：

位移 ()0c o s x A t ωϕ=+ 速度 ()0s i n v A t ωωϕ=-+

振动动能 ()222

2011sin 22k E mv m A t ωωϕ=

=+ ()2201

sin 2kA t ωϕ=+

振动势能 (

)222

011cos 22

p E kx kA t ωϕ==+ 总能量 222

211

22

k p E E E kA m A A ω=+==∝ 振幅反映了振动的强度 简谐振动系统机械能守恒！动能和势能相互转化。 简谐振动的系统都是保守系统。

动能和势能在一个周期内的平均值为

()222

0001111

()sin 24T T k k E E t dt kA t dt kA T T ωϕ==+=⎰⎰ ()2220001111

()cos 24T T p p E E t d t kA t dt kA T T ωϕ==+=⎰⎰

211

42

k p E E kA E ===

动能和势能在一个周期内的平均值相等，都等于总能量的一半。

例3.4：见第一册教材第113页。（不讲）

例：光滑水平面上的弹簧振子由质量为 M 的木块和劲度系数为 k 的轻弹簧

构成。现有一个质量为 m ，速度为 0u 的子弹射入静止的木块后陷入其中，此时弹簧处于自由状态。（不讲） （1）试写出谐振子的振动方程；

O

x

（2）求出2

A

x =-

处系统的动能和势能。

解：（1）射入过程，水平方向动量守恒。设射入后子弹和木块的共同速度为 0V ()00mu M m V =+

00m

V u M m

=

+ 建立坐标系如图，初始条件为

00x =， 00v V = 谐振系统的圆频率为

ω=

初相位 03

2

ϕπ=

振幅

v A ω

==

=

振动方程

3o 2x π⎫

=+⎪⎪⎭

（2）势能 ()

2

22

20112228p m u A E kx k M m ⎛⎫

=== ⎪+⎝⎭

O

动能 ()

22

222

031132888k p m u E E E kA kA kA M m =-=-==+

Ex ：质量为kg 10103-⨯的小球与轻弹簧组成的系统，按)

SI ()3

28cos(1.0π

π+

=t x 的规律作谐振动，求：

(1)振动的周期、振幅和初相位及速度与加速度的最大值；

(2)最大的回复力、振动能量、平均动能和平均势能，在哪些位置上动能与势能相等?

(3)s 52=t 与s 11=t 两个时刻的相位差； 解：(1) 0.1m,

8A ωπ== rad/s ， 21

4

T π

ω

∴=

=

秒， 02/3ϕπ= πω8.0==A v m 1s m -⋅ 51.2=1s m -⋅ 2.632==A a m ω2s m -⋅ (2) 0.63N m m F ma ==

J 1016.32

122

-⨯==

m mv E J 1058.121

2-⨯===E E E k p

当p k E E =时，有p E E 2=，

即 )2

1

(212122kA kx ⋅=

∴ m 20

2

22±=±

=A x (3) ππωφ32)15(8)(12=-=-=∆t t

§3-4简谐振动的合成

一、两个同向同频简谐振动的合成

设质点同时参与两个同方向同频率的谐振动 ()1110

c o s x A t ωϕ=+

()2220

c o s x A t ωϕ=+

质点的合位移

()()12110

220c o s

c o s

x x x A t A t ωϕωϕ=+=+++

下面我们用旋转矢量法求合位移：

0t = 时刻，两分振动与 x 轴正方向的夹角分别为 10ϕ 和 20ϕ，以相同的角速

度 ω 逆时针转动。

两旋转矢量的夹角恒定不变！故合矢量 A 的模保持不变，并以同样的 ω 逆时针转动。

合振动是简谐振动！可写成

()0c o s x A t ωϕ=+ 利用几何关系

振幅

A =

=

=

)10ϕ-

ϕ2O

x A

初相位 0t a n y x

A A ϕ=

其中 11022c o s c o s x A A A ϕϕ=+ 11022s i n s i n y A A A ϕϕ=+

讨论：

（1）当 20102(0,1,2,)k k ϕϕϕπ

∆=-=±= 时 （即两分振动相位相同）

12A A A ==+ 合振幅最大 （2）当 ()201021(0,1,2,)k k ϕϕϕπ

∆=-=±+= 时 （即两分振动相位相反）

12A A A ==- 合振幅最小 合振动的相位与振幅大者相同！

同向同频谐振动的合成，在后面的机械波和波动光学经常碰到。

例3.5 已知两个谐振动的 x —t 曲线如图所示，它们的频率相同，求它们合振动方程。

解： 120.05A A == m 0.1T = s ， 220T

π

ωπ== 1032

π

ϕ=

， 20ϕπ= 合振动的振幅

10.2A ==m 初相位 054

π

ϕ=

振动方程

50.2c o s 204x t ππ⎛

⎫=+

⎪⎝

⎭

5

5

-