东莞市2020年6月高三数学(文)高考模拟最后一卷附答案解析

b
4
a
，
2a b
a
，则
a
与
b
的夹角为_____．
16．在三棱锥 A BCD 中， AB AD, AB 2, AD 2 3, BC CD 2 2 ，当三棱锥 A BCD 的体积最 大时，三棱锥 A BCD 外接球的体积与三棱锥 A BCD 的体积之比为__________.
（1）若直线 l 过点 P 及抛物线 C 上一点 Q ，当 OPQ 最大时求直线 l 的方程； （2）问 x 轴上是否存在点 M ，使得过点 M 的任一条直线与抛物线 C 交于点 A 、B ，且点 M 到直线 AP 、BP
4
的距离相等？若存在，求出点 M 的坐标；若不存在，说明理由．
21．已知 f (x) ex a ln x ax . x
2
A．
5
3
B．
5
4
C．
5
7
D．
10
6．古希腊数学家阿波罗尼斯在他的著作《圆锥曲线论》中记载了用平面切割圆锥得到圆锥曲线的方法.如图，将
两个完全相同的圆锥对顶放置(两圆锥的轴重合)，已知两个圆锥的底面半径均为 1，母线长均为 3，记过圆锥轴
的平面 ABCD 为平面 ( 与两个圆锥侧面的交线为 AC, BD )，用平行于 的平面截圆锥，该平面与两个圆锥
又有 B 1,1, 2,3 ，则 A B 1, 2.
故选：B.
【点睛】
本题主要考查了集合的交集的运算，其中解答中正确求解集合 A ，再结合集合的交集的概念及运算是解答的关键，
着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
2．已知复数
z
1 2i 3 4i
，i
为虚数单位，则 |
z
|
＝（
）
1
A．
5
B． 5 5
则这批轮胎基本合格的概率为（ ）
2
A．
5
3
B．
5
4
C．
5
7
D．
10
【答案】D
【解析】可知轮胎的宽度为195 、196 、194 在195 3 内，列举出所有的基本事件，并列举出“从这批轮胎中 随机选取 3 个，至少有 2 个轮胎的宽度在195 3 内”所包含的基本事件，利用古典概型的概率公式可求得所求
分布直方图所示，新设备所生产的产品质量指标如频数分布表所示．
质量指标值
频数
15, 20
2
20, 25
8
25, 30
20
3
30, 35
30
35, 40
25
40, 45
15
合计
100
（1）请分别估计新、旧设备所生产的产品优质品率；
（2）优质品率是衡量一台设备性能高低的重要指标，优质品率越高说明设备的性能越高．根据已知图表数据填
C． OA 12AB 3AC
D． OA 12AB 3AO
10．△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知 bcosC+ccosB＝6,c＝3,B＝2C,则 cosC 的值为（ ）
A． 3 5
B． 3 4
C． 3 3
D． 3 2
11．在三棱锥 A﹣BCD 中，△ABD 与△CBD 均为边长为 2 的等边三角形，且二面角 A BD C 的平面角为 120°，
三、解答题
17．已知数列
an
是等比数列，数列 bn
满足 b1
b2
1 2
， b3
3 8
，
an1bn1
2n bn
1．
2
（1）求an 的通项公式； （2）求bn的前 n 项和．
18．已知几何体 ABCDEF 中， AB//CD ， FC //EA ， AD AB ， AE ⊥ 面 ABCD ， AB AD EA 2 ， CD CF 4 ．
的平面 ABCD 为平面 ( 与两个圆锥侧面的交线为 AC, BD )，用平行于 的平面截圆锥，该平面与两个圆锥 侧面的交线即双曲线 的一部分，且双曲线 的两条渐近线分别平行于 AC, BD ，则双曲线 的离心率为（ ）
事件的概率.
【详解】
由题意可知，轮胎的宽度为195 、196 、194 在195 3 内，
从这批轮胎中随机选取 3 个，所有的基本事件有： 195,196,190 、 195,196,194 、 195,196, 200 、 195,190,194 、195,190, 200 、195,194, 200 、196,190,194 、196,190, 200 、196,194, 200 、 190,194, 200 ，
（1）求证：平面 BDF 平面 BCF ；
（2）求点 B 到平面 ECD 的距离．
19．为了提高生产效益，某企业引进一批新的生产设备，为了解设备生产产品的质量情况，分别从新、旧设备所
生产的产品中，各随机抽取100 件产品进行质量检测，所有产品质量指标值均在 15, 45 以内，规定质量指标值 大于 30 的产品为优质品，质量指标值在 15, 30 以内的产品为合格品．旧设备所生产的产品质量指标值如频率
0,
e 2
D．
e 2
,
0
二、填空题
2x 1 0
13．已知实数
x
，
y
满足
x
y
0
，则目标函数 z 2x y 的最大值为________.
x y 2 0
14．记等比数列
an
的前
n
项和为 Sn ，若 a2
1 4
， S3
7 8
，则公比 q
______.
15．若非零向量 a 、 b
满足
写下面列联表（单位：件），并判断是否有 95% 的把握认为“产品质量高低与新设备有关”；
非优质品
优质品
合计
新设备产品
旧设备产品
合计
（3）已知每件产品的纯利润
y
（单位：元）与产品质量指标
t
的关系式为
y
2,30 t 45
1,15
t
30
．若每台新设备
每天可以生产1000 件产品，买一台新设备需要 80 万元，请估计至少需要生产多少天才可以收回设备成本．
1．已知集合 A x | x2 3x ， B 1,1, 2,3 ，则 A B （ ）
A．1,1, 2
B．1, 2
C．1, 2
D．1, 2,3
【Βιβλιοθήκη Baidu案】B
【解析】先求得集合 A x | 0 x 3 ，再结合集合交集的运算，即可求解.
由题意，集合 A x | x2 3x x | x(x 3) 0 x | 0 x 3 ，
（1）若 a 0 ，讨论函数 f (x) 的单调性；
（2）当 a 1时，若不等式 f (x) (bx b 1 )ex x 0 在[1, ) 上恒成立，求 b 的取值范围． x
22．在平面直角坐标系 xOy 中，以坐标原点 O 为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C1 的极坐标方 程为 cos 2 sin 1 ．若 P 为曲线 C1 上的动点，Q 是射线 OP 上的一动点，且满足 OP OQ 2 ，记 动点 Q 的轨迹为 C2 ． （1）求 C2 的直角坐标方程； （2）若曲线 C1 与曲线 C2 交于 M 、 N 两点，求 OMN 的面积．
35
A．
2
B． 21
49
C．
2
D． 28
5．某轮船公司的质检部要对一批轮胎的宽度（单位：mm ）进行质检，若从这批轮胎中随机选取 3 个，至少有 2 个轮胎的宽度在195 3 内，则称这批轮胎基本合格．已知这批轮胎的宽度分别为195 、196 、190 、194 、200 ，
则这批轮胎基本合格的概率为（ ）
东莞市 2020 年 6 月高三数学（文）高考模拟最后一卷
一、单选题
1．已知集合 A x | x2 3x ， B 1,1, 2,3 ，则 A B （ ）
A．1,1, 2
B．1, 2
C．1, 2
D．1, 2,3
2．已知复数
z
1 2i 3 4i
，i
为虚数单位，则 |
z
|
＝（
）
1
A．
5
B． 5 5
1
C．
2
D． 2 2
【答案】B
【解析】利用复数模的性质 z z ，以及乘除法的模的性质计算．
z z 1 2i 1 2i
12 22
5
．
3 4i 3 4i 32 42 5
故选：B．
【点睛】
本题考查求复数的模，利用模的性质求解更加方便简捷．
复数模的性质： z
z ， z1z2
z1
z2
，
z1 z2
7
其中，事件“从这批轮胎中随机选取 3 个，至少有 2 个轮胎的宽度在195 3 内”所包含的基本事件有：
195,196,190 、 195,196,194 、 195,196, 200 、 195,190,194 、 195,194, 200 、 196,190,194 、 196,194, 200 ，共 7 个，
则该三棱锥的外接球的表面积为（ ）
A．7π
B．8π
16
C．
3
28
D．
3
12．已知函数 f (x) e|x| ax2 ，对于任意 x1, x2 (,0) ，都有 x2 x1 f x2 f x1 0 ，则实数 a 的
取值范围是（ ）
A． (, e ] 2
B． (, e] 2
C．
1
C．
2
D． 2 2
3．在一个圆柱内挖去一个圆锥，圆锥的底面与圆柱的上底面重合，顶点是圆柱下底面中心．若圆柱的轴截面是 边长为 2 的正方形，则圆锥的侧面展开图面积为( )
A． 5
B． 6
C．3π
D．4π
4．设等差数列 an 的前 n 项和 Sn ，满足 a3 a4 6 ， 2a5 9 ，则 S7 （ ）
23．已知函数 f (x) | x k | 1 | x 3 | 2(k R) ． 2
（1）当 k 1时，解不等式 f (x) 1； （2）若 f (x) x 对于任意的实数 x 恒成立，求实数 k 的取值范围．
5
答案解析
东莞市 2020 年 6 月高三数学（文）高考模拟最后一卷
一、单选题
【答案】C
【解析】设等差数列 an 的公差为 d ，可得出关于 a1 和 d 的方程组，解出这两个量的值，利用等差数列的求和
公式可求得 S7 的值.
【详解】
设等差数列 an
的公差为
d
，由题意可得
2a3a5a42a12a81 d
5d 9
6
，解得
a1 d
1 2
1
，
因此， S7
7a1
76 2
d
7
1 2
参考公式：
K
2
a
n ad bc 2 bc d a c b
d
，其中
n
a
b
c
d
．
P K 2 k0 0.15
0.10
0.05
0.025 0.010 0.005 0.001
k0
2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
20．已知点 O 0, 0 、点 P 4, 0 及抛物线 C : y2 4x ．
f (x) 的一条切线与直线 2x 3y 0 垂直，则切点的横坐标
为（ ）
A． 2
B． 2
C． 2 ln 2
D． ln 2
9．已知 A，B，C 三点不共线，且点 O 满足16OA 12OB 3OC 0 则（ ）
A． OA 12AB 3AC
B． OA 12AB 3AO
侧面的交线即双曲线 的一部分，且双曲线 的两条渐近线分别平行于 AC, BD ，则双曲线 的离心率为（ ）
A． 3 2 4
B． 2 3 3
C． 2
7．已知
为锐角，
cos
3 5
，则
tan
4
2
（
）
D． 2 2
1
1
A．
3
1
B．
2
C．2
D．3
8．已知函数
f
(x)
ex
a ex
为偶函数，若曲线 y
z1 z2
．
3．在一个圆柱内挖去一个圆锥，圆锥的底面与圆柱的上底面重合，顶点是圆柱下底面中心．若圆柱的轴截面是 边长为 2 的正方形，则圆锥的侧面展开图面积为( )
A． 5
B． 6
C．3π
D．4π
【答案】A
【解析】由已知得到圆锥的半径与母线长，再代入扇形面积公式求得圆锥侧展图面积．
6
【详解】
圆锥的侧面展开图是半径为
面展开图面积为 5 .
5
，弧长为 2
的扇形，其面积 S
1l 2
r
1 (2 2
1)
5
5 ，所以圆锥的侧
【点睛】
本题考查求圆锥侧展图及扇形面积的基本运算．
4．设等差数列 an 的前 n 项和 Sn ，满足 a3 a4 6 ， 2a5 9 ，则 S7 （ ）
35
A．
2
B． 21
49
C．
2
D． 28
21
49 2
.
故选：C.
【点睛】
本题考查等差数列求和，同时也考查了等差数列基本量的求解，考查计算能力，属于基础题.
5．某轮船公司的质检部要对一批轮胎的宽度（单位：mm ）进行质检，若从这批轮胎中随机选取 3 个，至少有 2 个轮胎的宽度在195 3 内，则称这批轮胎基本合格．已知这批轮胎的宽度分别为195 、196 、190 、194 、200 ，
因此，这批轮胎基本合格的概率为 P 7 . 10
故选：D.
【点睛】
本题考查古典概型概率的计算，一般要列举出基本事件，考查计算能力，属于基础题.
6．古希腊数学家阿波罗尼斯在他的著作《圆锥曲线论》中记载了用平面切割圆锥得到圆锥曲线的方法.如图，将 两个完全相同的圆锥对顶放置(两圆锥的轴重合)，已知两个圆锥的底面半径均为 1，母线长均为 3，记过圆锥轴