电磁场理论课件 2-1静电场的标势及其微分方程
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本章难点： 分离变量法、电多极子
§2.1 静电势及其微分方程
Scalar potential and differential equation for electrostatic field
本节主要内容
一、静电场的标势 二、静电势的微分方程和边值关系 三．静电场的能量
一、静电场的标势
在静止情况下，电场与磁场无关， 麦氏方程组的电场部分为
---
+ ++ +
( x)
-
+
-
导+
-
体+
-
+
-- +++
考虑到感应情况，诸问题的模拟是：
给定电荷分布 感 应电荷分布
求空间一点
电场分布
而场引起导体上
而感应电荷分布反过来引起
2．静电势的边值关系
电荷沿法线方向移动, 切线分量不 做功，沿法线方向做功为零（因电
(1) 两介质分界面
场有限，且间距趋于零）
静电场的基本特点：
① J 0
② E, B, , P 等均与时间无关
③不考虑永久磁体（ M
0） ④
BH
0
（ H 0, B 0 ，H B 0 为唯一解）
基本方程：
边值关系：
本章内容：
1. 静电场标势及微分方程 2. 唯一性定理 3. 分离变量法 4. 镜像法 6. 电多级矩
本章重点：静电势及其特性、分离变量法、镜象法
第二章 静电场 Electrostatic field
本章研究的主要问题是：在给定的自由电 荷分布以及周围空间介质和导体分布的情况下， 如何求解电场。
注意两点：①电荷静止，即：v 0
②电场不随时间变化，即: 本章求解静电场的方法有：
E 0 t
①分离变量法;②镜像法；③格林函数法。
求解的依据是：唯一性定理。
E 0
D
E
这两方程连同介质的 电磁性质方程是解决 静电问题的基础。
静电场的无旋性是它的一个重要特 性，由于无旋性，我们可以引入一 个标势来描述静电场。
无旋性的积分形式是电场 沿任一闭合回路的环量等 于零，即
E dl 0
设C1和C2为P1和P2点的两 条不同路径。C1与C2合成 闭合回路，因此
分布ρ所激发的电场总能量
自由电荷荷
总电荷荷
W
1 2
( x )dV
(x)dV 4 r
1
8
dV
( x ) ( x)dV
r
式中r为 x与 点x的 距离。
(P2 )
(P1)
P2 P1
E
dl
(P2 )
(P1)
P2 P1
E
dl
由这定义，只有两点的电势差才有物理
意义，一点上的电势的绝对数值是没有物理意
义的。参考点的选择是任意的，在电荷分布于有
限区域的情况下，常常选无穷远点作为参考点。
令()=0有
(P) P E dl
代表把单位电荷从P点移动到无穷远处的做功
量与存在着电荷分布的空间有关。真实的静电能量是以
密度 w 1 E D的形式在空间连续分布，场强大的地方 2
能量也大；
（4）W 1 dV中的 是由电荷分布 激发的电势； 2
（5）在静电场中，电场决定于电荷分布。在场内没有 独立的运动。因而场的能量就由电荷分布所决定。
（6）若全空间充满了介电常数为ε的介质，可得到电荷
E1 l
,
E1 l E2
2 2
l
E2
l
即得
E1t E2t
2
2
n
S
1
1
n
S
n (D2 D1)
D2n D1n
D E
2 E2n 1E1n
En n
（2）导体表面上的边值关系
导体的特殊性
自由电荷σ
导体 1
ε 介质2
1、导体内部不带电，电荷只能分布于导体表面上； 2、导体内部电场为零；（有则电子运动，有电流) 3、导体表面上电场必沿法线方向，因此导体表面为等势面 ，整个导体的电势相等。（电场切向为零）
相距为dl的两点的电势差
d E dl
由于
d
dx
dy
dz
dl
x y z
因此，电场强度E等于电势 的负梯度
E
当已知电场强度时，可以求出电势；反过来，
已知电势 时，通过求梯度就可以求得电场强度
点电荷Q激发的 电场强度
E
Q
4 0r 3
r
其中r为源点到场点 的距离。把此式沿径 向场点到无穷远点积 分，电势为
2 泊松方程 (适用于均匀介质)
0 拉普拉斯方程
2
适用于无自 由电荷分布 的均匀介质
静电场的基本问题
如果电荷是连续分布的，则观察点 x处的标势
为
(x)
1
(x) d
4 0 V r
这个式子只反映了电荷激发电场这一面，而没有反 映电场对电荷的作用另一面。
如果空间还有导体存在的活，那么物理机制为
W
1 2
dV
1 2
( D)dV
(D)dV S D dS
1 D 1 dS r2
r
r2
D dS
1
W
1
S D dS
dV
0
2
2. 若已知 ,总能量为
讨论：
W 1 dV 2V
（1）适用于静电场，线性介质；
（2）适用于求总能量.
（3）不能把
1 2
看成是电场能量密度，它只能表示能
(P)
Q
dr Q
r 4 0r2
4 0r
一组点电荷Qi激发的 电势
(P)
Qi
i 4 0 ri
若电荷连续分布，电荷密度为ρ
，设r为源点x'到场点x的距离， 则场点x处的电势为
(
x)
(x)dV 4 0r
二、静电势的微分方程和边值关系
1. 电势满足的方程
D E E
D
E 2
设导体表面所带电荷面密度为σ，设它外面的介质电容率 为ε，导体表面的边界条件为
|s 常数
n s
Q dS dS
S
S n
En
三．静电场的能量
仅讨论均匀介质
1. 一般方程： 能量密度 w 1 E D
总能量
W 1
2
E DdV
2
E D D ( D) D (D)
Q
Q P P E dl
P
Q
0
P Q
2
Q
n
2
1 S 2 S
S
1 P 1
1 S 2 S . 即在界面上,电势是连续的
注意：
1 S
2 S
可代替
nˆ
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(E2
E1)
0
，即可代替
E2t
E1t
证：
p2
P'2
∵ 1 2 0 , 1 2 0
可见 1 2 1 2
2
1
p1
P'1
而 1
故有
1
E dl E dl 0
C1
C2
E dl E dl
C1
C2
电荷由P1点移至P2点时电场 对它所作的功与路径无关，
只和两端点有关。
把单位正电荷由P1点移至 P2点，电场E对它所作的
功为
P2 E dl P1
这功定义为P1点和P2点的
电势差。若电场对电
荷做了正功，则电势下
降。由此
§2.1 静电势及其微分方程
Scalar potential and differential equation for electrostatic field
本节主要内容
一、静电场的标势 二、静电势的微分方程和边值关系 三．静电场的能量
一、静电场的标势
在静止情况下，电场与磁场无关， 麦氏方程组的电场部分为
---
+ ++ +
( x)
-
+
-
导+
-
体+
-
+
-- +++
考虑到感应情况，诸问题的模拟是：
给定电荷分布 感 应电荷分布
求空间一点
电场分布
而场引起导体上
而感应电荷分布反过来引起
2．静电势的边值关系
电荷沿法线方向移动, 切线分量不 做功，沿法线方向做功为零（因电
(1) 两介质分界面
场有限，且间距趋于零）
静电场的基本特点：
① J 0
② E, B, , P 等均与时间无关
③不考虑永久磁体（ M
0） ④
BH
0
（ H 0, B 0 ，H B 0 为唯一解）
基本方程：
边值关系：
本章内容：
1. 静电场标势及微分方程 2. 唯一性定理 3. 分离变量法 4. 镜像法 6. 电多级矩
本章重点：静电势及其特性、分离变量法、镜象法
第二章 静电场 Electrostatic field
本章研究的主要问题是：在给定的自由电 荷分布以及周围空间介质和导体分布的情况下， 如何求解电场。
注意两点：①电荷静止，即：v 0
②电场不随时间变化，即: 本章求解静电场的方法有：
E 0 t
①分离变量法;②镜像法；③格林函数法。
求解的依据是：唯一性定理。
E 0
D
E
这两方程连同介质的 电磁性质方程是解决 静电问题的基础。
静电场的无旋性是它的一个重要特 性，由于无旋性，我们可以引入一 个标势来描述静电场。
无旋性的积分形式是电场 沿任一闭合回路的环量等 于零，即
E dl 0
设C1和C2为P1和P2点的两 条不同路径。C1与C2合成 闭合回路，因此
分布ρ所激发的电场总能量
自由电荷荷
总电荷荷
W
1 2
( x )dV
(x)dV 4 r
1
8
dV
( x ) ( x)dV
r
式中r为 x与 点x的 距离。
(P2 )
(P1)
P2 P1
E
dl
(P2 )
(P1)
P2 P1
E
dl
由这定义，只有两点的电势差才有物理
意义，一点上的电势的绝对数值是没有物理意
义的。参考点的选择是任意的，在电荷分布于有
限区域的情况下，常常选无穷远点作为参考点。
令()=0有
(P) P E dl
代表把单位电荷从P点移动到无穷远处的做功
量与存在着电荷分布的空间有关。真实的静电能量是以
密度 w 1 E D的形式在空间连续分布，场强大的地方 2
能量也大；
（4）W 1 dV中的 是由电荷分布 激发的电势； 2
（5）在静电场中，电场决定于电荷分布。在场内没有 独立的运动。因而场的能量就由电荷分布所决定。
（6）若全空间充满了介电常数为ε的介质，可得到电荷
E1 l
,
E1 l E2
2 2
l
E2
l
即得
E1t E2t
2
2
n
S
1
1
n
S
n (D2 D1)
D2n D1n
D E
2 E2n 1E1n
En n
（2）导体表面上的边值关系
导体的特殊性
自由电荷σ
导体 1
ε 介质2
1、导体内部不带电，电荷只能分布于导体表面上； 2、导体内部电场为零；（有则电子运动，有电流) 3、导体表面上电场必沿法线方向，因此导体表面为等势面 ，整个导体的电势相等。（电场切向为零）
相距为dl的两点的电势差
d E dl
由于
d
dx
dy
dz
dl
x y z
因此，电场强度E等于电势 的负梯度
E
当已知电场强度时，可以求出电势；反过来，
已知电势 时，通过求梯度就可以求得电场强度
点电荷Q激发的 电场强度
E
Q
4 0r 3
r
其中r为源点到场点 的距离。把此式沿径 向场点到无穷远点积 分，电势为
2 泊松方程 (适用于均匀介质)
0 拉普拉斯方程
2
适用于无自 由电荷分布 的均匀介质
静电场的基本问题
如果电荷是连续分布的，则观察点 x处的标势
为
(x)
1
(x) d
4 0 V r
这个式子只反映了电荷激发电场这一面，而没有反 映电场对电荷的作用另一面。
如果空间还有导体存在的活，那么物理机制为
W
1 2
dV
1 2
( D)dV
(D)dV S D dS
1 D 1 dS r2
r
r2
D dS
1
W
1
S D dS
dV
0
2
2. 若已知 ,总能量为
讨论：
W 1 dV 2V
（1）适用于静电场，线性介质；
（2）适用于求总能量.
（3）不能把
1 2
看成是电场能量密度，它只能表示能
(P)
Q
dr Q
r 4 0r2
4 0r
一组点电荷Qi激发的 电势
(P)
Qi
i 4 0 ri
若电荷连续分布，电荷密度为ρ
，设r为源点x'到场点x的距离， 则场点x处的电势为
(
x)
(x)dV 4 0r
二、静电势的微分方程和边值关系
1. 电势满足的方程
D E E
D
E 2
设导体表面所带电荷面密度为σ，设它外面的介质电容率 为ε，导体表面的边界条件为
|s 常数
n s
Q dS dS
S
S n
En
三．静电场的能量
仅讨论均匀介质
1. 一般方程： 能量密度 w 1 E D
总能量
W 1
2
E DdV
2
E D D ( D) D (D)
Q
Q P P E dl
P
Q
0
P Q
2
Q
n
2
1 S 2 S
S
1 P 1
1 S 2 S . 即在界面上,电势是连续的
注意：
1 S
2 S
可代替
nˆ
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(E2
E1)
0
，即可代替
E2t
E1t
证：
p2
P'2
∵ 1 2 0 , 1 2 0
可见 1 2 1 2
2
1
p1
P'1
而 1
故有
1
E dl E dl 0
C1
C2
E dl E dl
C1
C2
电荷由P1点移至P2点时电场 对它所作的功与路径无关，
只和两端点有关。
把单位正电荷由P1点移至 P2点，电场E对它所作的
功为
P2 E dl P1
这功定义为P1点和P2点的
电势差。若电场对电
荷做了正功，则电势下
降。由此