微积分 经济数学 吴传生第三章 (6)

一般情况下，数 总 L(Q利 )等润 于函 总收益函数 R(Q)与总成本 C(函 Q)之 数差．即
L(Q) R(Q)C(Q),则边际利润为
L(Q) R(Q)C(Q)
显 然, 边 际 利 润 可 由 边 际 收 与入 边 际 成 本 决, 定
C(Q) R(Q) C(Q) 时,
C(Q)
0 L(Q) 0
第六节 边际与弹性
一、边际的概念 二、经济学中常见的边际函数 三、弹性的概念 四、经济学中常见的弹性函数 五、小结 思考题
一、 边际的概念
如果函数y f (x)在 x0 处可导，则在(x0, x0 x) 内的
平均变化率为y x
；在x
x0
处的瞬时变化率为
lim f (x0 x)
x0
x
f (x0)
而边际成本则为： C(Q) [C0 C1(Q)] C1(Q)
这样可以看出，边际成本与固定成本无关．
例 2 设某产品生产Q 单位的总成本为
Q2 C (Q ) 1100 1200 ， 求：(1)生产 900 个单位的总成本和平均成本； (2)生产 900 个单位到 1000 个单位时的总成 本的平均变化率； (3)生产 900 个单位的边际成本，并解释其 经济意义.
例3 设某产品的需求函数为P20Q， 其中P为
5
价格，Q为销售量，求销售量为15个单位时的总
收益，平均收益与边际收益．并求销售量从15个
单位增加到20个单位时收益的平均变化率． 解 总收 R 益 Q(Q P 为 )2Q 0Q 2
5
销售 15个单位时
总收R 益
Q2 (20Q )
255
Q1 5
5
Q1 5
C(Q )Li m CLiC m (QQ )C(Q )
Q 0Q Q 0
Q
2)边际平均成本：
平 均 成 C(本 Q)的 导 数
C(Q)CQ (Q)
QC(QQ)2C(Q)称
为
平
均
边.
际
总 成 C (Q )等 本于 固 C 0与 定可 成 C 变 1(本 Q )之 成和 本 即C ： (Q )C 0C 1(Q )
例1 设函数 y x2，试求 y在 x 5时的边际函数值． 解 因为 y 2x，所以 y x5 10．
该值表明：当 x 5时，x 改变 1 个单位（增加 或减少 1 个单位），y 改变 10 个单位（增加或 减少 10 个单位）．
二、 经济学中常见的边际函数
1. 边际成本
1)边际成本
总成本 C(Q )函 的数 导数
f (x0)
，
经济学中称它为f (x)在x x0处的边际函数值.
设在点 x x0处， x 从 x0 改变一个单位时 y 的增量y
的准确值为
y
x x0 x1
，当
x
改变量很小时，则由微分的应用
知道， y 的近似值为
y x x0 x 1
dy
f ( x)x
x x0 x 1
f ( x0 )
当x 1时，标志着 x从 x0减小一个单位.
这表明 f (x)在点 x x0处，当 x产生一个单位的 改变时，y近似改变 f (x0 )个单位．在应用问题中解 释边际函数值的具体意义时往往略去“近似”二字．
定义1 设函数 y f (x)在 x处可导，则称导数 f (x)
为 f (x)的边际函数． f (x)在 x0处的值 f (x0 )为边 际函数值．即当 x x0时，x改变一个单位， y改 变 f (x0 )个单位．
0
例 5 某工厂对其产品的销售情况进行大量统计后分
析后，得出总利润 L(Q) (元)与每月产量 Q (吨)的
关系为 L L(Q) 250Q 5Q 2 ，试确定每月生产 20 吨，25 吨，35 吨的边际利润，并做出经济解释．
解 边际利 L(Q )润 2为 51 0Q 0,则
L(Q) L(2)050 Q20Fra Baidu bibliotek
解
Q
收 益 R (Q ) 函 P Q 1 数 Q 02 e (0Q 6 )
Q
边际收 R (Q )益 5(2 函 Q )e数 2(0Q 6)
3. 边际利润
定义：总利润L函 (Q)数 的导数
L(Q)LimLLimL(QQ)L(Q)
Q0Q Q0
Q
称为边际. 利润
边际利润表示：若已经生产了Q单位产 品，再生产一个单位产品所增加的总利润．
L(Q ) L(2)5 0
Q 25
L(Q) L(3)5100
Q35
上述结果表明当生产量为每月20吨时，再增加一吨，利润将增加50 元，当产量为每月25吨时，再增加一吨，利润不变；当产量为35吨 时，再增加一吨，利润将减少100．此处说明，对厂家来说，并非 生产的产品越多，利润越高.
4. 边际需求
定义 若 Qf(P)是 需 求 函 数 ， 则 需 求 量 Q 对 价 格 P 的 导 数 dPf(P)称 为 边 际 需 求 函 数 . dQ
显 然f， (P)
1
f 1(Q)
例 6某 商 品 的 需 求 函 数 为 Q Q (P ) 7 P 52， 求 P4 时 的 边 际 需 求 ， 并 说 明 经 济 意 义 ．
(3)边际成C本 (Q)函 2Q数 Q,当 Q900 1206 000
时的边际C成 (Q) 本1.5 Q900
2. 边际收益
定义：总 收 益R函 (Q)的 数导 数
R(Q)LimRLimR(QQ)R(Q)
Q0Q Q0
Q
称为边际收. 益函数
设 P 为价 PP (格 Q )， ， 因此 R (Q )P Q Q P (Q )， R (Q )P (Q )Q P (Q )
解 (1)生产900个单位时的总成本为
9020
C(Q) 110 0 1775
Q900
1200
平均成本为
C(Q)
17751.99
Q900 900
（2）生产900个单位到1000个单位时总成本的 平均变化率为
C (Q )C (10 ) C 0 (90)0 1 09 1 97 3 1 7 .55 8 Q 10 9 00 00 100
平均R收 益 R(Q) 25517 Q15 Q Q15 15
边 际 R (Q 收 ) 益 (2 02Q ) 14
Q 1 5
5 Q 15
当 销 售1量 5个从 单 位 增 20个 加单 到位 时 收 益化的率平为
RR(20)R(15) 32025513
Q 2015
5
例4.当某厂家打算生产一批商品投放市场，已知该商品 的需求函数为P P(Q) 10eQ2，其中Q为需求量， P为价格，且最大需求量为6．求该商品的收益函数 和边际函数．