第六章 正弦稳态分析(1)

e jt U e j(t ψ ) U m m U m cos(t ψ ) jU m sin(t ψ )
e jt U e j(t ψ ) U m m U m cos(t ψ ) jU m sin(t ψ )
上式表明正弦电压与电压相量之间的关系为
试求电压u(t)与电流i1(t)和i2(t)的相位差。
解：电压u(t)与电流i1(t)的相位差为
(180 ) (45 ) 135
电压 u(t)与电流i2(t)的相位差为
(180) 60 240
三、正弦电压电流的相量表示
分析正弦稳态的有效方法是相量法，相量法的基础是 用一个称为相量的向量或复数来表示正弦电压和电流。假 设正弦电压为
第六章 正弦稳态分析
6 - 1 正弦电压和电流
6 - 3 基尔霍夫定律的相量形式
6 – 4 RLC元件电压电流关系的相量形式
正弦稳态分析
线性动态电路在正弦电源激励下的响应。线性
时不变动态电路在角频率为ω的正弦电压源和电流
源激励下，随着时间的增长，当暂态响应消失，
只剩下正弦稳态响应，电路中全部电压电流都是 角频率为ω的正弦波时，称电路处于正弦稳态。满 足这类条件的动态电路通常称为正弦电流电路或 正弦稳态电路。
或90°；
3. 反相:如果相位差=1-2=，称电流i1(t)与电流i2(t) 反相，如图(c)所示。
注意
1. 初相角的单位为弧度 (rad)或度(°)。通常在-π≤ φu
(或φi)≤π的主值范围内取值。 2. 初相角的大小与计时起点有关, 如果正弦量正最大 值发生在计时起点(t = 0)之前（因本书用余弦函数表示正 弦量）， 因而用最大值发生的时刻与 t=0 时相比较 , 则 φu (φi)>0；如发生在计时起点之后, 则φu (或φi )<0;如果正 最大值恰发生在 t = 0处 , 则 φu ( 或 φi) = 0 。如图 6-1 （ a), (b),(c)所示。
正弦电流电路中，各电压电流都是频率相同的正弦量，
我们分析这些电路时，常常需要将这些正弦量的相位进行
比较。两个正弦电压电流相位之差，称为相位差，用表 示。例如有两个同频率的正弦电流
i1 ( t ) I 1m cos(t 1 ) i2 ( t ) I 2m cos(t 2 )
u(t ) Um cos(t )
利用它的振幅Um和初相ψ来构成一个复数，复数的模 表示电压的振幅，其幅角表示电压的初相，即
j U m U me U m
U e j U U m m m
它在复数平面上可以用一个有向线段来表示，如图所
示。这种用来表示正弦电压和电流的复数，称为相量。
例如用向量运算的平行四边形作图法则可以得到电流I
的相量，从而知道电流i(t)=Imcos(314t+ψ)的振幅约为12A， 初相约为124°。作图法的优点是简单直观，但不精确。
采用复数运算可以得到更精确的结果
I I 560 A 10150 A I m 1m 2m ( 2.5 j4.33)A ( 8.66 j5)A ( 6.16 j9.33) A 11.8123.4 A
正弦稳态分析的重要性在于： 1. 很多实际电路都工作于正弦稳态。例如电
力系统的大多数电路。
2. 用相量法分析正弦稳态十分有效。
3. 已知线性动态电路的正弦稳态响应，可以
得到任意波形信号激励下的响应。
6 . 1 正弦电压和电流
一、正弦电压电流
按照正弦规律随时间变化的电压(或电流)称为正弦电 压(或电流)，它是使用最广泛的一种交流电压(电流)，常称 为交流电，用AC或ac表示。常用函数式和波形图表示正弦 电压和电流，例如振幅为Im,角频率为ω，初相位为i的正 弦电流的函数表达式如式(6－1)所示，其波形图如图6-1所 示。
i(t ) I m cos(t i )
（6－ 1)
(a) 初相>0的情况
(b) 初相=0的情况
Leabharlann Baidu(c) 初相<0的情况
上式中的Im是正弦电流的最大值，称为正弦电流的振幅(取 正值)。上式中的ω表示每单位时间变化的弧度数，称为正弦电
流的角频率，其单位为弧度/秒(rad/s)。由于正弦量的一个周期
3. 正弦电压与电流之间，相位超前与滞后的概念
如果θ=φu-φi >0, 如上图(a)所示, 称电压u超前电 流i, 其相位差为θ; 或者说, 电流i落后于电压u为θ 度(或弧度)。 如果θ=φ1-φ2 <0, 如图(b)所示, 称电流i超前于电 压u, 其相位差为θ; 或电压u落后于电流i θ度(或弧 度)。
波形起点的位置。
(a) 初相>0的情况
(b) 初相=0的情况
(c) 初相<0的情况
1. 正弦量的三要素
所谓周期信号，就是每隔一定的时间 T ，电流或电压的 波形重复出现；或者说，每隔一定的时间 T，电流或电压完 成一个循环。图 6-1 给出了几个周期信号的波形， 周期信号 的数学表示式为
f (t ) f (t kT )
对应2弧度，角频率与周期T 和频率f的关系为
2 2f T
我国供电系统使用的正弦交流电，其频率f=50Hz(赫 兹)，周期T=1/f=20ms。式(6－1)中的(ωt+i)称为正弦电流 的相位，其中i =(ωt+i)|t=0是t=0时刻的相位，称为初相。 初相的取值范围通常在-到+之间，其数值决定正弦电流
式中k为任何整数。周期信号完成一个循环所需要的时间 T称为周期， 单位为秒(s)。
i (t ) I m cos(t i )
（ 6 － 1)
由于已知振幅Im ，角频率ω和初相i，就能够完全确 定一个正弦电流，称它们为正弦电流的三要素。与正弦电 流类似，正弦电压的三要素为振幅Um，角频率ω和初相u，
j60
e j314t ]A e j314t ]A Re[I 1m
得到表示正弦电流i1(t)=5cos(314t+60)A的相量为
j60 I1m 5e A 560 A
正弦电流与其电流相量的关系可以简单表示为
j60 i1 (t ) 5 cos(314t 60 )A I1m 5e A 560 A
当ωt1=π/3时，电流达到正 最大值，即
i t1 103 3
1.047m s
例6－2 已知正弦电压u(t)和电流i1(t)，i2(t)的瞬时值表达式为
u( t ) 311 cos(t 180 ) V i1 ( t ) 5 cos(t 45 ) A i2 ( t ) 10 cos(t 60 ) A
注意：今后在用相量法分析电路时，应该将各正弦电压
电流的瞬时表达式全部用余弦函数(正弦函数)表示。
10150 A 画在一 ＝ I 5 60 A 将各电流相量 I 和 2m 1m
个复数平面上，就得到相量图，从相量图上容易看出各正
弦电压电流的相位关系。
相量图的另外一个好处是可以用向量和复数的运算法 则求得几个同频率正弦电压或电流之和。
设想电压相量以角速度ω沿反时针方向旋转，它在 实轴投影为 Umcos(t+ψ)， 在虚轴上投影 为Umsin(t+ψ)，
它们都是时间
的正弦函数， 如图所示。
旋转相量及其在实轴和虚轴上的投影
将电压相量
U e jψ U m m
与旋转因子
e jt cos t j sin t
相乘可以得到以下数学表达式
流i1(t)与电流i2(t)在时间上的超前和滞后关系。
0
0
当 =1 -2>0时，表明i1(t)超前于电流i2(t)，超前
的角度为，超前的时间为|| /ω。当 =1 -2<0时， 表明i1(t)滞后于电流i2(t)，滞后的角度为||，滞后的时 间为||/ω。图(a)表示电流i1(t)超前于电流i2(t)的情况， 图(b)表示电流i1(t)滞后于电流i2(t)的情况。
i(t ) 100cos(10 t i ) A
3
t=0 时，电流为 50A，用t=0 代入上式，得 故
i(0) 100cosi 50 cosi 0.5
i
由于i(t)的正最大值发生在时间起点之后，初相角为负 值，即
3
3 于是 i (t ) 100cos10 t A 3
其函数表达式为
u( t ) U m cos(t u )
(6 － 2)
由于正弦电压电流的数值随时间t变化，它在任一时刻 的数值称为瞬时值，因此式(6－1)和(6－2)又称为正弦电流 和正弦电压的瞬时值表达式。
例 6 － 1 已知正弦电压的振幅为 10 伏 , 周期为 100ms, 初相为 /6。试写出正弦电压的函数表达式和画出波形图。 解：先计算正弦电压的角频率
流的瞬时值表达式，可以得到相应的电压电流相量。反过
来，已知电压电流相量，也能够写出正弦电压电流的瞬时 值表达式。即
U u( t ) U m cos( t u ) U m m u
I i ( t ) I m cos( t i ) I m m i
e jω t ] U cos( t ψ ) Re[U m m e jω t ] U sin( t ψ ) Im[ U m m
由此可得
u( t ) U m cos( t ψ ) j t Re(U e )
m
由上述可见，一个随时间按正弦规律变化的电压和电 流，可以用一个称为相量的复数来表示。已知正弦电压电
例6－3 已知正弦电流i1(t)=5cos(314t+60)A, i2(t)=-10sin(314t+60)A。 写出这两个正弦电流的电流相量，画出相量图，并 求出i(t)=i1(t)+i2(t)。 解：根据以下关系
i1 ( t ) 5 cos(314 t 60 )A Re[5e
(a)电流i1(t)超前于电流i2(t)
(b)电流i1(t)滞后于电流i2(t)
(a) 同相
(b) 正交
(c) 反相
同频率正弦电压电流的相位差有几种特殊的情况。 1. 同相:如果相位差=1-2=0,称电流i1(t)与电流i2(t)同
相，如图(a)所示；
2. 正交:如果相位差=1-2=/2，称电流i1(t)与电流 i2(t)正交，如图(b)所示，图中电流i1(t)超前电流i2(t)一个/2
电流i1(t)与电流i2(t)之间的相位差为
(t 1 ) (t 2 ) 1 2
(6 3)
(t 1 ) (t 2 ) 1 2
(6 3)
上式表明两个同频率正弦量在任意时刻的相位差均等 于它们初相之差，与时间t无关。相位差的量值反映出电
4. 正弦电压和电流相位同相、正交、反相的概念
5. 正弦三要素（振幅、频率和相位）决定了一个 正弦量
（补充） 例 已知正弦电流 i(t) 的波形如图所示，角频率
ω=103rad/s。试写出i(t)的表达式，并求i(t)达到第一个正
的最大值的时间t1。 解 由图可知，i(t)的振幅为 100A， 即
2 2 20 62.8 rad/s 3 T 100 10
正弦电压的函数表达式为
u( t ) U m cos( t u )
10 cos(20 t )V 10cos(62.8 t 30 ) V 6
正弦电压波形如图所示。
二、同频率正弦电压电流的相位差
与此相似，对于正弦电流i2(t)= -10sin(314t+60)A可以 得到以下结果 三角公式 sinx=cos(x-90)
i2 ( t ) 10 sin( 314t 60 )A 10 cos(314t 60 90 )A 10150 A 10 cos(314t 30 180 )A I 2m