数学文化数学猜想与数学名题优秀课件

希尔伯特拒绝签字，也特别引人注 目。在国内，似乎他是一个卖国贼。当 1914年11月开学时，许多学生不再来听 希尔伯特的课。但是希尔伯特的大多数同 行理解和同情他。克莱因也很快就后悔自 己的所谓“爱国”行动。当时世界上最著名 的巴黎科学院开除了克莱因，希尔伯特则 更加受到尊重。
13.不可能用仅有两个变数的函数解一般 的七次方程。(W)
14.证明某类完全函数系的有限性。(F) 15.舒伯特(Schubert)计数演算的严格基
础。(W) 16.代数曲线与代数曲面的拓扑问题。(P,W)
17.正定形式的平方和表示。(S) 18.用全等多面体构造空间。(P) 19.正则变分问题的解一定是解析的吗？(P) 20.一般边值问题。(P) 21.具有指定单值群的线性微分方程解的
希尔伯特其人
希尔伯特不仅是一位伟大的数学 家，而且有很高尚的品德，令人尊 敬的不只是他的数学成就，也包括 他优秀的人品。
1．第一次世界大战时拒绝在 “宣言”上签字
在第一次世界大战爆发时，德国政府让它的一 批最著名的科学家和艺术家出来发表一个“宣 言”，声明他们拥护德国皇帝威廉二世。
“宣言”的第一句是：“说德国人发动了战争， 这不是事实”。
3． “好的问题”的标准
希尔伯特在他的演讲中就提出了这样的标准。
1）清晰易懂: “一个清晰易懂的问题会引起人们的兴趣，
而复杂的问题使人们望而生畏。”
2）难而又可解决
Hale Waihona Puke Baidu3）对学科发展有重大推动意义
问题解决的意义，不是局限于问题本身，而是波及整 个学科，推动整个学科的发展。
“好的问题” 举例
• 费马大定理 • 五次方程根式解 • 最速降线问题 • 三体问题
5.李（S.Lie）的连续变换群概念，但不要 定义群的函数的可微性假设。(S) 6.物理学的公理化。(P)
7.某些数的无理性和超越性。(P) 8.素数问题。(P) 9.在任意数域中证明最一般的互反定律。(S) 10.丢番图方程的可解性。(F) 11.系数为任意代数数的二次型。(P)
12.阿贝尔域上的克罗内克定理在任意代 数有理域上的推广。(P)
在世纪之交提出的这23个问题，涉 及现代数学的许多领域。一个世纪以来， 这些问题激发着数学家们浓厚的研究兴 趣，对20世纪数学的发展起着巨大的推 动作用。
希尔伯特的23个问题
1.证明“连续统假设”，即证明“可数基数” 与“连续统基数”之间不存在任何基数。
2.研究算术公理的相容性。(S) 3.两个等底等高的四面体的体积相等。(S) 4.直线作为两点间最短距离的问题。（P）
数学问题的动力，不仅来自数学以外的客观世界，也来 自数学内部的逻辑发展。例如：素数的理论；非欧几何；伽 罗瓦理论；代数不变量理论。
2． 提出问题是解决问题的一半
问题不是随便提的，它必须是人们关心的、有价值的。 要想预先判断一个问题的价值是困难的。 问题的价值最终取决于科学从该问题得到的收益。 只有对该学科的知识有广泛而深入了解的学者，对该学 科的发展有清醒的认识和深刻洞察力的学者，才能提出 有较大价值的“好的问题” 。
第二问题和第十问题的研究，还促进了现代 计算机理论的成长。
解决著名猜想的人很牛！ 提出这些猜想的人更牛！ 如此集中地提出一批猜想，并持久地影响 了一门学科的发展，史无前例！
在20世纪末，人们也想模仿19世纪末的希尔伯 特，提出一批有价值的数学问题。但由于20世纪数 学的分支越来越细，已没人能像当年的Hilbert那样 涉足数学的广泛领域。于是人们想到了组成一个数 学家小组，并且已经付诸行动。
数学文化数学猜想 与数学名题
一、 希尔伯特的23个问题
希尔伯特（德国，1862—1943年）是19世纪 末和20世纪上半叶最伟大的数学家之一。他提出 的23个问题更是功勋卓著、影响深远。
那是1900年8月在巴黎召开的国际数学家大会上， 年仅38岁的希尔伯特做了题为《数学问题》的著 名讲演，根据19世纪数学研究的成果和发展趋势 提出23个问题，成为数学史上的一个重要里程碑。
新世纪的数学难题：七个由美国克雷数学研究所 (Clay Mathematics Institute,CMI) 于2000年5月24 日公布的数学难题，称为千禧难题。
但是，千禧年难题只是想记载重大的未解决问题，而 不是要去指导数学。
当然，希尔伯特当年也不是尽善尽美 的。一些评论者认为，其局限性是，希尔 伯特问题未包括拓扑学和微分几何，而这 两者在20世纪也成了数学的前沿和热点， 这是希尔伯特没有预见到的。此外，希尔 伯特问题除数学物理外，很少涉及应用数 学。
存在性证明。(S) 22.通过自守函数使解析关系单值化。(P) 23.变分法的进一步发展。(P)
适当的问题对科学发展的价值
1． 有问题的学科才有生命力
问题，在学科进展中的意义是不可否认的。一门学科充 满问题，它就充满生命力；而如果缺乏问题，则预示着该学 科的衰落。正是通过解决问题，人们才能够发现学科的新方 法、新观点和新方向，达到更为广阔和高级的新境界。
“宣言”的题目是《告文明世界》，邀 请了一批知名人士签字。数学家中只邀请了世 界声望最高的希尔伯特和克莱因两人签 名。前边提到过的发表埃尔朗根纲领、用 不变量观点统一几何学的那位数学家克莱 因，未有什么怀疑就签了名。但希尔伯特 仔细阅读后，却表示他不能判断“宣言”内 容的真实性，从而拒绝签字。
在宣言上签字的，除了克莱因，还有 德国的另一些著名的科学家，如普朗克， 伦琴等。这份1914年10月15日发表的“宣 言”，使文明世界震惊：那些素来受人尊 敬的科学家们怎么会同意在这样一份欺骗 文明世界的“宣言”上签字？
“希尔伯特问题”解决的现状
经过整整一个世纪，希尔伯特的23个问题中， 将近一半已经解决或基本解决。有些问题虽未解决， 但也取得了重要进展。
能够解决一个或基本解决一个希尔伯特问题的 数学家，就自然地被公认为世界一流水平的数学家， 由此也可见希尔伯特问题的特殊地位。
希尔伯特问题的研究与解决，大大推动了许 多现代数学分支的发展，包括：数理逻辑、几何 基础、李群、数学物理、概率论、数论、函数论、 代数几何、常微分方程、偏微分方程、黎曼曲面 论、变分法等。