相似三角形的性质

(1)一个三角形对应的 各边长扩大为原来的5倍，
这个三角形的角平分线也扩大为原来的5倍. (√ )
(2)一个三角形对应的 各边长扩大为原来的9倍，
这个三角形的面积也扩大为原来的9倍. ( × )
2.如图， △ABC与△A′B′C′相似，AD，BE是
△ABC的高， A′D′，B′E′是△A′B′C′的高.
=
AC A′C′
=
AD A′D′
=k
.
S△ABC S△A′B′C′
=
1 2
BC·AD
1 2
B′C′ ·A′D′
BD
C
=
BC B′C′
·AA′DD′
= k ·k =k2 .
D′
相似三角形面积的比等于相似比的平方.
相似三角形的性质:
(1)相似三角形对应的 高、中线、角平分线 的 比等于相似比.
(2)相似三角形周长的比等于相似比.
A
A′
B
D
B′ D′ C′
C
中线
中线
证明：∵△ABC∽△A′B′C′，
∴
AB A′B′
=
BC B′C′
=k，
∠B=∠B′，
∵∴ADBB、′DDA′ =′D12′12是BB中′CC线′ ，= ∴BB′CCBD′ ==k12，BC
，B′D′=
1 2
B′C′.
∴
AB A′B′
=
BD B′D′
，
A
∴△ABD∽△A′B′D′，
27.2.2相似三角形的性质
(1)相似三角形有什么性质？
相似三角形对应角相等，对应边成比例；
(2)相似三角形的对应边的比叫什么？ 相似三角形的对应边的比叫相似比。
(3) △ABC和△A′B′C′的相似 比为k， 则△ABC和△A′B′C′的相 似比是多少？
1 k
三角形中，除了角和边外，还有三种主要线段：
1.两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段
.
2.平行于三角形一边的直线截其他两边 (或两边
的延长线)，所得的对应线段成比例.
3.平行于三角形一边的直线与其他两边相交，
所构成的三角形与原三角形相似.
4.三边对应成比例的两个三角形相似.
5.两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似.
6.两角分别相等的两个三角形相似.
A
求证：
AD A′D′
=
BE B′E′
.
E
证明：∵△ABC∽△A′B′C′，
∴
AD A′D′
=
AB A′B′
，
B
D
C
BE B′E′
=
AB A′B′
，
E′
∴
AD A′D′
=
BE .
B′E′
D′
3.在一张复印出来的纸上，一个三角形的一条边 由原图中的2cm变成了6cm，放缩比例是多少？这个 三角形的面积发生了怎样的变化？
解：∵AB=2DE， AC=2DF，
D
∴
DE AB
=
1 2
，
DF AC
=
1 2
.
∴
DE AB
=
DF AC
.
E
F
A
∵∠D=∠A， ∴△DEF∽△ABC，
∴
EF上的高 BC上的高
=
1 2
，
EF上的高 6
=
1 2
B ，
C
∴EF上的高=3.
解：∵AB=2DE， AC=2DF，
∴
DE AB
=
1 2
，
DF AC
B
=
kA′B′ ＋kB′C′＋kA′C′ A′B′ ＋B′C′ ＋A′C′
A
Cwk.baidu.comA′
=
k(A′B′ ＋B′C′ ＋A′C′) A′B′ ＋B′C′ ＋A′C′
B′
C′
=k .
相似三角形周长的比等于相似比。
如图，△ABC∽△A′B′C′，相似比为k，它们
的面积比是多少？
A
AB A′B′
=
BC B′C′
.
A A′
B D
角平分线
B′ C
D′
C′
证明：∵△ABC∽△A′B′C′，
∴∠BAC= ∠B′A′C′，∠B=∠B′，
∵AD、A′D′是角平分线，
∴∠BAD=
1 2
∠BAC
，
∠B′A′D′=
12∠B′A′C′.
∴∠BAD = ∠B′A′D.
∴△ABD∽△A′B′D′， A
A′
∴
AD A′D′
=
AB A′B′
A′
∴
AD A′D′
=
AB ， A′B′
∴
AD A′D′
=k
.
B
D
C B′ D′ C′
②相似三角形对应 边中线之比等于相似比.
相似三角形的相似比与对应角平分线的比有什么关系？
例如： △ABC∽△A′B′C′，AD平分∠BAC，
A′D′平分∠B′A′C′，且
AA′BB′=k
.
求证：
AD A′D′
=k
如图，在△ABC中，D是AB的中点， DE∥BC则:
(1)S △ADE : S △ABC = 1:4 ；
(2)S △ADE: S 梯形DBCE = 1:3.
A
D
E
B
C
例3 如图,在ΔABC 和ΔDEF中，AB=2DE，
AC=2DF，∠A=∠D，若ΔABC的边BC上的高为6，
面积是 12 5 ，求ΔDEF的边EF上的高和面积.
高线，
中线
角平分线，
高线
中线
角平分线
相似三角形的相似比与对应边上的高的比有什么关系？
例如： △ABC∽△A′B′C′，AD⊥BC于 D，
A′D′⊥B′C′于 D′，且
AB A′B′
=k
.
求证：AD A′D′
=k
.
A
B
D
C
D′
证明：∵△ABC∽△A′B′C′， ∴∠B=∠B′ ∵ AD⊥BC， A′D′⊥B′C′， A
=
1 2
.
∴
DE AB
=
DF AC
.
E
∵∠D=∠A， ∴△DEF∽△ABC，
∴ EF上的高 BC上的高
=
1 2
， EF上的高 6
=
1 2
，
∴EF上的高=3.
S△DEF S△ABC
=(
1 2
)2 ，
S△DEF
12 5
B
=
1 4
，
S△DEF = 3 5
D F
A
C
1.判断题 (正确的画“ √ ”，错误的画“ × ”).
∴
AD A′D′
=k
.
B
D
C B′ D′ C′
相似三角形的对应角平分线之比等于相似比。
如果两个三角形相似，它们的周长之间有什么关系？
AAB′B′ =
BC B′C′
=
AC A′C′
=k .
则AB=kA′B′， BC=kB′C′，AC=kA′C′.
= L△ABC
L△A′B′C′
AB＋BC＋AC A′B′ ＋B′C′ ＋A′C′
(3)相似三角形面积的比等于相似比的平方.
(1)已知 △ABC∽△A′B′C′，的相似比为2：3，
则周长比为 2：3 ，对应边上中线之比 2：3 ， 面积之比为 4：9 。
(2)已知△ABC∽△A′B′C′，且面积之比为9：4，
则周长之比为 3： 2 ，相似比 3：2 ，对应边上的 高线之比 3：2 。
∴∠ADB=∠A′D′B′=90°.
∴△ABD∽△A′B′D′,
BD
C
∴
AD A′D′
=
AB A′B′
，
∵
AB A′B′
=k
.
∴
AD A′D′
=k
.
D′
①相似三角形的对应高线之比等于相似比。
相似三角形的相似比与对应边中线的比有什么关系？
例如： △ABC∽△A′B′C′，AD，A′D′分别是
BC，B′C′的中线，且 AA′BB′=k . 求证：AA′DD′=k .