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《高数》定积分课件

《高数》定积分ppt 课件
目录
• 定积分的概念 • 定积分的计算 • 微积分的应用 • 定积分的物理应用 • 定积分的进一步理解
01
CATALOGUE
定积分的概念
定积分的定义
01
定积分是积分的一种，是函数在区间上积分和的极限。
02
定积分常用于计算平面图形的面积、体积等。
03
定积分的定义基于极限思想，通过分割、近似、求和、取极限等步骤来定义。
物体在重力作用下的功与能
总结词
通过定积分计算重力做功和能量变化
详细描述
在重力作用下，物体运动过程中重力所做的功和能量变化可以用定积分表示。通过定积分计算，可以得出重力做功和能量变化的具体数值。
05
CATALOGUE
定积分的进一步理解
定积分的极限思想
定积分是通过对曲线下的面积进行极限分割，再求和得到的结果，这个过程体现了极限的思想。
可加性
对于任意分割的两个区间上的定积分，其和等于两区间上定积分的和。
区间区间上定积分的值之和。
比较性质
如果函数在不同区间上单调增加或减少，则其定积分的值也相应增加或减少。
02
CATALOGUE
定积分的计算
微积分基本定理
总结词
微积分基本定理是定积分计算的基础，它建立了积分与微分的联系，为解决定积分问题提供了重要的思路和方法。
另一个函数的定积分进行计算。这些方法在实际应用中具有广泛的应用价值。
积分中值定理
总结词
积分中值定理揭示了定积分与被积函数之间的关系，它是解决定积分问题的一个重要工具。
详细描述
积分中值定理指出，对于连续函数f(x)在闭区间[a,b]上的定积分∫baf(x)dx=f(ξ)(b−a) ，其中ξ∈[a,b]。这个定理说明了定积分的结果等于被积函数在一个子区间上的取值与该区间长度的乘积。这个定理在解决定积分问题时非常有用，特别是当我们需要找到被

《定积分的概念》ppt课件

f
()(ba)
(ab).
性质7的几何意义：
在[a,b]上至少有，一使得 [a,以 b]为底边，以曲
y f (x)为曲边的曲A边a梯 B的 b形面积等于同一
而高f为 ()的矩形的. 面积
假如函数f〔x〕在闭区间[a,b]上连续，我们
称b1aabf (x)dx
如已知某为地函某数时f自〔0x至〕2在4时[a,天b]上气的温平度均曲值线.为f(t),
曲线 f(x)f((x)0 )、x轴及两条直线x=a,x=b所围成的曲边梯形面积A等于函数f(x)在区间[a,b]上的定积分，即
Aabf(x)dx.
质点在变力F(s)作用下作直线运动，由起始位置a 移动到b，变力对质点所做之功等于函数F(s)在[a,b] 上的定积分，即
WabF(s)ds
假如函数f〔x〕在区间[a,b]上的定积分存在，那么称函数f〔x〕在区间[a,b]上可积.
如果在[a,b]上 f(x)0，此时由曲线y=f(x)，直线 x=a，x=b及x轴所围成的曲边梯形位于x轴的下方，则
定积分ab f (x)dx在几何上表示上述曲边梯形的面积A的
相反数.
假如在[a,b]上f〔x〕既可取正值又可取负值，那
么定积ab分f (x)dx 在几何上表示介于曲线y=f〔x〕，
直线x=a，x=b及x轴之间的各部分面积的代数和.
[x0,x1],[x1,x2],,[xi1,xi],,[xn1,xn]
各个小区间的长度为
xi xi xi1
在每一个小[x区 i1,x间 i]上任取一i(点 xi 1ixi),
n
作和 (简式称积 ) 分 f和 (i)x式 i
i1
记max{xi,x2,...,xn}，如果对[a区 ,b]间任一分法和小区[x间 i1,xi]上点 i任意取法，只要0时当，上

定积分定义-说课稿公开课一等奖课件省赛课获奖课件

0
i 1
f
(i )xi
实例2 （求变速直线运动的路程）
设某物体作直线运动，已知速度v v(t ) 是时间间隔[T1 ,T2 ] 上t 的一个连续函数，且 v(t ) 0，求物体在这段时间内所经过的路程.
思路：把整段时间分割成若干小段，每小段上速度看作不变，求出各小段的路程再相加，便得到路程的近似值，最后通过对时间的无限细分过程求得路程的精确值．
bx
解决环节：
1) 分割. 在区间 [a, b] 内插入若干个分点，
a x0 x1 x2 xn1 xn b,
把区间 [a,b] 分成 n y
个小区间 [ xi1, xi ]，长度为 xi xi xi1;
在每个小区间 [ xi1, xi ]
上任取一点
，
i
o a x1
b xi1i xi xn1
(i 1, 2,, n)
则
f
(i )xi
i2xi
i2 n3
o
y x2
i 1x
n
n
i1
f
(i )xi
1 n3
n
i2
i1
1 n3
1 n(n 6
1)(2n
1)
1 (1 1)(2 1) 6n n
1 0
x2
dx
lim
0
n
i 1
i
2xi
y
y x2
lim 1 (1 1)(2 1)
n 6 n n
1
lim
n
n i 1
sin
i
n
n
1
sin xdx.
0
i xi
[a ,
b]上的定积分,

《定积分定义》课件

定积分的计算
定积分的计算涉及到将被积函数与区间长度进行乘积，并对所有这些乘积求和。
定积分的几何意义
面积
定积分可以用来计算平面图形在某个区间上的面积，特别是当这些图形由直线、抛物线、圆等基
本图形组成时。
体积
在三维空间中，定积分可以用来计算旋转体等复杂几何体的体积。
物理意义
在物理学中，定积分常用于计算变力在某个区间上做的功、曲线运动的位移等。
物理中的定积分应用
总结词
在物理学中，定积分常用于解决与速度、加速度、功等相关的物理问题。
详细描述
在物理学中，定积分的应用非常广泛。例如，在分析质点的运动时，可以利用定积分计算质点的速度、加速度和位移；在分析弹性体的应力分布时，可以利用定积分计算弹性体内各点的应力值。此外，定积分还在电磁
学、光学等领域有着广泛的应用。
分部积分法
总结词
分部积分法是通过将被积函数分解为两个函数的乘积，然后分别积分，最后求和得到结果的方法。
详细描述
分部积分法需要掌握分部积分的公式和计算技巧，如u和v的选取、分部积分的步骤等。通过分部积分，可以将复杂的积分转化为容易计算的积分，或者将不易找到原函数的
积分转化为容易找到原函数的积分。
体积的计算
总结词
定积分在计算三维空间中物体的体积时发挥了重要作用，可以应用于旋转体体积的计算。
详细描述
定积分在计算旋转体的体积时非常有用。例如，利用定积分可以计算圆柱、圆锥、球等旋转体的体积。这些体积的计算公式都是通过将旋转体划分为若干个小薄片，然后利用定积分的性质计算这些小薄片的体积总和得到的。
04
定积分的应用
平面图形面积的计算
总结词

高中数学定积分的概念课件PPT课件

5
观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
6
7
观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
8
观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
9
观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
14
观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
15
求由连续曲线y=f(x)对应的曲边梯形面积的方法
(1)分割:在区间[0,1]上等间隔地插入n-1个点,将它等分成
n个小区间:a, x1,x1, x2,L xi1, xi ,L ,xn1,b,
每个小区间宽度⊿x b a
yf (x)
24
探究:
根据定积分的几何意义,如何用定积分表示图中阴影部分的
面积?
y
yf (x)
b
b
S S1 S2
a
f (x)dx
g(x)dx
a
b
S1
ya
fg((x))dx
b
S2
g ( x)dx
a
O aa
bx
25
三: 定积分的基本性质
性质1.
b
b
a kf ( x )dx ka f ( x )dx
1.5.3 定积分的概念
1
观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
2
观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
3
观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
4
观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．

《定积分的性质》课件

详细描述
设函数f(x)在区间[a,b]上可积，任意c∈[a,b]，则∫(a→b)f(x)dx=∫(a→c)f(x)dx+∫(c→b)f(x)dx。
函数可加性
总结词
函数可加性是指定积分具有函数可加性，即对于任意分割的两个子区间[a,c]和 [c,b]，其上的定积分之和等于整个区间[a,b]上的定积分。
定积分的几何意义
面积
01
定积分表示曲线与x轴所夹的面积，即曲线下方的区域面积。
体积
02
对于二维平面上的曲线，定积分表示的是面积；对于三维空间
中的曲面，定积分则表示的是体积。
物理应用
03
定积分在物理中有广泛的应用，如计算力矩、功、速度等物理量。Βιβλιοθήκη 定积分的性质线性性质
定积分具有线性性质，即对于两个函数的和或差的积分，可以分别对每个函数进行积分后再求和或求差。
详细描述
积分第二中值定理说明了一个函数在两个闭区间上的定积分值相等时，该函数在这两个区间上必须满足的条件。这个定理在解决一些等式问题时非常有用，因为它提供了一种将两个区间的积分等式转化为函数性质的途径。
积分第三中值定理
总结词
该定理表明如果一个函数在一个闭区间上的定积分值为零，那么该函数在该区间内至少存在两个点，使得在这些点的函数值等于零。
详细描述
设函数f(x)在区间[a,b]上可积，任意c∈[a,b]，则 ∫(a→b)f(x)dx=∫(a→c)f(x)dx+∫(c→b)f(x)dx。
03
定积分的比较性质
无穷区间上的比较性质
总结词
定积分在无穷区间上的比较性质是指，如果函数在无穷区间上的积分值与其在有限区间上的积分值相等，则函数在无穷区间上的积分值也相等。

《定积分课件》课件

03 定积分的应用
CHAPTER
面积与体积的计算
总结词
定积分在计算平面图形的面积和三维物体的体积方面具有广泛应用。
详细描述
利用定积分，可以计算出由曲线围成的平面图形的面积，例如由y=sinx和y=cosx围成的图形面积。此外，定积分还可以用于计算三维物体的体积，例如球体、圆柱体和旋转体的体积。
详细描述
在静水压力问题中，压力分布是深度的函数。通过定积分，我们可以计算任意深度的压力分布，从而了解水下物体的受力情况。
引力场的强度
总结词
通过定积分计算引力场的强度，理解引力场的分布规律。
VS
详细描述
在引力场中，场强是位置的函数。通过定积分，我们可以计算任意位置的场强，从而了解物体在引力场中的运动规律。
符号表示
02
定积分的符号为∫，读作“拉姆达”。
计算方法
03
定积分的计算方法是通过微积分基本定理，将定积分转化为求
原函数在某点的值。
定积分的几何意义
平面区域面积
定积分可以用来计算平面图形的面积，特别是当面积元素与坐标轴平行时。
体积
定积分还可以用来计算三维物体的体积，例如旋转体的体积。
曲线下面积
定积分可以用来计算曲线下在某一区间内的面积。
定积分的计算方法
要点一
总结词
定积分的计算方法包括直接法、换元法和分部积分法等。
要点二
详细描述
定积分的计算可以通过多种方法进行。直接法是根据微积分基本定理，通过求原函数并计算其差值来得到定积分的结果。换元法是在积分变量进行换元，使得积分简化。分部积分法则是通过将两个函数的乘积进行积分，将一个积分转化为另一个积分，从而简化计算。这些方法在计算定积分时常常需要结合使用。

《高数定积分》课件

05
广义积分及其收敛性判别法
广义积分的概念及分类
广义积分的定义
广义积分是相对于正常积分而言的一种特殊积分，其积分区间可能包含无穷大或者无界函数。
广义积分的分类
根据被积函数和积分区间的不同，广义积分可分为无穷限广分的收敛性判别法
比较判别法
通过比较被积函数与已知收敛或发散的函数，来判断广义积分的收敛性。
换元法求解定积分
01
换元法的基本思想
通过变量代换简化定积分的计算。
02
常见的换元方法
03
换元法的注意事项
三角函数代换、倒代换、根式代换等。
代换后需调整积分上下限，并验证代换的可行性。
分部积分法求解定积分
分部积分法的基本思想
将复杂函数拆分为简单函数进行积分。
常见的分部积分公式
幂函数与三角函数、幂函数与指数函数、幂函数与对数函数等。
06
定积分在经济学等领域的应用
由边际函数求原经济函数
边际函数与定积分的关系
边际函数描述的是经济量变化的瞬时速率，而定积分则可用于求取原经济函数，即总量函数。
求原经济函数的步骤
首先确定边际函数的表达式，然后根据定积分的定义，对边际函数进行积分，得到原经济函数的表达式。
示例
已知某产品的边际收益函数为MR(q)，通过对其进行定积分，可以得到总收益函数 TR(q)。
曲线的长度、图形的面积等。
THANKS
感谢观看
原函数与不定积分概念
原函数定义
原函数是指一个函数的导数等于给定函数的函数。根据微积分基本定理，不定积分就是求原函数的过程。
不定积分性质
不定积分具有线性性质、常数倍性质和积分区间可加性。这些性质在求解复杂函数的定积分时非常有用。

高等数学第五章第一节定积分的概念及性质课件.ppt

二、定积分定义
a x0 x1 x2 xn b ,
任一种分法任取
总趋于确定的极限 I ,则称此极限 I 为函数
上的定积分,
记作
b
a
f
( x) dx
即
b a
f
(
x)
dx
lim
0
n
i1
f
(
i
)
xi
o
a x1
此时称 f ( x ) 在 [ a , b ] 上可积 .
在区间
i
x xi1xi b
证: f (i ) xi 0
i1
b
n
a
f
( x) d
x
lim
0 i1
f
(i ) xi
0
推论1. 若在 [a , b] 上
则
推论2.
(a b)
证: f (x) f (x) f (x)
b
b
b
a f (x) dx a f (x) dx a f (x) dx
即
b
b
a f (x) dx a f (x) dx
使
因此定理成立.
说明:
• 积分中值定理对
• 可把
b
a f (x) dx f ( )
ba
因
y f (x) y
oa bx
故它是有限个数的平均值概念的推广.
例4. 计算从 0 秒到 T 秒这段时间内自由落体的平均速度.
解: 已知自由落体速度为
v gt
故所求平均速度
1 1 g T 2 gT
第一节
第五章
定积分的概念及性质
一、定积分问题举例二、定积分的定义三、定积分的性质

《定积分计算》课件

02
微积分基本定理
微积分基本定理的表述
微积分基本定理
定积分等于被积函数的一个原函数在积分上限与积分下限之差的代数和。
公式表示
∫baf(x)dx=F(b)-F(a)，其中F(x)是f(x) 的一个原函数，a和b分别为定积分的下限和上限。
微积分基本定理的应用
解决定积分计算问题
通过微积分基本定理，可以直接计算定积分的值，只需找到被积函数的一个原函数，并计算其在上下限的函数值之差。
详细描述
分部积分法是将复合函数进行分解，将原定积分转化为两个或多个更简单的定积分的和或差。这种方法的关键是选择合适的函数进行分解，以便简化计算过程。
04
定积分的几何应用
平面图形的面积
总结词
定积分在计算平面图形面积方面具有广泛应用。
详细描述
通过定积分，我们可以计算各种平面图形的面积，如矩形、圆形、三角形等。定积分的基本思想是将图形分割成若干个小部分，然后求和这些小部分的面积，最后取极限得到整个图形的面积。
公式示例
对于矩形，其面积为 (A = l times w)，其中 (l) 为长度，(w) 为宽度；对于圆形，其面积为 (A = pi r^2) ，其中 (r) 为半径。
体积的计算
01
总结词
定积分在计算三维空间中物体的体积方面具有重要作用。
02 03
详细描述
通过定积分，我们可以计算各种三维物体的体积，如长方体、圆柱体、球体等。同样地，定积分的基本思想是将物体分割成若干个小部分，然后求和这些小部分的体积，最后取极限得到整个物体的体积。
05
定积分的物理应用
变速直线运动的路程
总结词
通过定积分计算变速直线运动的路程

《定积分及其应用》课件

在经济学中，供需关系决定了市场的价格。供需曲线的面积表示市场上供应和需求的关系。通过计算这个面积，我们可以了解市场的均衡点，也就是市场上的价格。同时，通过观察供需曲线面积的变化，我们可以了解市场的价格变动趋势。
感谢您的观看
THANKS
在曲线上的积分。
曲线的转动惯量
总结词
通过定积分计算曲线的转动惯量
详细描述
转动惯量是描述物体转动难易程度的物理量。对于一个均匀细长的物体，其转动惯量可以通过定积分来计算。转动惯量等于质量分布相对于某一轴的转动惯量，等于质量密度函数在物体质量分布上的积分。
05
定积分的经济应用
收益流的现值
总结词
收益流的现值是定积分在经济中的一个重要应用，它可以帮助我们计算未来的现金流在当前的价值。
详细描述
在金融和经济学中，我们经常需要考虑未来的收益流，也就是未来的现金流。由于货币的时间价值，我们需要将未来的现金流折现到现在的价值。定积分可以用来计算这种折现的值。
投资决策问题
总结词
投资决策问题涉及到如何分配有限的资源以获得最大的回报。定积分可以用来解决这类问题。
定积分的几何意义
总结词
定积分的值等于函数图像与x轴所夹的面积。
详细描述
定积分的值可以通过几何意义来解释，即定积分的值等于函数图像与x轴所夹的面积。这个面积可以是正的、负的或零，取决于函数图像在给定区间上的上下位置。
定积分的性质
总结词
定积分具有线性性质、可加性、可减性和区间可加性等性质。
详细描述
体积的计算
总结词
定积分在计算三维空间中物体体积的问题中起到关键作用，特别是对于旋转体和薄片绕旋转轴旋转形成的体积。
VS

定积分第一节定积分的概念及性质-25页PPT精品文档

性质1 a b [f(x ) g (x )d ] x a b f(x ) d x a b g (x ) d.x
性质2
b
b
a kf ( x)dx ka f ( x)dx
(k 为常数).
性质3 假设 a<c<b
a bf(x )d x a cf(x )d x c bf(x )d.x
部分路程值
某时刻的速度
n
（2）求和 s v(i )Dti
i1
（3）取极限 m D t 1 ,a D t2 , x ,D tn } {
n
路程的精确值 slim 0i1v(i)Dti
二、定积分定义
a x 0 < x 1 < x 2 < < x n b ,
任一种分法任取
b
n
a
f
(x)dx

lim
0 i1
f
(xi )Dxi
积分下限被积函数
被积积分表变达量
积分和
式
定积分仅与被积函数及积分区间有关 , 而与积分变量用什么字母表示无关 , 即
b
f (x)dx
a

b f (t ) dt
b
f (u)du
a
a
定积分存在的条件
定理1. 定理2.
(4)取极限:设max{Dx1, Dx2,, Dxn}, 曲边梯形的面积为
n
x A l 0 i 1 f ( i ) D x i i m
2 （求变速直线运动的路程）
设某物体作直线运动，已知速度vv(t)是时间间隔[T1,T2]上t 的一个连续函数，且 v(t)0，求物体在这段时间内所经过的路程.

第1,2讲定积分教学PPT

第1讲定积分1)2)3)4)5)幂函数：指数函数：对数函数：三角函数：反三角函数：1不定积分回顾1.1不定积分公式2sin 322232783221)cos 2)3)14)5)6)7)2321121arctan 8)(21)9)10)11111)7)13)ln ln ==xx x exdx edx xe dx xx xdx dx dx dx x x x x x x dx dx x x dx dx dx x x x x +===+++++===+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰1.2不定积分凑微分法2241114)cos 15)16)1117)18)19)191x x dx x dx dx xx====++⎰⎰⎰⎰⎰⎰214sin200021120001)2)cos3)14)5)6)32232x xxxxe dx xe dxe xdx dx dxx e xπ++-⎰⎰⎰⎰⎰⎰2定积分的凑微分法221220102011112400ln7)8)9)1110)sin()11)12)sin(ln)113)14)1eex xdx dxx xx x dx dx x dxxxdxxπ++⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰16ln214101)2)3)⎰⎰⎰3定积分的换元法38ln501ln21114)5)6)dx dx⎰⎰⎰42121330()[,]()2()()[,]1)cos ln(1)2)cos13)(3在上是奇函数在上是偶函数aaaf x a af x dxf x dx f x a ax x x x x dxxx x dxxxππ-----⎧⎪=⎨-⎪⎩+++++++⎰⎰⎰⎰⎰4对称积分限的性质1001111()()1)cos 2)sin 3)cos 5)sin 6)ln 237)arctan 8)arctan 9)arcsin 4)bbba aax eu x dv x uv u vdxx xdx x xdxxe dxxxx dx x dxxdxxdxx xdx xdxππππ'=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰5定积分的分部积分法2140010)cos 11)12)ln(1dx π+⎰⎰⎰1111132010111,111)32.1,.1,2332.,1,.12312),?03213)p p k p p dx dx x x p p A p B p C p D p dx k k x +∞+∞-><<⎧⎧==⎨⎨≤≥⎩⎩=>=≤=≥=<<-<⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰基本公式：收敛收敛发散发散下列广义积分收敛的是()，收敛，发散发散，收敛若广义积分收敛则的取值范围若广义积6广义积分3211,?321k dx k k x +∞-->⎰分收敛则的取值范围第2讲定积分（续）()()()()1)lim ()02)()(),()()()()()()(),()()()(),()()()()(),()()()xa x ab x a x xa b x aba x f t dt G x f t dt G x fb b x f a a x G x f t dt G x f x G x f t dt G x f b b x G x f t dt G x f a a x →='''==-'==''==''==-⎰⎰⎰⎰⎰则若则若则若则7变限积分7.1两个基本公式2224222210222022001)()ln(1),()2ln(12)2)()sin(2),()2sin(2)3)(),()24)sin (sin )25)tan (tan )26)ln(1)(xxxt x x x x x xG x t dt G x x G x t dt G x x x G x e dt G x e e xG t tdt x x x G t tdt x x xd t dt dx'=+=+'=+=-+'==-⋅=-=-⋅=-=-⋅+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰求下列变限积分的导数例10ln(1))ln(1)x t dt x '+=+⎰222222211)0,~sin ,tan ,arcsin ,arctan ,1cos ~21~,ln(1)~,(1)1~2)0~sin ,tan ,arcsin ,arctan ,1cos ~21~,ln(1)~,(1)1~1.0,sin ~,1~2,ln(1)~x u x x x x x x x x x e xx x x xu x u u u u u u u e u u u u u x x x e x x x αααα→--++-⋅→∆⇒→--++-⋅→---写出常见的等价无穷小，例2231231~,(1sin )1~3sin ~32112212.,sin ~,arctan ~,1~332ln(1)~,1~x x x x xx e x x x x x x xx--+-→∞----2322000002320030(1)sin (1)sin 11)limlim lim 33311(1)(1)12)lim lim lim lim 66arctan 3ln(1)ln(1)3)lim lim sin x t x x x x t tx x x xx x x x x x x x e tdt e x x x x x xe t dt e t dt e x e x x x xxt dt t dt x x→→→→→→→→→--⋅===---------====-++=⎰⎰⎰⎰求下列极限例3222433222002232200000034302ln(1)21lim lim 244(1)(1)(1)214)limlimlim lim 9(1)ln(13)61818sin sin sin 5)lim lim lim sin 4x x x x t tx xx x x x xxx x x x x x x xxx t e dtt e dtx e x x ex x x xt tdt t tdt x x x xx x →→→→→→→→→+⋅===---⋅====-+---==⎰⎰⎰⎰⎰2220022200224322200000011cos 12lim lim 241212tan tan tan sec 1tan 16)lim lim lim lim lim lim 12tan 4121212x x xxx x x x x x x x x x t tdt t tdt x x x x x x x x x x x x →→→→→→→→-===----======⎰⎰8 定积分与曲面面积计算平面区域有很多种形式。

《定积分的概念》课件

微积分基本定理是定积分计算的核心，它建立了定积分与不定积分之间的联系。
详细描述
微积分基本定理指出，一个定积分可以用被积函数的不定积分来表示。这个定理是计算定积分的基石，因为它提供了一种将定积分问题转化为求不定积分问题的途径。
பைடு நூலகம்
微积分基本定理的应用
总结词
微积分基本定理的应用广泛，包括计算面积、体积、速度和加速度等。
详细描述
通过微积分基本定理，我们可以计算各种物理量，如物体的运动速度、加速度，以及平面图形的面积等。这些应用在科学、工程和经济学等领域都有广泛的应用。
定积分的计算方法
总结词
定积分的计算方法包括直接法、换元法和分部积分法等。
VS
详细描述
直接法是直接利用微积分基本定理计算定积分的方法；换元法是通过换元公式将复杂的积分转化为简单的积分；分部积分法则是通过将两个函数的乘积进行求导，再利用微积分基本定理计算定积分的方法。这些方法在解决实际问题时各有优缺点，需要根据具体情况选择合适的方法。
通过将物体的运动轨迹分割成无数小的线段，再利用定积分计算这些线
段上的速度和加速度的积分和，可以求得物体的整体速度和加速度。
定积分在经济学中的应用
计算边际成本和边际收益
在经济学中，定积分可以用于计算边际成本和边际收益，这是通过将成本或收益函数在一定的范围内进行分割，再利用定积分计算这些分段上的成本或收益的积分和，可以求得整体的边际成本和边际收益。
预测市场需求
通过将市场需求函数在一定的范围内进行分割，再利用定积分计算这些分段上的需求函数的积分和，可以预测整体的市场需求。
评估投资项目的风险
通过将投资项目的风险函数在一定的范围内进行分割，再利用定积分计算这些分段上的风险函数的积分和，可以评估整体的投资项目的风险。

定积分的元素法-平面图形的面积省公开课获奖课件说课比赛一等奖课件

之间，一般没有一一相应旳关系。
但若要求r 0,0 2 ，除极点O外，平面上旳点与极坐标
之间就一一相应了。
在一般情况下,我们要求: r 0 ，而极角能够取任意实数。
16
2．极坐标方程
曲线上点旳极坐标 r 与之间旳关系能够用式 r r 表达，称 r r 为曲线旳极坐标方程。
以极点O为圆心，以 a为半径旳旳圆旳极坐标方程: r a.
解方程组：rr
1 3
cos cos
3 , 2 3 •
3
得交点 3 , ， 3 , .
2 32 3
O
A1 2
x
A
2
3 0
1 2
(1
cos
)2 d
2
1
2
3
2
(3cos )2 d
2
3 2
2 sin
1 sin 2
4
3 0
9 2
1 sin 2
2
2
5 .
4
3
23
（1）拟定积分变量，和它旳变化区间[a,b]；（2）写出积分元素
U dU f xdx
（3）写出 U 旳积分体现式，即：
b
U a f ( x)dx
6
第二节平面图形旳面积
y
( x)
一、直角坐标情形
A
b
a
(
x)
(
x )dx
oa
(x)
x x dx b x
二、极坐标情形
A
1 2
(
)2
d
d
4ab
0sin 2
tdt
2
2
4ab 2 sin 2 tdt ab 0
当a b时，椭圆变为圆， A a2。

定积分的性质PPT课件(2024版)

例 2
估计积分
0
3
1 sin 3
dx x
的值.
解
f
(
x)
3
1 sin3
x
,
x [0, ],
0 sin3 x 1,
1 4
3
1 sin3
x
1 3
,
1dx
04
0
3
1 sin3
dx x
1dx, 03
4
0
3
1 s in3
dx x
. 3
第11页/共24页
例 3
估计积分
2
4
使
x2 t sin3
x
t
f
(t )dt
sin 3
f
()( x
2
x),
x2
3
lim t sin
x x
t
f
(t)dt
2 lim
sin 3
f
(
)
2 lim 3 f ( ) 6.
第14页/共24页
1
*例5 设 f ( x) 在[0, 1] 上可微，且满足 f (1) 2 2 xf ( x)dx ， 0
第20页/共24页
5、下列两积分的大小关系是：
（1） 1 x 2dx _____ 1 x 3dx
0
0
（2） 2 ln xdx _______ 2 (ln x)2 dx
1
1
（3）
1 e x dx _______
1
( x 1)dx
0
0
二、证明：
b
kf ( x)dx k
b f ( x)dx（ k 是常数）.
补充：不论 a,b,c 的相对位置如何, 上式总成立.

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Ⅱ、定积分与不定积分的区别。
Ⅲ、定积分的导数是？
北京科技职业学院
4.例题验证
经济应用数学
例题：求由抛物线y=x2与直线x=1,y=0所围成的平面图形的面积．
1°分割：将区间[0,1]分成n等份：
2°近似代替：用小矩形代替小曲边梯形
n
3°求和：
Sn

D
S

i
i1
4°取极限：
Sln i m Snln i m 1 3(1-1 n)(1-2 1 n)1 3
例题
定积分的概念
课堂作图求曲边梯形面（学生板演）积“四步曲”
探究问题（作业）
北京科技职业学院
结束语
经济应用数学
“一沙一世界，一花一天国．掌上有无穷，瞬
时即永恒．”
——勃莱克（英国）
在准备本节课时，我首先注意到了以下几个方面：
一是如何激发学生的学习兴趣，使学生“想学、乐学、自主的去学”；
二是从学生的角度来呈现数学思想的建构过程，与同学们共享成长；
记作：
b
f
a
n
xdxlim n i1
f(xi)Dx
北京科技职业学院
积分上限
经济应用数学Leabharlann 积分下限x a bf(x )d x I l i0i n m 1f(i)D x i
被
被
积
积
积
分
函
表
变
数
达
量
式
北京科技职业学院
3.课堂思考
经济应用数学
Ⅰ、定积分与哪些条件有关，与哪些条件无关。
xb所围成 .
y
yf(x)
问题：如何计算曲边梯形的面积呢？
A?
oa
bx
北京科技职业学院
用矩形面积近似取代曲边梯形面积
y
y
经济应用数学
oa
b xo a
bx
（四个小矩形）
（九个小矩形）
显然，小矩形越多，矩形总面积越接近曲边梯形面积．
北京科技职业学院
归纳曲边梯形面积的方法
经济应用数学
(1)分割:在区间[a,b]上等间隔地插入n-1个点,将它分成
北京科技职业学院
三教学方法
经济应用数学
“教学有法，教无定法，贵在得法”
1
2
3
4
案例教学法（引入概念）
问题驱动法（加深理解）
练习法（巩固知识）
直观性教学法（变抽象为具体）
北京科技职业学院
四教学程序设计
1.新课引入
2.新课讲解
3.课堂思考
经济应用数学
5.课堂练习
6.归纳总结
北京科技职业学院
5.课堂练习
经济应用数学
练习1 定义计算 1 e x d x 。 0
练习2 将由曲线 y x 及直线y=0,x=0,x=1
围成的平面图形的面积用定积分表示。
学生练习，教师点评
北京科技职业学院
6.课堂小结
求曲边梯形面积的“四步曲”：
经济应用数学
1°分割 2°近似代替 3°求和 4°取极限
S f (xi )Dx
(4)取极限:，所求i曲1 边梯形的
n
面积S为
S lim n i1
f (xi)Dx
Oa
xi xi xi+1
b
x
Dx
北京科技职业学院
经济应用数学
定积分的概念设函数 f x 在区间a,b上有界．在区间 a,b 内任意插入
n-1个分点，a x 0 x 1 x n - 1 x n b把区间 a,b分成 n个小区间
4.例题验证
7.作业布置
北京科技职业学院
1.新课引入
平面几何图形的面积
矩形
三角形
经济应用数学
圆
平行四边形
梯形
正六边形
北京科技职业学院
如何求这些不规则图形
面积？
2、新课讲解
经济应用数学
引例1.曲边梯形的面积
曲边梯形由连续曲线
x轴与两条直线 xa、
y f ( x)( f ( x) 0)、
n个小区间: a x 0 x 1 x 2 x i x n b
每个小区间宽度 D x b - a
n
(2)近似代替:任取xi[xi-1, xi]，第i个小曲边梯形的面积用高
为f(xi)而宽为Dx的小矩形面积
y
f(xi)Dx近似之。
y=f(x)
(3)求和:取n个小矩形面积的
和作为曲边梯形面积S的n 近似值：
经济应用数学
使用教材：
高职高专公共基础课“十一五规划教材，由耿玉霞主编，电子工业出版社出版。
教材特点：
从实际背景入手；考虑学生的实际情况，通俗易懂，由易到到难，循序渐进。
北京科技职业学院
一教材分析——课程地位与作用经济应用数学
《定积分的概念》是《定积分》第一节内容，题目本身就是强调概念，是学生学习定积分的基础。
[2]求和符号∑（SUM）．
北京科技职业学院
二教学目标
经济应用数学
认知目标
了解“分割、近似代替、求和、取极限” 的思想方法，建构定积分的认知基础.
逐步培养学生分析问题、解决问题的能力
能力目标和辨证思维能力; 会求简单的曲边梯形的面
积．
德育目标
培养学生的创新意识和科技服务于生活的人文精神，
“化整为零零积整”的辨证唯物观．
定积分的概念
基础部：路霞
说课内容
一
教材分析
二
教学目标
三
教学方法
四教学程序设计
经济应用数学北京科技职业学院
数学现状及教学对象分析经济应用数学
教学内容多教学时数少没有统一的、已形成成熟科学体系的教
材
生源总体数学素质不高数学水平参差不齐学习积极性不高
北京科技职业学院
准备工作
化整为零以直代曲积零为整刨光磨平
北京科技职业学院
7.作业布置
经济应用数学
作业：求直线x=0,x=2,y=0与曲线y=x2所围成的曲边梯形的面积．
课后探究：梯形法，求曲边梯形的面积．
研究性课题：利用所学知识，计算我校塑胶操场的面积。
北京科技职业学院
六板书设计
定积分的概念
经济应用数学
曲边梯形的概念
为学习定积分的应用做好铺垫。定积分的应用在高职经管类各专业课程中十分普遍。
北京科技职业学院
一教材分析——教学重点、难点经济应用数学
Ⅰ、教学重点：了解定积分的基本思想方法（以直代曲、
逼近的思想），初步掌握求曲边梯形面积的 “四步曲”——“分割、近似、求和、取极 Ⅱ限、”教．学难点：
[1]掌握“以直代曲”“逼近”思想的形成过程，尤其是“刨光磨平”的极限过程；
第i个小区间的长度依次为 Dxx-x
i
i
i-1
在第i小区间中任取一点 xx,x
i
作和式 S n fxDx
i1
i
i
i-1 i
当 m 1 i n D a xi x 0时，和 S 总趋于同一个确定的常数I
I 则称函数f x 在该区间上可积，极限称为函数在该区间上的定积分。